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Topos Uranos
Português

Vetores no plano e equações paramétricas da reta

Resumo

Esta aula introduz os vetores do plano, que representam deslocamentos, como pares ordenados de números reais, e define a sua soma, o seu produto por um número, a sua norma e o seu produto escalar, com as respectivas propriedades. Do produto escalar deduzem-se a condição de perpendicularidade, a desigualdade de Cauchy-Schwarz, a desigualdade triangular, a projeção ortogonal e a classificação dos ângulos em agudos, retos e obtusos. Com os vetores, a reta é escrita na forma vetorial e paramétrica, obtêm-se o seu vetor normal e a fórmula da distância de um ponto a uma reta, intersectam-se retas dadas por parâmetros, dividem-se segmentos numa razão dada e descreve-se o movimento uniforme; os problemas aplicam essas ferramentas a demonstrações geométricas, à reflexão num espelho e à aproximação de dois móveis.

Objetivos de aprendizagem

  1. Operar com vetores do plano, por componentes e geometricamente, e exprimir um vetor como combinação linear de outros dois.
  2. Calcular normas e produtos escalares e usá-los para reconhecer vetores perpendiculares, classificar ângulos e projetar um vetor sobre outro.
  3. Escrever uma reta na forma vetorial, paramétrica e geral, passar de uma forma a outra e calcular com vetores interseções, distâncias e pontos que dividem um segmento.
  4. Demonstrar propriedades geométricas por meio de vetores e modelar o movimento uniforme com retas paramétricas.

Vetores no plano

Na aula sobre a equação da reta, cada ponto do plano foi identificado com o par das suas coordenadas. Muitas grandezas, porém, não se descrevem com um ponto, mas com um deslocamento: avançar três unidades para a direita e duas para cima é a mesma instrução, qualquer que seja o ponto de partida. O mesmo ocorre com a velocidade ou com a força, que têm uma intensidade, uma direção e um sentido, e que se estudam no curso de Fundamentos de Mecânica. Um deslocamento desenha-se como uma flecha e fica determinado por dois números: o avanço horizontal e o avanço vertical. Se assim é, a definição natural é esta.

Um vetor do plano é um par ordenado de números reais, u⃗=(u1,u2)\vec{u} = \left( u_1, u_2 \right); os números u1u_1 e u2u_2 são as suas componentes. O vetor que vai do ponto P=(x1,y1)P = (x_1, y_1) ao ponto Q=(x2,y2)Q = (x_2, y_2) é o par das diferenças das suas coordenadas, e escreve-se PQ⃗\vec{PQ}; a flecha de origem PP e extremidade QQ representa-o.
PQ⃗=(x2−x1,y2−y1)\vec{PQ} = \left( x_2 - x_1, y_2 - y_1 \right)

Um mesmo vetor tem infinitas representações: duas flechas representam o mesmo vetor quando produzem o mesmo avanço horizontal e o mesmo avanço vertical, isto é, quando uma se obtém da outra por uma translação. Entre todas elas há uma só que parte da origem OO, a flecha que termina no ponto (u1,u2)(u_1, u_2). Daí segue-se que OP⃗\vec{OP}, chamado vetor posição de PP, tem por componentes as coordenadas de PP. No que segue, escreve-se P+u⃗P + \vec{u} para o ponto a que se chega a partir de PP com o deslocamento u⃗\vec{u}, isto é, a extremidade da flecha que representa u⃗\vec{u} com origem em PP. O vetor nulo 0⃗=(0,0)\vec{0} = \left( 0, 0 \right) corresponde a não se mover, e o oposto de u⃗\vec{u} é −u⃗=(−u1,−u2)-\vec{u} = \left( -u_1, -u_2 \right), o deslocamento contrário; assim, QP⃗=−PQ⃗\vec{QP} = -\vec{PQ}.

LemaVetores iguais e paralelogramos

Sejam PP, QQ, RR e SS pontos do plano. As igualdades PQ⃗=RS⃗\vec{PQ} = \vec{RS} e PR⃗=QS⃗\vec{PR} = \vec{QS} são equivalentes, e ambas equivalem a que os segmentos PSPS e QRQR tenham o mesmo ponto médio. Se os quatro pontos não estão alinhados, PQ⃗=RS⃗\vec{PQ} = \vec{RS} se e somente se o quadrilátero de vértices PP, QQ, SS e RR, nessa ordem, é um paralelogramo.

