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Topos Uranos
Deutsch

Algebra der reellen Polynome

Zusammenfassung

Diese Lektion untersucht die Polynome mit reellen Koeffizienten: ihre Definition durch die Koeffizienten, ihren Grad und die Gleichheit zwischen ihnen; die Operationen Addition, Subtraktion und Multiplikation, mit der Regel, die den Grad des Produkts angibt, und ihrer Verträglichkeit mit den Zahlenwerten; die Polynomdivision, mit dem Restsatz und dem Faktorsatz; die Anzahl der Nullstellen und den Identitätssatz, der es erlaubt, jedes Polynom mit der Funktion zu identifizieren, die es definiert, und der zum Beispiel beweist, dass die Quadratwurzel keine rationale Funktion ist; und das Faktorisieren, mit den binomischen Formeln. Außerdem wird gezeigt, dass sich ein Polynom faktorisieren lassen kann, auch wenn es keine reellen Nullstellen hat.

Lernziele

  1. Den Grad, die Koeffizienten und den Leitkoeffizienten eines Polynoms bestimmen und erkennen, wann zwei Polynome gleich sind.
  2. Polynome addieren, subtrahieren und multiplizieren und den Grad des Ergebnisses vorhersagen.
  3. Polynome mit der Polynomdivision dividieren und den Restsatz und den Faktorsatz anwenden.
  4. Beweisen, dass ein vom Nullpolynom verschiedenes Polynom vom Grad nn höchstens nn Nullstellen hat, und den Identitätssatz zum Koeffizientenvergleich verwenden.
  5. Polynome mithilfe ihrer Nullstellen und der binomischen Formeln faktorisieren.
  6. Anwendungsaufgaben mit Polynomen aufstellen, etwa das Volumen einer Schachtel oder ein Sparguthaben mit Zinseszins, und sie mit dem Restsatz und dem Faktorsatz lösen.

Polynome

Ein Polynom mit reellen Koeffizienten in der Variablen xx ist ein Ausdruck der folgenden Form, wobei nn eine natürliche Zahl oder null ist und die Koeffizienten a0,a1,…,ana_0, a_1, \ldots, a_n reelle Zahlen sind:

P(x)=∑i=0naixi=a0+a1x+a2x2+⋯+anxnP(x) = \sum_{i = 0}^{n} a_i x^i = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n

Jeder Summand aixia_i x^i heißt Term, und a0a_0 ist der konstante Term. Jedes Polynom definiert eine Funktion: diejenige, die jeder reellen Zahl xx die Zahl P(x)P(x) zuordnet, die entsteht, wenn man im Ausdruck die Variable durch xx ersetzt. Die so erhaltenen Funktionen, ganzrationale Funktionen genannt, sind die einfachsten algebraischen Funktionen, eingeführt in der Lektion über die algebraischen Funktionen.

Zwei Polynome sind gleich, wenn sie dieselben Koeffizienten haben, Potenz für Potenz, nachdem die in einem von ihnen fehlenden Potenzen mit Nullkoeffizienten ergänzt wurden; so sind 1+0x+3x21 + 0x + 3x^2 und 1+3x21 + 3x^2 dasselbe Polynom. Das Polynom, dessen Koeffizienten alle null sind, heißt Nullpolynom.

Der Grad eines vom Nullpolynom verschiedenen Polynoms ist der größte Exponent, dessen Koeffizient von null verschieden ist; dieser Koeffizient heißt Leitkoeffizient. So hat P(x)=3−x+5x4P(x) = 3 - x + 5x^4 den Grad 44 und den Leitkoeffizienten 55, und man schreibt deg⁡(P)=4\deg(P) = 4. Das Nullpolynom hat keinen Grad, weil es keinen von null verschiedenen Koeffizienten hat. Da man den Grad und den Leitkoeffizienten an den Koeffizienten abliest und zwei gleiche Polynome dieselben Koeffizienten haben, sind beide wohldefiniert.

Nun verwendet man ein Polynom fast immer über die Funktion, die es definiert, und man kann fragen, ob zwei verschiedene Polynome dieselbe Funktion definieren könnten; wäre das so, dann wäre der Grad einer ganzrationalen Funktion nicht wohldefiniert. Der Identitätssatz, der im Folgenden bei der Anzahl der Nullstellen bewiesen wird, verneint dies: Zwei Polynome definieren genau dann dieselbe Funktion, wenn sie gleich sind. Bis dahin bezieht sich alles, was über die Polynome und insbesondere über ihren Grad gesagt wird, auf ihre Koeffizienten, sodass kein Beweis vor diesem Satz von ihm abhängt. Danach kann jedes Polynom mit seiner Funktion identifiziert werden, und der Koeffizientenvergleich in einer Gleichung zwischen ganzrationalen Funktionen ist gerechtfertigt, wie in der gelösten Aufgabe 5.

Einteilung

Die Polynome werden zunächst nach ihrem Grad eingeteilt:

  1. Konstante Polynome: die vom Grad 00, von der Form P(x)=cP(x) = c mit c≠0c \neq 0, zusammen mit dem Nullpolynom.
  2. Lineare, vom Grad 11: P(x)=a0+a1xP(x) = a_0 + a_1 x, mit a1≠0a_1 \neq 0.
  3. Quadratische, vom Grad 22, und kubische, vom Grad 33; die höheren Grades benennt man nach ihrer Zahl: vom Grad 44, vom Grad 55 und so fort.

Nach der Anzahl seiner von null verschiedenen Terme heißt ein Polynom Monom, wenn es einen hat, Binom, wenn es zwei hat, und Trinom, wenn es drei hat.