रेखा का समीकरण और कार्तीय निर्देशांक पद्धतियाँ

सारांश

यह पाठ कार्तीय तल का परिचय देता है, जो प्रत्येक बिंदु को संख्याओं का एक युग्म सौंपता है, और उसके साथ दो बिंदुओं के बीच की दूरी और रेखाखंड का मध्य-बिंदु प्रस्तुत करता है। यह रेखा की प्रवणता को परिभाषित करता है, सिद्ध करता है कि वह चुने गए बिंदुओं पर निर्भर नहीं करती, और ऊर्ध्वाधर रेखाओं सहित रेखा के समीकरण के अनेक रूप निकालता है। इसके बाद यह समांतर और लंब रेखाओं का, तथा समीकरण निकाय के हल के रूप में दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन का अध्ययन करता है, और रैखिक रूप से बदलने वाली राशियों के प्रश्नों में इनका अनुप्रयोग दिखाता है।

अधिगम उद्देश्य

कार्तीय तल में बिंदुओं को निरूपित करना और दूरियाँ तथा मध्य-बिंदु परिकलित करना।
रेखा की प्रवणता परिकलित करना और एक बिंदु तथा प्रवणता से, या दो बिंदुओं से, उसका समीकरण प्राप्त करना।
प्रवणताओं से समांतर और लंब रेखाओं को पहचानना।
समीकरण निकाय हल करके दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन ज्ञात करना, और राशियों के बीच रैखिक संबंधों का रेखाओं द्वारा प्रतिरूपण करना।

कार्तीय तल

वास्तविक संख्याओं को एक रेखा के बिंदुओं के रूप में निरूपित किया जाता है: एक बिंदु को मूल बिंदु के रूप में चुना जाता है, साथ ही लंबाई का एक मात्रक और एक धनात्मक दिशा। फ़र्मा और देकार्त का विचार, उस रूप में जो उसने उनके बाद ग्रहण किया, यह है कि ऐसी दो रेखाओं का, जो परस्पर लंब हों और जिनका मूल बिंदु उभयनिष्ठ हो, उपयोग करके तल के बिंदुओं को निरूपित किया जाए: प्रत्येक बिंदु $P$ के संगत क्षैतिज अक्ष और ऊर्ध्वाधर अक्ष पर उसके प्रक्षेपों का क्रमित युग्म $(x, y)$ होता है, और प्रत्येक क्रमित युग्म के संगत एक अद्वितीय बिंदु। संख्याएँ $x$ और $y$ , $P$ के निर्देशांक हैं, और अक्ष तल को चार चतुर्थांशों में बाँटते हैं।

निर्देशांकों के द्वारा ज्यामितीय प्रश्न बीजगणितीय प्रश्नों में बदल जाते हैं: तल के वक्रों का वर्णन $x$ और $y$ के बीच के समीकरणों से किया जाता है। यही वैश्लेषिक ज्यामिति का विचार है।

यूक्लिडीय ज्यामिति के स्वीकृत तथ्य

वैश्लेषिक ज्यामिति यूक्लिड की ज्यामिति का स्थान नहीं लेती, बल्कि उसका अनुवाद करती है: जिन आकृतियों की वह बात करती है वे प्रारंभिक ज्यामिति की ही आकृतियाँ हैं, और उसकी कुछ प्रमेय आरंभ-बिंदु का काम करती हैं। उनकी उपपत्ति यूक्लिडीय ज्यामिति की अभिगृहीतीय रचना का विषय है, जिसे यह पाठ्यक्रम विकसित नहीं करता। इसलिए उस ज्यामिति के जिन तथ्यों का यह इकाई उपयोग करती है, वे निम्नलिखित सूची में एकत्र किए गए हैं और बिना प्रमाण स्वीकार किए जाते हैं; जब भी इकाई का कोई पाठ इनमें से किसी का सहारा लेता है, वह इसी सूची का संदर्भ देता है।

रेखाएँ और अक्ष। दो अलग-अलग बिंदुओं से होकर एक और केवल एक रेखा जाती है। निर्देशांक अक्ष स्वतंत्र रूप से चुने जा सकते हैं: कोई भी दो परस्पर लंब रेखाएँ, उनके उभयनिष्ठ बिंदु को मूल बिंदु मानकर, प्रत्येक पर एक धनात्मक दिशा और दोनों पर लंबाई का एक ही मात्रक लेकर, अक्षों का एक निकाय बनाती हैं, और दूरियाँ, कोण तथा आकृतियाँ इस चुनाव पर निर्भर नहीं करतीं।
पाइथागोरस प्रमेय और उसका विलोम। एक त्रिभुज किसी शीर्ष पर समकोण होता है यदि और केवल यदि उस शीर्ष के सम्मुख भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर हो।
समांतर रेखाएँ। किसी रेखा के बाहर स्थित एक बिंदु से होकर उस रेखा के समांतर एक और केवल एक रेखा जाती है; और यदि दो समांतर रेखाओं को एक तीसरी रेखा काटती है, तो वह उनके साथ जो संगत कोण बनाती है वे बराबर होते हैं।
थेल्स प्रमेय और समरूपता। यदि कई समांतर रेखाएँ दो रेखाओं को काटती हैं, तो वे एक रेखा पर जो रेखाखंड बनाती हैं वे दूसरी रेखा पर बनाए गए रेखाखंडों के समानुपाती होते हैं; और जिन दो त्रिभुजों के कोण क्रमशः बराबर हों, उनकी भुजाएँ समानुपाती होती हैं।
त्रिभुज के कोण। त्रिभुज के तीनों कोणों का योग दो समकोण होता है; विशेष रूप से, समकोण त्रिभुज के दोनों गैर-समकोण कोण न्यून कोण होते हैं, और न्यून कोण का संपूरक कोण अधिक कोण होता है।
समद्विबाहु त्रिभुज। दो बराबर भुजाओं वाले त्रिभुज में, उन भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।

