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परवलय का समीकरण: परिभाषाएँ और गुणधर्म

सारांश

यह पाठ परवलय को उन बिंदुओं के समुच्चय के रूप में परिभाषित करता है जो एक स्थिर बिंदु, नाभि, से और एक स्थिर रेखा, नियता, से समान दूरी पर हैं, और इस परिभाषा से उसका समीकरण निगमित करता है। आलेखों के स्थानांतरण द्वारा यह किसी भी बिंदु पर शीर्ष वाले परवलय का समीकरण प्राप्त करता है और दिखाता है कि द्विघात बहुपदों के आलेख ठीक-ठीक ऊर्ध्वाधर अक्ष वाले परवलय हैं: पूर्ण वर्ग बनाना उनका शीर्ष, उनकी नाभि और उनकी नियता देता है। अंत में यह परवलयों और रेखाओं के प्रतिच्छेदन का, और स्पर्श रेखाओं का, अध्ययन करता है।

अधिगम उद्देश्य

  1. नाभि और नियता के माध्यम से परवलय की परिभाषा का कथन करना, और उससे उसका समीकरण निगमित करना।
  2. xx के स्थान पर x−hx - h और yy के स्थान पर y−ky - k रखकर आलेखों का स्थानांतरण करना।
  3. द्विघात बहुपद द्वारा दिए गए परवलय का शीर्ष, नाभि और नियता ज्ञात करना।
  4. किसी परवलय और किसी रेखा का प्रतिच्छेदन, और दी गई प्रवणता वाली स्पर्श रेखाएँ, ज्ञात करना।

दो प्रारंभिक विचार

दो बिंदुओं के बीच की दूरी

परवलय की परिभाषा दूरियों पर टिकी है। जैसा कि रेखा का समीकरण विषयक पाठ में देखा गया, तल के दो बिंदुओं के बीच की दूरी पाइथागोरस प्रमेय से प्राप्त होती है:

d(P1,P2)=(x2−x1)2+(y2−y1)2d(P_1, P_2) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

किसी बिंदु (x,y)(x, y) की किसी क्षैतिज रेखा y=cy = c से दूरी उन्हें मिलाने वाले ऊर्ध्वाधर रेखाखंड की लंबाई है, अर्थात् yy और cc का अंतर, धनात्मक चिह्न के साथ लिया गया। इसे उस अंतर के वर्ग के वर्गमूल के रूप में लिखना सुविधाजनक है, जो सदा धनात्मक या शून्य होता है:

(y−c)2\sqrt{(y - c)^2}

आलेखों का स्थानांतरण

किसी आलेख के रूपांतरणों की प्रमेय, जो फलनों की संक्रियाओं पर पाठ में सिद्ध की गई थी, बताती है कि y=f(x−h)+ky = f(x - h) + k का आलेख y=f(x)y = f(x) का वह आलेख है जिसे hh एकांक दाईं ओर और kk एकांक ऊपर स्थानांतरित किया गया है। इसकी उपपत्ति इस बात का उपयोग नहीं करती कि वक्र किसी फलन का आलेख है: यह xx और yy के बीच किसी भी समीकरण के लिए मान्य है, क्योंकि बिंदु (a,b)(a, b) आरंभिक समीकरण को ठीक तब संतुष्ट करता है जब बिंदु (a+h,b+k)(a + h, b + k) उस समीकरण को संतुष्ट करता है जो xx के स्थान पर x−hx - h और yy के स्थान पर y−ky - k रखने से प्राप्त होता है। इसी प्रकार परवलयों के समीकरणों का स्थानांतरण किया जाएगा।

उदाहरणएक परवलय का स्थानांतरण

y=x2y = x^2 के आलेख से आरंभ करके उसे एक एकांक दाईं ओर और एक एकांक ऊपर स्थानांतरित करना।

प्रमाण

  1. y=x2y = x^2

    आरंभिक आलेख का सबसे निचला बिंदु मूल बिंदु पर है।

  2. y=(x−1)2y = (x - \resaltar{1})^2

    हम xx के स्थान पर x−1x - 1 रखते हैं: प्रत्येक बिंदु एक एकांक दाईं ओर खिसकता है, और सबसे निचला बिंदु (1,0)(1, 0) पर पहुँचता है।

  3. y−1=(x−1)2y - \resaltar{1} = (x - 1)^2

    इसके अतिरिक्त हम yy के स्थान पर y−1y - 1 रखते हैं: आलेख एक एकांक ऊपर उठता है और सबसे निचला बिंदु (1,1)(1, 1) पर पहुँचता है।