As três equivalências reduzem-se a reordenar uma igualdade entre números, coordenada a coordenada; a última apoia-se no teorema da interseção de duas retas da aula sobre a reta. Chamamos p1p_1, q1q_1, r1r_1 e s1s_1 as abscissas dos quatro pontos.

Demonstração

  1. q1−p1=s1−r1↔r1−p1=s1−q1\dato{a}{q_1 - p_1 = s_1 - r_1} \leftrightarrow \resaltar{r_1 - p_1 = s_1 - q_1}

    A igualdade das primeiras componentes de PQ⃗\vec{PQ} e de RS⃗\vec{RS} equivale, somando r1−q1r_1 - q_1 a ambos os membros, à igualdade das primeiras componentes de PR⃗\vec{PR} e de QS⃗\vec{QS}. Na figura, P=(1,0)P = (1, 0), Q=(5,1)Q = (5, 1), R=(2,3)R = (2, 3) e S=(6,4)S = (6, 4).

  2. q1−p1=s1−r1↔p1+s12=q1+r12q_1 - p_1 = s_1 - r_1 \leftrightarrow \resaltar{\frac{p_1 + s_1}{2} = \frac{q_1 + r_1}{2}}

    A mesma igualdade equivale, somando p1p_1 e r1r_1 a ambos os membros e dividindo por 22, a que os pontos médios de PSPS e de QRQR tenham a mesma abscissa. Com as ordenadas raciocina-se do mesmo modo; portanto, as três afirmações são equivalentes.

  3. q2−p2q1−p1=s2−r2s1−r1\dato{p}{\frac{q_2 - p_2}{q_1 - p_1} = \frac{s_2 - r_2}{s_1 - r_1}}

    Suponhamos agora que os quatro pontos não estão alinhados e que PQ⃗=RS⃗\vec{PQ} = \vec{RS}. As retas PQPQ e RSRS têm a mesma direção: o mesmo coeficiente angular, o quociente das componentes desse vetor, ou são ambas verticais se a sua primeira componente é nula. São distintas, porque, se coincidissem, os quatro pontos estariam alinhados; portanto, são paralelas: se não são verticais, pelo teorema da interseção de duas retas não verticais, e, se o são, porque duas retas verticais distintas não se cortam.

  4. PR⃗=QS⃗→r2−p2r1−p1=s2−q2s1−q1\vec{PR} = \vec{QS} \rightarrow \resaltar{\frac{r_2 - p_2}{r_1 - p_1} = \frac{s_2 - q_2}{s_1 - q_1}}

    Pela primeira equivalência, também PR⃗=QS⃗\vec{PR} = \vec{QS}, e o mesmo argumento mostra que os lados PRPR e QSQS são paralelos. Os lados opostos do quadrilátero PQSRPQSR são paralelos dois a dois: é um paralelogramo.

  5. RS1⃗=PQ⃗,QS1⃗=PR⃗\vec{RS_1} = \vec{PQ}, \quad \vec{QS_1} = \vec{PR}

    Reciprocamente, seja PQSRPQSR um paralelogramo e seja S1=R+PQ⃗S_1 = R + \vec{PQ}. Pelo que já foi demonstrado, aplicado aos pontos PP, QQ, RR e S1S_1, o ponto S1S_1 está na paralela a PQPQ traçada por RR e na paralela a PRPR traçada por QQ.

  6. S1=S→RS⃗=PQ⃗S_1 = S \rightarrow \resaltar{\vec{RS} = \vec{PQ}}

    Essas duas paralelas não são paralelas entre si, porque PP, QQ e RR não estão alinhados, e cortam-se num único ponto. Como o vértice SS do paralelogramo também está em ambas, coincide com S1S_1.

ExemploO vetor que vai de um ponto a outro

Calcular o vetor que vai de P=(1,1)P = (1, 1) a Q=(4,3)Q = (4, 3), transladá-lo para o ponto R=(−2,2)R = (-2, 2) e para a origem, e compará-lo com o vetor que vai de QQ a PP.