पहली स्वतंत्रता का ही सबसे अधिक उपयोग होगा: किसी वक्र का अध्ययन करने के लिए अक्षों को इस प्रकार रखना सुविधाजनक है कि उसका समीकरण यथासंभव सरल हो, उदाहरण के लिए परवलय का शीर्ष मूल बिंदु पर रखकर, और पहला तथ्य सुनिश्चित करता है कि इससे व्यापकता की कोई हानि नहीं होती।

दूरी और मध्य-बिंदु

दो बिंदुओं $P_1 = (x_1, y_1)$ और $P_2 = (x_2, y_2)$ के बीच की दूरी पाइथागोरस प्रमेय से प्राप्त होती है, जो स्वीकृत तथ्यों में दूसरा है: उन्हें मिलाने वाला रेखाखंड एक समकोण त्रिभुज का कर्ण है, जिसकी समकोण बनाने वाली भुजाएँ अक्षों के समांतर हैं और उनकी लंबाइयाँ भुजों के अंतर का निरपेक्ष मान और कोटियों के अंतर का निरपेक्ष मान हैं (यदि दोनों अंतरों में से एक शून्य हो, तो रेखाखंड किसी अक्ष के समांतर होता है और उसकी लंबाई दूसरे अंतर का निरपेक्ष मान होती है, जो सूत्र भी देता है)।

d(P_1, P_2) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

रेखाखंड के मध्य-बिंदु के निर्देशांक उसके अंत्य बिंदुओं के निर्देशांकों के माध्य होते हैं। हम इसे प्रमेयिका के रूप में कहते हैं, क्योंकि इसका उपयोग लंब समद्विभाजक में, परवलयों की सममिति वाली विधि में और शंकु परिच्छेदों में होगा।

उपप्रमेयरेखाखंड का मध्य-बिंदु

अंत्य बिंदुओं $P_1 = (x_1, y_1)$ और $P_2 = (x_2, y_2)$ वाले रेखाखंड का मध्य-बिंदु नीचे दिया गया बिंदु $M$ है, और दोनों आधे भागों में से प्रत्येक की लंबाई $d(P_1, P_2)$ की आधी है।

M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)

प्रमाण

$x_M - x_1 = \dato{t}{x_2 - x_M}$
मान लीजिए $M = (x_M, y_M)$ मध्य-बिंदु है। $P_1$ , $M$ और $P_2$ से होकर खींची गई, ऊर्ध्वाधर अक्ष के समांतर रेखाएँ क्षैतिज अक्ष को $x_1$ , $x_M$ और $x_2$ पर काटती हैं। थेल्स प्रमेय से, जो स्वीकृत तथ्यों में चौथा है, चूँकि $M$ , $P_1$ से और $P_2$ से समदूरस्थ है, इसलिए ये समांतर रेखाएँ अक्ष पर जो रेखाखंड बनाती हैं वे भी बराबर हैं, अतः $x_M$ , $x_1$ और $x_2$ के ठीक बीच में स्थित है (यदि $x_1 = x_2$ , तो तीनों भुज संपाती होते हैं और समता तुरंत स्पष्ट है)।
$x_M - x_1 = \resaltar{x_2 - x_M} \rightarrow x_M = \frac{x_1 + x_2}{2}$
हम $M$ के भुज को अलग करते हैं।
$y_M = \frac{y_1 + y_2}{2}$
क्षैतिज अक्ष के समांतर रेखाओं से ऊर्ध्वाधर अक्ष पर इसी प्रकार विचार किया जाता है।
$d(P_1, M) = \sqrt{\left(\frac{x_2 - x_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{y_2 - y_1}{2}\right)^2} = \frac{1}{2}d(P_1, P_2) = d(M, P_2)$
दूरी के सूत्र से जाँच: $P_1$ और $M$ के बीच निर्देशांकों के अंतर $P_1$ और $P_2$ के बीच के अंतरों के आधे हैं, और यही बात $M$ और $P_2$ के बीच भी होती है।

उदाहरणदो बिंदुओं के बीच की दूरी

बिंदुओं $P_1 = (1, 1)$ और $P_2 = (5, 4)$ के बीच की दूरी परिकलित कीजिए।

प्रमाण

$\Delta x = 5 - 1 = \dato{a}{4}, \quad \Delta y = 4 - 1 = \dato{b}{3}$
समकोण त्रिभुज की समकोण बनाने वाली भुजाओं की लंबाइयाँ भुजों का अंतर और कोटियों का अंतर हैं।
$d^2 = \resaltar{4}^2 + \resaltar{3}^2 = 25$
पाइथागोरस प्रमेय से, कर्ण का वर्ग समकोण बनाने वाली भुजाओं के वर्गों का योग है।
$d(P_1, P_2) = 5$
दूरी धनात्मक वर्गमूल है।

इस पाठ के शेष भाग में

रेखा की प्रवणता
रेखा का समीकरण
समांतर और लंब रेखाएँ
दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन
हल किए गए प्रश्न
दो बिंदुओं से होकर जाने वाली रेखा
किसी बिंदु की रेखा से दूरी
तीन कस्बों से समदूरस्थ एक एंटीना
रेखाओं का एक कुल
त्रिभुज के शीर्षलंब एक बिंदु पर मिलते हैं
अभ्यास प्रश्न
किसी बिंदु का सममित बिंदु
तीन मोबाइल फ़ोन प्लान
कर्ण का मध्य-बिंदु
बिंदुपथ के रूप में लंब समद्विभाजक
रेखाओं का गुच्छ

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