직선의 방정식과 직교좌표계

좌표평면

실수는 직선 위의 점으로 나타낸다. 즉 한 점을 원점으로 정하고, 단위 길이와 양의 방향을 정한다. 페르마와 데카르트의 생각은, 그들 이후에 갖추어진 형태로 말하면, 이러한 직선 두 개를 서로 수직이고 원점을 공유하도록 사용하여 평면의 점을 나타내는 것이다. 각 점 $P$에는 가로축과 세로축 위로의 정사영으로 이루어진 순서쌍 $(x, y)$가 대응하고, 각 순서쌍에는 단 하나의 점이 대응한다. 수 $x$와 $y$를 $P$의 좌표라 하고, 두 축은 평면을 네 개의 사분면으로 나눈다.

좌표를 이용하면 기하의 문제는 대수의 문제로 바뀐다. 평면 위의 곡선은 $x$와 $y$ 사이의 방정식으로 나타낸다. 이것이 해석기하학의 생각이다.

받아들이는 유클리드 기하학의 사실

해석기하학은 유클리드의 기하학을 대신하는 것이 아니라 그것을 번역한다. 해석기하학이 다루는 도형은 초등 기하학의 도형이며, 초등 기하학의 몇몇 정리가 출발점이 된다. 그 정리들의 증명은 유클리드 기하학의 공리적 구성에 속하며, 이 강좌에서는 다루지 않는다. 그래서 이 단원에서 사용하는 그 기하학의 사실들을 아래 목록에 모으고 증명 없이 받아들인다. 단원의 어떤 수업이 그중 하나를 사용할 때마다 이 목록을 참조한다.

1. 직선과 축. 서로 다른 두 점을 지나는 직선은 단 하나이다. 좌표축은 자유롭게 고를 수 있다. 서로 수직인 임의의 두 직선은, 그 공통점을 원점으로 하고 각각에 양의 방향을 정하며 둘 모두에 같은 단위 길이를 잡으면 축의 계를 이루며, 거리, 각, 도형은 이 선택에 의존하지 않는다.
2. 피타고라스 정리와 그 역. 삼각형이 한 꼭짓점에서 직각인 것은 그 꼭짓점의 대변의 제곱이 다른 두 변의 제곱의 합과 같을 때, 그리고 그때뿐이다.
3. 평행선. 직선 밖의 한 점을 지나 그 직선에 평행한 직선은 단 하나이다. 또한 평행한 두 직선이 세 번째 직선과 만날 때, 세 번째 직선이 그 두 직선과 이루는 동위각은 서로 같다.
4. 탈레스 정리와 닮음. 여러 평행한 직선이 두 직선과 만날 때, 그것들이 한 직선 위에 잘라 내는 선분은 다른 직선 위에 잘라 내는 선분에 비례한다. 또한 각이 각각 같은 두 삼각형은 변이 비례한다.
5. 삼각형의 각. 삼각형의 세 각의 합은 두 직각이다. 특히 직각삼각형에서 직각이 아닌 두 각은 예각이고, 예각의 보각은 둔각이다.
6. 이등변삼각형. 두 변의 길이가 같은 삼각형에서 그 두 변의 대각은 서로 같다.

가장 많이 쓰이는 것은 첫 번째 자유이다. 곡선을 조사할 때는 그 방정식이 가능한 한 간단해지도록, 예를 들어 포물선의 꼭짓점을 원점에 두도록 축을 배치하는 것이 좋으며, 첫 번째 사실에 의해 이렇게 해도 일반성을 잃지 않는다.

거리와 중점

두 점 $P_1 = (x_1, y_1)$과 $P_2 = (x_2, y_2)$ 사이의 거리는 받아들인 사실의 두 번째인 피타고라스 정리로부터 얻는다. 두 점을 잇는 선분은 직각삼각형의 빗변이며, 이 삼각형의 직각을 낀 두 변은 축에 평행하고, 그 길이는 각각 가로 좌표의 차의 절댓값과 세로 좌표의 차의 절댓값이다(두 차 중 하나가 영이면 선분은 한 축에 평행하고 그 길이는 다른 차의 절댓값이며, 이는 공식이 주는 값과 같다).

선분의 중점의 좌표는 양 끝점의 좌표의 평균이다. 이것을 보조정리로 진술하는 것은 수직이등분선, 포물선의 대칭을 이용하는 방법, 원뿔곡선에서 사용하기 때문이다.