Saltar para o conteúdo
Topos Uranos
Português

A equação da elipse e da circunferência

Resumo

Esta aula define a elipse como o conjunto dos pontos do plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos, os focos, é constante, e deduz dessa definição a sua equação reduzida, verificando que o processo não acrescenta nem perde pontos. Identifica os semieixos e a distância focal, e a sua relação pitagórica; translada a equação para obter elipses com centro em qualquer ponto e eixo maior horizontal ou vertical, e obtém a circunferência como o caso em que os dois focos coincidem. Termina com a equação desenvolvida, da qual, completando quadrados, se decide se descreve uma elipse, uma circunferência, um único ponto ou nenhum ponto.

Objetivos de aprendizagem

  1. Enunciar a definição de elipse por meio dos seus focos, justificar a condição que a soma das distâncias deve cumprir e deduzir dela a equação reduzida.
  2. Reconhecer o centro, os semieixos, os vértices e os focos de uma elipse com eixos paralelos aos eixos coordenados.
  3. Identificar elipses e circunferências numa equação desenvolvida completando quadrados, e reconhecer os casos em que a equação descreve um ponto ou nenhum ponto.
  4. Resolver problemas de interseção, de tangência e de lugares geométricos que conduzem a elipses.

Definição de elipse

Como na aula sobre a equação das parábolas, o ponto de partida é uma propriedade geométrica expressa por meio de distâncias, que se calculam com a fórmula vista na aula sobre a equação da reta.

Sejam F1F_1 e F2F_2 dois pontos do plano e aa um número maior que a metade da distância entre eles. A elipse de focos F1F_1 e F2F_2 é o conjunto dos pontos PP do plano cuja soma das distâncias aos focos é igual a 2a2a.

A condição imposta sobre aa não é um detalhe. Pela desigualdade triangular, demonstrada com o seu caso de igualdade na aula sobre os vetores no plano, a soma das distâncias de qualquer ponto PP aos focos é maior ou igual à distância entre eles, e a igualdade ocorre só nos pontos do segmento que une os focos. Segue-se daí que, se 2a2a fosse igual à distância entre os focos, o conjunto seria esse segmento, e, se fosse menor, não conteria nenhum ponto; só quando 2a2a supera a distância entre os focos se obtém uma curva.

O ponto médio dos focos é o centro da elipse, e a reta que passa por ambos, o seu eixo focal. Se 2c2c é a distância entre os focos, o número cc é a distância focal, e a condição acima se escreve a>c≥0a > c \geq 0.