Demonstração

  1. PQ⃗=(4−1,3−1)=(3,2)\vec{PQ} = \left( \resaltar{4 - 1}, \resaltar{3 - 1} \right) = \dato{v}{\left( 3, 2 \right)}

    Subtraímos as coordenadas da origem da flecha das da sua extremidade: o deslocamento é de 33 unidades para a direita e 22 para cima.

  2. S=R+PQ⃗=(−2+3,2+2)=(1,4)S = R + \vec{PQ} = \left( -2 + \resaltar{3}, 2 + \resaltar{2} \right) = \left( 1, 4 \right)

    Com origem em RR, o mesmo deslocamento leva ao ponto SS.

  3. PR⃗=(−2−1,2−1)=(−3,1)=QS⃗\vec{PR} = \left( \resaltar{-2 - 1}, \resaltar{2 - 1} \right) = \left( -3, 1 \right) = \vec{QS}

    Pelo lema, também são iguais PR⃗\vec{PR} e QS⃗\vec{QS}, e os pontos PP, QQ, SS e RR são os vértices de um paralelogramo.

  4. OA⃗=(3,2),A=(3,2)\vec{OA} = \resaltar{\left( 3, 2 \right)}, \quad A = \left( 3, 2 \right)

    Com origem em OO, a flecha termina no ponto AA, cujas coordenadas são as componentes do vetor: PQ⃗\vec{PQ} é o vetor posição de AA.

  5. QP⃗=(1−4,1−3)=(−3,−2)=−PQ⃗\vec{QP} = \left( \resaltar{1 - 4}, \resaltar{1 - 3} \right) = \left( -3, -2 \right) = -\vec{PQ}

    A flecha que vai de QQ a PP percorre o mesmo segmento em sentido contrário: representa o vetor oposto.

A soma de vetores e o produto por um número

A soma dos vetores u⃗=(u1,u2)\vec{u} = \left( u_1, u_2 \right) e v⃗=(v1,v2)\vec{v} = \left( v_1, v_2 \right) é u⃗+v⃗=(u1+v1,u2+v2)\vec{u} + \vec{v} = \left( u_1 + v_1, u_2 + v_2 \right), e o produto do número real tt por u⃗\vec{u} é tu⃗=(tu1,tu2)t \vec{u} = \left( t u_1, t u_2 \right). A diferença de u⃗\vec{u} e v⃗\vec{v} é u⃗−v⃗=u⃗+(−v⃗)\vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + \left( -\vec{v} \right).

A soma corresponde a efetuar deslocamentos um após o outro: se se percorre u⃗\vec{u} e em seguida v⃗\vec{v}, o avanço horizontal total é u1+v1u_1 + v_1 e o vertical, u2+v2u_2 + v_2. Em termos de pontos, para três pontos quaisquer AA, BB e CC vale a relação de Chasles, porque as diferenças de coordenadas se encaixam umas nas outras: (b1−a1)+(c1−b1)=c1−a1(b_1 - a_1) + (c_1 - b_1) = c_1 - a_1, e o mesmo com as ordenadas.

AB⃗+BC⃗=AC⃗\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}

Daí seguem-se duas construções da soma: a regra do triângulo, que coloca a origem de v⃗\vec{v} na extremidade de u⃗\vec{u}, e a regra do paralelogramo, que desenha ambos os vetores com a mesma origem e toma a diagonal do paralelogramo que determinam. Em particular, PQ⃗=OQ⃗−OP⃗\vec{PQ} = \vec{OQ} - \vec{OP}: todo vetor entre dois pontos é a diferença dos seus vetores posição. O produto tu⃗t \vec{u}, por sua vez, multiplica ambos os avanços por tt: se t>0t > 0, conserva a direção e o sentido de u⃗\vec{u}; se t<0t < 0, conserva a direção e inverte o sentido; e, como se verá com a norma, multiplica o comprimento por ∣t∣\abs{t}.

ExemploA soma, a diferença e a regra do paralelogramo

Sejam u⃗=(4,1)\vec{u} = \left( 4, 1 \right) e v⃗=(1,3)\vec{v} = \left( 1, 3 \right). Construir u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} pela regra do triângulo e pela do paralelogramo, e construir u⃗−v⃗\vec{u} - \vec{v}.

