Funktionsverknüpfung, Umkehrfunktion und Graphentransformation

Rechnen mit Funktionen

In der Lektion über die algebraischen Funktionen wurde eine Funktion als eine Vorschrift definiert, die jedem Element ihrer Definitionsmenge genau ein Bild zuordnet, und es wurde gezeigt, dass die algebraischen Funktionen aus der Variablen durch Summen, Produkte, Quotienten und Wurzeln entstehen. Diese Operationen lassen sich als Operationen zwischen Funktionen auffassen: Zwei Funktionen werden punktweise addiert, multipliziert oder dividiert, und eine von ihnen kann auf das Ergebnis der anderen angewandt werden. Ist dem so, dann untersucht man komplizierte Funktionen, indem man sie in einfachere zerlegt.

Es seien $f$ und $g$ reelle Funktionen einer reellen Variablen. Ihre Summe $f + g$, ihre Differenz $f - g$ und ihr Produkt $f \cdot g$ sind die Funktionen, die jedem $x$ die Summe, die Differenz und das Produkt der Bilder zuordnen; ihr Quotient $\frac{f}{g}$ ordnet jedem $x$ den Quotienten der Bilder zu:

Damit diese Ausdrücke sinnvoll sind, muss $x$ zu beiden Definitionsmengen gehören; beim Quotienten darf außerdem das Bild $g(x)$ nicht null werden. Daraus ergeben sich die Definitionsmengen der Operationen:

Die Definitionsmenge der Differenz und die des Produkts stimmen mit der der Summe überein, und das Produkt einer Funktion mit einer Zahl $c$ ist das Produkt mit der konstanten Funktion $c$, deren Definitionsmenge $\mathbb{R}$ ist. Nun wird die Definitionsmenge einer Operation aus den beteiligten Funktionen bestimmt und nicht aus der Formel, die sich nach dem Vereinfachen ergibt. Ist $f(x) = x^2 - 1$ und $g(x) = x - 1$, so stimmt der Quotient auf seiner ganzen Definitionsmenge mit $x + 1$ überein, doch diese Menge schließt $1$ aus, denn $g(1) = 0$: Der Graph des Quotienten ist die Gerade $y = x + 1$ ohne den Punkt $(1, 2)$. Ebenso ist, wenn $f(x) = \sqrt{x}$ und $g(x) = \sqrt{-x}$ gilt, die Summe nur für $x = 0$ definiert, den einzigen gemeinsamen Punkt der Definitionsmengen. Ausgeschlossene Punkte wie der erste werden in der Lektion über Vorzeichentabellen und Ungleichungen hebbare Definitionslücken heißen, und ihre Wirkung auf die Graphen wird in der Lektion über die rationalen Funktionen untersucht.

Die Verkettung von Funktionen

Die wichtigste Operation zwischen Funktionen hat unter den Zahlen kein Gegenstück: Sie besteht darin, eine Funktion auf das Ergebnis einer anderen anzuwenden. Die Verkettung von $f$ mit $g$, die mit $f \circ g$ bezeichnet und „$f$ nach $g$“ gelesen wird, ist die Funktion, die zuerst $g$ und danach $f$ anwendet:

Man kann sie sich als Hintereinanderschaltung zweier Maschinen vorstellen: $x$ geht in $g$ hinein, das $g(x)$ erzeugt, und diese Zahl geht in $f$ hinein, das $f(g(x))$ erzeugt. Damit die Hintereinanderschaltung funktioniert, muss $x$ zur Definitionsmenge von $g$ gehören und sein Bild zu der von $f$:

Man beachte die Reihenfolge: In $f \circ g$ wirkt zuerst die rechts geschriebene Funktion. Die algebraischen Funktionen sind Verkettungen einfacherer Funktionen; zum Beispiel ist $\sqrt{1 - x^2}$ die Quadratwurzel, verkettet mit $1 - x^2$, und erst das Erkennen dieser Struktur erlaubt es, ihre Definitionsmenge zu berechnen.

Obwohl sie nicht kommutativ ist, ist die Verkettung assoziativ: Verkettet man drei Funktionen, so ist es gleichgültig, ob man zuerst die ersten beiden oder die letzten beiden zusammenfasst. Für Funktionen zwischen gegebenen Mengen wurde dies in der Lektion über Mengen, Relationen und Funktionen der ersten Einheit bewiesen. Das Einzige, was den reellen Funktionen eigen ist, ist die Definitionsmenge, die hier nicht im Voraus festgelegt, sondern aus den Formeln erschlossen wird. Nun liegt, wenn man die Definition der Definitionsmenge einer Verkettung zweimal anwendet, eine Zahl $x$ genau dann in der Definitionsmenge von $h \circ (g \circ f)$, wenn sie in der von $f$ liegt, ihr Bild $f(x)$ in der von $g$ und $g(f(x))$ in der von $h$; und dieselbe Bedingung ergibt sich für $(h \circ g) \circ f$. Auf diese gemeinsame Definitionsmenge eingeschränkt, sind die verketteten Funktionen Funktionen zwischen Mengen, und der Satz jener Lektion liefert in beiden Fällen den Wert $h(g(f(x)))$. Deshalb schreibt man einfach $h \circ g \circ f$.