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Topos Uranos
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L’equazione dell’ellisse e della circonferenza

Riepilogo

Questa lezione definisce l’ellisse come l’insieme dei punti del piano la cui somma delle distanze da due punti fissi, i fuochi, è costante, e deduce da questa definizione la sua equazione ridotta, verificando che il procedimento non aggiunge né perde punti. Individua i semiassi e la distanza focale, e la loro relazione pitagorica; trasla l’equazione per ottenere ellissi con centro in un punto qualsiasi e asse maggiore orizzontale o verticale, e ottiene la circonferenza come il caso in cui i due fuochi coincidono. Termina con l’equazione sviluppata, dalla quale, completando i quadrati, si decide se descrive un’ellisse, una circonferenza, un unico punto o nessun punto.

Obiettivi di apprendimento

  1. Enunciare la definizione di ellisse mediante i suoi fuochi, giustificare la condizione che deve soddisfare la somma delle distanze e dedurne l’equazione ridotta.
  2. Riconoscere il centro, i semiassi, i vertici e i fuochi di un’ellisse con assi paralleli agli assi coordinati.
  3. Identificare ellissi e circonferenze in un’equazione sviluppata completando i quadrati, e riconoscere i casi in cui l’equazione descrive un punto o nessun punto.
  4. Risolvere problemi di intersezione, di tangenza e di luoghi geometrici che conducono a ellissi.

Definizione di ellisse

Come nella lezione sull’equazione delle parabole, il punto di partenza è una proprietà geometrica espressa mediante distanze, che si calcolano con la formula vista nella lezione sull’equazione della retta.

Siano F1F_1 e F2F_2 due punti del piano e aa un numero maggiore della metà della loro distanza. L’ellisse di fuochi F1F_1 e F2F_2 è l’insieme dei punti PP del piano la cui somma delle distanze dai fuochi è uguale a 2a2a.

La condizione imposta su aa non è un dettaglio. Per la disuguaglianza triangolare, dimostrata insieme al suo caso di uguaglianza nella lezione sui vettori nel piano, la somma delle distanze di un punto qualsiasi PP dai fuochi è maggiore o uguale alla distanza tra di essi, e l’uguaglianza vale solo nei punti del segmento che congiunge i fuochi. Ne segue che, se 2a2a fosse uguale alla distanza tra i fuochi, l’insieme sarebbe quel segmento, e, se fosse minore, non conterrebbe alcun punto; solo quando 2a2a supera la distanza tra i fuochi si ottiene una curva.

Il punto medio dei fuochi è il centro dell’ellisse, e la retta che passa per entrambi, il suo asse focale. Se 2c2c è la distanza tra i fuochi, il numero cc è la distanza focale, e la condizione vista sopra si scrive a>c≥0a > c \geq 0.