Demonstração

  1. u⃗=(4,1),v⃗=(1,3)\dato{u}{\vec{u} = \left( 4, 1 \right)}, \quad \dato{v}{\vec{v} = \left( 1, 3 \right)}

    Desenhamos ambos os vetores com origem em OO.

  2. u⃗+v⃗=(4+1,1+3)=(5,4)\vec{u} + \vec{v} = \left( \resaltar{4 + 1}, \resaltar{1 + 3} \right) = \dato{s}{\left( 5, 4 \right)}

    Regra do triângulo: com origem na extremidade de u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v} leva ao ponto (5,4)(5, 4); a soma calcula-se componente a componente.

  3. v⃗+u⃗=(5,4)=u⃗+v⃗\vec{v} + \vec{u} = \resaltar{\left( 5, 4 \right)} = \vec{u} + \vec{v}

    Regra do paralelogramo: se se percorre primeiro v⃗\vec{v} e depois u⃗\vec{u}, chega-se ao mesmo ponto. A soma é a diagonal do paralelogramo de lados u⃗\vec{u} e v⃗\vec{v} que parte de OO.

  4. −v⃗=(−1,−3)=(−1)v⃗-\vec{v} = \left( \resaltar{-1}, \resaltar{-3} \right) = \left( -1 \right) \vec{v}

    O oposto de v⃗\vec{v} é o seu produto por −1-1: tem o mesmo comprimento e o sentido contrário.

  5. u⃗−v⃗=(4−1,1−3)=(3,−2)\vec{u} - \vec{v} = \left( \resaltar{4 - 1}, \resaltar{1 - 3} \right) = \left( 3, -2 \right)

    A diferença é a soma de u⃗\vec{u} e −v⃗-\vec{v}. Transladada, é a flecha que vai da extremidade de v⃗\vec{v} à extremidade de u⃗\vec{u}: a outra diagonal do paralelogramo.

As duas operações herdam dos números reais as propriedades enumeradas abaixo, válidas para todos os vetores u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v} e w⃗\vec{w} e todos os reais ss e tt:

  1. Comutatividade da soma: u⃗+v⃗=v⃗+u⃗\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}.
  2. Associatividade da soma: (u⃗+v⃗)+w⃗=u⃗+(v⃗+w⃗)\left( \vec{u} + \vec{v} \right) + \vec{w} = \vec{u} + \left( \vec{v} + \vec{w} \right).
  3. Elemento neutro: u⃗+0⃗=u⃗\vec{u} + \vec{0} = \vec{u}.
  4. Elemento oposto: u⃗+(−u⃗)=0⃗\vec{u} + \left( -\vec{u} \right) = \vec{0}.
  5. Associatividade do produto: s(tu⃗)=(st)u⃗s \left( t \vec{u} \right) = \left( s t \right) \vec{u}.
  6. Identidade: 1u⃗=u⃗1 \vec{u} = \vec{u}.
  7. Distributividade em relação à soma de vetores: t(u⃗+v⃗)=tu⃗+tv⃗t \left( \vec{u} + \vec{v} \right) = t \vec{u} + t \vec{v}.
  8. Distributividade em relação à soma de números: (s+t)u⃗=su⃗+tu⃗\left( s + t \right) \vec{u} = s \vec{u} + t \vec{u}.
TeoremaPropriedades das operações com vetores

Para todos os vetores u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v} e w⃗\vec{w} do plano e todos os reais ss e tt, valem as oito propriedades da lista anterior.

As duas operações atuam componente a componente, de modo que cada propriedade se reduz à propriedade correspondente dos números reais, aplicada em cada componente. Basta escrever a primeira componente, porque a segunda é idêntica com o índice 22.

Demonstração

  1. u1+v1=v1+u1,(u1+v1)+w1=u1+(v1+w1)\resaltar{u_1 + v_1} = \resaltar{v_1 + u_1}, \qquad \resaltar{\left( u_1 + v_1 \right) + w_1} = \resaltar{u_1 + \left( v_1 + w_1 \right)}

    Comutatividade e associatividade: herdam-se das da soma de números reais.

  2. u1+0=u1,u1+(−u1)=0\resaltar{u_1 + 0} = \resaltar{u_1}, \qquad \resaltar{u_1 + \left( -u_1 \right)} = \resaltar{0}

    Neutro e oposto: o 00 é neutro da soma e −u1-u_1 é o oposto de u1u_1.

