Перейти к содержимому
Topos Uranos
Русский

Описание парабол по уравнению и их графики

Краткое содержание

Описать параболу значит собрать по её уравнению данные, которых достаточно, чтобы её построить: направление ветвей, вершину, ось симметрии, фокус, директрису и точки пересечения с осями координат. В этом уроке показано, как получить эти данные из вершинной и из многочленной формы; выводятся общие формулы вершины, фокуса и директрисы через коэффициенты, точки пересечения с осью xx связываются с дискриминантом, а симметрия кривой используется для сокращения вычислений. В завершение дан упорядоченный способ построения эскиза графика.

Цели обучения

  1. Находить вершину, фокус, директрису и ось параболы, заданной в вершинной или в многочленной форме.
  2. Выводить, выделяя полный квадрат, общие формулы элементов параболы y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c.
  3. Находить точки пересечения с осями и устанавливать с помощью дискриминанта, пересекает ли парабола ось xx.
  4. Использовать симметрию относительно оси, чтобы находить вершину и строить эскиз графика по полученным данным.

Две формы уравнения

В уроке об уравнении параболы было показано, что парабола с вертикальной осью, вершиной в точке (h,k)(h, k), фокусом (h,k+f)(h, k + f) и директрисой y=k−fy = k - f, где f≠0f \neq 0, удовлетворяет уравнению, которое мы будем называть здесь вершинной формой; модуль ff есть фокусное расстояние, а его знак показывает, куда направлены ветви кривой:

(x−h)2=4f(y−k)(x - h)^2 = 4f(y - k)

Было доказано также, в теореме о графиках квадратных трёхчленов, что если выразить из этого уравнения yy, оно превращается в квадратный трёхчлен и что, обратно, график любого квадратного трёхчлена есть парабола с вертикальной осью. Многочленной формой будем называть уравнение

y=ax2+bx+c,a≠0y = ax^2 + bx + c, \quad a \neq 0

Обе формы описывают одну и ту же кривую, но показывают разное: вершинная форма раскрывает геометрию (вершину, фокус, директрису), а многочленная форма показывает точку пересечения с осью yy, которая есть (0,c)(0, c), и позволяет найти точки пересечения с осью xx, решив квадратное уравнение. Описать параболу значит собрать перечисленные ниже данные, по которым строится эскиз её графика:

  1. Направление ветвей: вверх или вниз.
  2. Вершина и ось симметрии.
  3. Фокус и директриса.
  4. Точки пересечения с осью xx, если они существуют, и точка пересечения с осью yy.