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Topos Uranos
Deutsch

Quadratische Polynome und Trinome vom Grad 2n faktorisieren

Zusammenfassung

Diese Lektion leitet durch quadratische Ergänzung die Formel für die Nullstellen des quadratischen Polynoms her, untersucht die Diskriminante und die Beziehungen zwischen Nullstellen und Koeffizienten und gewinnt die Faktorisierung a(x−x1)(x−x2)a(x - x_1)(x - x_2). Anschließend überträgt sie das Verfahren auf die Trinome vom Grad 2n2n, also der Form ax2n+bxn+ca x^{2n} + b x^n + c, mithilfe der Substitution u=xnu = x^n und zeigt, dass sich ein Trinom vom Grad 44 auch dann faktorisieren lässt, wenn die Diskriminante negativ ist.

Lernziele

  1. Die Lösungsformel durch quadratische Ergänzung herleiten und sie zum Faktorisieren anwenden.
  2. Die Diskriminante deuten und die Beziehungen zwischen den Nullstellen und den Koeffizienten verwenden.
  3. Trinome vom Grad 2n2n mithilfe der Substitution u=xnu = x^n und der binomischen Formeln faktorisieren.
  4. Erkennen, wann ein quadratisches Polynom über den reellen Zahlen irreduzibel ist, und ein Trinom vom Grad 44 faktorisieren, dessen Diskriminante negativ ist.
  5. Anwendungsaufgaben aufstellen, die auf eine quadratische Gleichung führen, etwa den Flug eines Balls oder die Planung eines Gemüsegartens, und ihre Nullstellen und ihre Diskriminante im Zusammenhang deuten.

Das quadratische Polynom

Ein quadratisches Polynom ist ein Polynom vom Grad 22; mit reellen Koeffizienten aa, bb und cc sowie a≠0a \neq 0 schreibt man es so:

P(x)=ax2+bx+cP(x) = ax^2 + bx + c

Es zu faktorisieren heißt, es als Produkt zweier Polynome vom Grad 11 zu schreiben. Nach dem Faktorsatz, der in der Lektion über die Algebra der Polynome behandelt wurde, liefert jede reelle Nullstelle rr einen Faktor x−rx - r; daher läuft das Faktorisieren eines quadratischen Polynoms darauf hinaus, seine Nullstellen zu finden. Das Verfahren, um sie zu bestimmen, ist die quadratische Ergänzung.

SatzLösungsformel

Es sei ax2+bx+cax^2 + bx + c ein quadratisches Polynom mit a≠0a \neq 0. Für jedes reelle xx gilt die folgende Gleichung, die quadratisch ergänzte Form heißt; und wenn b2−4ac≥0b^2 - 4ac \geq 0, sind die Nullstellen des Polynoms genau die Zahlen −b±b2−4ac2a\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.

ax2+bx+c=a[(x+b2a)2−b2−4ac4a2]ax^2 + bx + c = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}\right]

Die Idee ist geometrisch: x2+baxx^2 + \frac{b}{a}x ist der Flächeninhalt eines Quadrats der Seitenlänge xx zuzüglich eines Rechtecks mit den Seiten xx und ba\frac{b}{a}. Zerlegt man das Rechteck in zwei Hälften und legt sie an zwei Seiten des Quadrats an, so fehlt nur eine Ecke, um ein größeres Quadrat mit der Seitenlänge x+b2ax + \frac{b}{2a} zu vervollständigen.

Beweis

  1. ax2+bx+c=a(x2+bax+ca)ax^2 + bx + c = a\left(x^2 + \dato{s}{\frac{b}{a}x} + \frac{c}{a}\right)

    Wegen a≠0a \neq 0 klammern wir aa aus.

  2. x2+bax=(x+b2a)2−b24a2x^2 + \resaltar{\frac{b}{a}x} = \dato{c}{\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2} - \resaltar{\frac{b^2}{4a^2}}

    Das Quadrat von x+b2ax + \frac{b}{2a} enthält x2x^2, den Term bax\frac{b}{a}x und die Ecke b24a2\frac{b^2}{4a^2}; zieht man die Ecke ab, so erhält man die gesuchte Summe.

  3. ax2+bx+c=a[(x+b2a)2−b2−4ac4a2]ax^2 + bx + c = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \dato{d}{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}}\right]

    Wir setzen in die Klammer ein und fassen die konstanten Terme zu einem einzigen Bruch zusammen, denn ca=4ac4a2\frac{c}{a} = \frac{4ac}{4a^2}.

  4. ax2+bx+c=0↔(x+b2a)2=b2−4ac4a2ax^2 + bx + c = 0 \leftrightarrow \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}

    Wegen a≠0a \neq 0 verschwindet das Polynom genau dann, wenn die eckige Klammer verschwindet.

  5. (x+b2a)2−(b2−4ac2a)2=0↔x+b2a=±b2−4ac2a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \resaltar{\left(\frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\right)^2} = 0 \leftrightarrow x + \frac{b}{2a} = \resaltar{\pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}}

    Wenn b2−4ac≥0b^2 - 4ac \geq 0, erfüllt die Zahl w=b2−4ac2aw = \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} die Gleichung w2=b2−4ac4a2w^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}, welches Vorzeichen aa auch hat. Schreibt man uu für x+b2ax + \frac{b}{2a}, so lautet die Gleichung nach der Differenz zweier Quadrate (u−w)(u+w)=0(u - w)(u + w) = 0; und ein Produkt reeller Zahlen ist nur dann null, wenn einer der Faktoren null ist, nach dem Lemma über das Vorzeichen eines Produkts aus der Lektion über die algebraischen Funktionen. Daher ist die Gleichung genau zu u=wu = w oder u=−wu = -w äquivalent: Keine Nullstelle geht verloren, und keine kommt hinzu.

  6. x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

    Wir lösen nach xx auf: Das ist die Lösungsformel.