  3. s(tu1)=(st)u1,1⋅u1=u1\resaltar{s \left( t u_1 \right)} = \resaltar{\left( s t \right) u_1}, \qquad \resaltar{1 \cdot u_1} = \resaltar{u_1}

    Associatividade do produto e identidade: o produto de reais é associativo e tem o 11 por neutro.

  4. t(u1+v1)=tu1+tv1,(s+t)u1=su1+tu1\resaltar{t \left( u_1 + v_1 \right)} = \resaltar{t u_1 + t v_1}, \qquad \resaltar{\left( s + t \right) u_1} = \resaltar{s u_1 + t u_1}

    As duas distributividades: o produto de reais é distributivo em relação à soma.

  5. u⃗+v⃗=(u1+v1,u2+v2)=(v1+u1,v2+u2)=v⃗+u⃗\vec{u} + \vec{v} = \left( \resaltar{u_1 + v_1}, \resaltar{u_2 + v_2} \right) = \left( \resaltar{v_1 + u_1}, \resaltar{v_2 + u_2} \right) = \vec{v} + \vec{u}

    Dois vetores são iguais se e somente se o são as suas duas componentes; portanto, as oito igualdades valem entre vetores. Por exemplo, a primeira.

Essas oito propriedades são os axiomas de espaço vetorial: todo conjunto cujos elementos se somam entre si e se multiplicam por números reais cumprindo essas oito regras chama-se espaço vetorial, e tudo o que delas se deduzir sem usar componentes valerá em qualquer um deles. Os polinômios da aula sobre a álgebra dos polinômios, com a sua soma e o seu produto por um número, formam outro espaço vetorial.

Combinações lineares e vetores paralelos

Uma combinação linear dos vetores u⃗\vec{u} e v⃗\vec{v} é um vetor da forma su⃗+tv⃗s \vec{u} + t \vec{v}, com ss e tt reais. Os vetores e⃗1=(1,0)\vec{e}_1 = \left( 1, 0 \right) e e⃗2=(0,1)\vec{e}_2 = \left( 0, 1 \right), que avançam uma unidade na direção de cada eixo, permitem escrever todo vetor como combinação deles, e de uma só maneira, porque ae⃗1+be⃗2=(a,b)a \vec{e}_1 + b \vec{e}_2 = \left( a, b \right) é igual a u⃗\vec{u} somente se a=u1a = u_1 e b=u2b = u_2. Por isso chamam-se a base canônica do plano:

u⃗=(u1,u2)=u1e⃗1+u2e⃗2\vec{u} = \left( u_1, u_2 \right) = u_1 \vec{e}_1 + u_2 \vec{e}_2

Dois vetores não nulos u⃗\vec{u} e v⃗\vec{v} são paralelos quando um é múltiplo do outro, isto é, quando v⃗=tu⃗\vec{v} = t \vec{u} para algum real tt, que não pode ser nulo; têm o mesmo sentido se t>0t > 0 e sentidos contrários se t<0t < 0. As flechas que os representam com uma mesma origem estão então sobre uma mesma reta.

LemaCritério de paralelismo

Dois vetores não nulos u⃗\vec{u} e v⃗\vec{v} são paralelos se e somente se u1v2−u2v1=0u_1 v_2 - u_2 v_1 = 0.

Uma implicação é um cálculo; para a outra é preciso fabricar o número tt com v⃗=tu⃗\vec{v} = t \vec{u}, dividindo por uma componente não nula de u⃗\vec{u}.

Demonstração

  1. u1(tu2)−u2(tu1)=0u_1 \resaltar{\left( t u_2 \right)} - u_2 \resaltar{\left( t u_1 \right)} = 0

    Se v⃗=tu⃗\vec{v} = t \vec{u}, as componentes de v⃗\vec{v} são tu1t u_1 e tu2t u_2, e a expressão anula-se. Na figura, u⃗=(2,1)\vec{u} = \left( 2, 1 \right) e v⃗=(6,3)=3u⃗\vec{v} = \left( 6, 3 \right) = 3 \vec{u}.

  2. u1v2=u2v1,t=v1u1→v1=tu1\dato{h}{u_1 v_2 = u_2 v_1}, \quad t = \frac{v_1}{u_1} \rightarrow \resaltar{v_1 = t u_1}

    Reciprocamente, suponhamos que a expressão se anula, e suponhamos primeiro u1≠0u_1 \neq 0. Definimos tt como o quociente das primeiras componentes, de modo que a primeira componente de v⃗\vec{v} é tu1t u_1. Na figura, t=62=3t = \frac{6}{2} = 3.

  3. v2=u2v1u1=u2tu1u1=tu2v_2 = \frac{u_2 \resaltar{v_1}}{u_1} = \frac{u_2 \resaltar{t u_1}}{u_1} = t u_2

    Isolamos v2v_2 na hipótese: também a segunda componente é tu2t u_2, e portanto v⃗=tu⃗\vec{v} = t \vec{u}. Na figura, 3=3⋅13 = 3 \cdot 1.

  4. u1=0→v1=0,t=v2u2u_1 = 0 \rightarrow \resaltar{v_1 = 0}, \quad t = \frac{v_2}{u_2}

    Se u1=0u_1 = 0, então u2≠0u_2 \neq 0, porque u⃗\vec{u} não é nulo; a hipótese dá u2v1=0u_2 v_1 = 0, donde v1=0v_1 = 0, e com o quociente das segundas componentes resulta v⃗=tu⃗\vec{v} = t \vec{u}. Na figura, u⃗=(0,2)\vec{u} = \left( 0, 2 \right) e v⃗=(0,−3)\vec{v} = \left( 0, -3 \right), com t=−32t = -\frac{3}{2}.

O número u1v2−u2v1u_1 v_2 - u_2 v_1 é o determinante da aula sobre os sistemas lineares, e o lema abaixo explica o motivo.

LemaCombinações de dois vetores não paralelos

Se u⃗\vec{u} e v⃗\vec{v} são vetores não nulos e não paralelos, todo w⃗\vec{w} é combinação linear deles de uma única maneira: existem números ss e tt, e um só par, tais que w⃗=su⃗+tv⃗\vec{w} = s \vec{u} + t \vec{v}.

A igualdade procurada, escrita por componentes, é um sistema de duas equações lineares com as incógnitas ss e tt, e basta aplicar-lhe a regra de Cramer.

Demonstração

  1. {u1s+v1t=w1u2s+v2t=w2\begin{cases} u_1 s + v_1 t = w_1 \\ u_2 s + v_2 t = w_2 \end{cases}

    Escrevemos a igualdade su⃗+tv⃗=w⃗s \vec{u} + t \vec{v} = \vec{w} componente a componente. Na figura, u⃗=(2,1)\vec{u} = \left( 2, 1 \right), v⃗=(1,3)\vec{v} = \left( 1, 3 \right) e w⃗=(4,7)\vec{w} = \left( 4, 7 \right).

  2. D=u1v2−u2v1≠0\dato{D}{D = u_1 v_2 - u_2 v_1 \neq 0}

    O determinante do sistema não é nulo, pelo critério de paralelismo, porque os vetores não são paralelos. Na figura, 2⋅3−1⋅1=52 \cdot 3 - 1 \cdot 1 = 5.

  3. s=w1v2−v1w2D,t=u1w2−w1u2Ds = \frac{w_1 v_2 - v_1 w_2}{\resaltar{D}}, \quad t = \frac{u_1 w_2 - w_1 u_2}{\resaltar{D}}

    Pela regra de Cramer, o sistema tem exatamente uma solução, dada pelos quocientes abaixo. Na figura, s=12−75=1s = \frac{12 - 7}{5} = 1 e t=14−45=2t = \frac{14 - 4}{5} = 2, e de fato w⃗=u⃗+2v⃗\vec{w} = \vec{u} + 2 \vec{v}.

  4. su⃗+tv⃗=s1u⃗+t1v⃗→s=s1∧t=t1s \vec{u} + t \vec{v} = s_1 \vec{u} + t_1 \vec{v} \rightarrow \resaltar{s = s_1 \wedge t = t_1}

    Em particular, se duas combinações de u⃗\vec{u} e v⃗\vec{v} são iguais, ambas são a solução do sistema com o mesmo w⃗\vec{w}, e os seus coeficientes coincidem. Essa comparação de coeficientes é a ferramenta de várias demonstrações da aula.