Zum Inhalt springen
Topos Uranos
Deutsch

Nullstellen höhergradiger Polynome und synthetische Division

Zusammenfassung

Diese Lektion untersucht die Nullstellen von Polynomen vom Grad größer als zwei. Sie leitet aus der Polynomdivision die synthetische Division oder Ruffini-Regel her, die ein Polynom allein mit Multiplikationen und Additionen durch x−rx - r dividiert und zugleich den Wert P(r)P(r) liefert, und setzt sie mit dem Horner-Schema in Beziehung. Sie beweist den Satz über rationale Nullstellen, der die Suche nach rationalen Nullstellen eines Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten auf eine endliche Liste von Kandidaten zurückführt, und wendet ihn auf die vollständige Faktorisierung von Polynomen vom Grad 33 und 44 an, mit der Vielfachheit der Nullstellen und der wiederholten synthetischen Division. Sie beweist zwei Schranken für die reellen Nullstellen, die Cauchy-Schranke und diejenige, die die synthetische Division selbst liefert; sie formuliert den Fundamentalsatz der Algebra und folgert daraus, dass jedes reelle Polynom ein Produkt von Linearfaktoren und irreduziblen quadratischen Faktoren ist; und sie gewinnt die vietaschen Formeln für kubische Polynome.

Lernziele

  1. Ein Polynom mithilfe der synthetischen Division durch x−rx - r dividieren und begründen, dass das Schema die Koeffizienten des Quotienten und den Rest P(r)P(r) liefert.
  2. Die rationalen Nullstellen eines Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten mit dem Satz über rationale Nullstellen bestimmen und damit beweisen, dass gewisse Zahlen irrational sind.
  3. Polynome vom Grad 33 und 44 vollständig faktorisieren, dabei die Vielfachheit jeder Nullstelle bestimmen und das Intervall, das die reellen Nullstellen enthält, im Voraus eingrenzen.
  4. Die Nullstellen und die Koeffizienten eines kubischen Polynoms mithilfe der vietaschen Formeln in Beziehung setzen und die Faktorisierung eines reellen Polynoms beschreiben, die der Fundamentalsatz der Algebra sichert.
  5. Anwendungsaufgaben aufstellen, die auf eine Polynomgleichung vom Grad 33 oder 44 führen, wie die Wasserlinie einer Boje, und unter ihren Lösungen diejenigen auswählen, die im Kontext sinnvoll sind.

Die synthetische Division

Die Lektion über die Algebra der Polynome hat die Polynomdivision bewiesen: Zu zwei Polynomen PP und QQ, wobei QQ nicht das Nullpolynom ist, gibt es einen eindeutigen Quotienten und einen eindeutigen Rest. Ist der Divisor x−rx - r, so ist der Rest eine Konstante, die nach dem Restsatz gleich P(r)P(r) ist; und nach dem Faktorsatz ist rr genau dann eine Nullstelle von PP, wenn dieser Rest null ist. Die Suche nach den Nullstellen eines Polynoms höheren Grades erfordert daher, viele Male durch Divisoren dieser Form zu dividieren. Die synthetische Division, auch Ruffini-Regel genannt, führt jede dieser Divisionen auf eine Abfolge von Multiplikationen und Additionen mit den Koeffizienten zurück, ohne die Variable zu schreiben.

Das Schema ist folgendes. Man schreibt die Koeffizienten von PP in eine Zeile, von der höchsten Potenz bis zum konstanten Term, einschließlich der Nullen, und links davon die Zahl rr. Der erste Koeffizient wird heruntergezogen; dann wird immer wieder die zuletzt erhaltene Zahl mit rr multipliziert, das Produkt unter den nächsten Koeffizienten geschrieben, und beide werden addiert. Die Zahlen der letzten Zeile außer der letzten sind die Koeffizienten des Quotienten; die letzte ist der Rest.

BeispielEine synthetische Division

Man dividiere P(x)=2x4−5x3+7x−3P(x) = 2x^4 - 5x^3 + 7x - 3 durch x−2x - 2. Das Polynom hat keinen Term mit x2x^2, sodass sein Koeffizient, 00, in die Zeile geschrieben werden muss: Ließe man ihn weg, so verschöben sich alle anderen. Wir nennen b3b_3, b2b_2, b1b_1 und b0b_0 die Koeffizienten des Quotienten und RR den Rest.

Beweis

  1. 2x4−5x3+0x2+7x−3→2,−5,0,7,−32x^4 - 5x^3 + \resaltar{0x^2} + 7x - 3 \rightarrow \resaltar{2, -5, 0, 7, -3}

    Wir schreiben die Koeffizienten von der höchsten zur niedrigsten Potenz, einschließlich der 00 bei x2x^2, und links die Zahl r=2r = 2.

  2. b3=2b_3 = \dato{b3}{\resaltar{2}}

    Wir ziehen den ersten Koeffizienten herunter: Er ist der Leitkoeffizient des Quotienten.

  3. b2=−5+2⋅2=−1b_2 = -5 + \resaltar{2 \cdot 2} = \dato{b2}{\resaltar{-1}}

    Wir multiplizieren die erhaltene Zahl mit 22 und addieren das Produkt zum nächsten Koeffizienten.

  4. b1=0+2⋅(−1)=−2b_1 = 0 + \resaltar{2 \cdot (-1)} = \dato{b1}{\resaltar{-2}}

    Wir wiederholen die Rechnung mit der soeben erhaltenen Zahl.

  5. b0=7+2⋅(−2)=3b_0 = 7 + \resaltar{2 \cdot (-2)} = \dato{b0}{\resaltar{3}}

    Noch einmal.

  6. R=−3+2⋅3=3R = -3 + \resaltar{2 \cdot 3} = \dato{R}{\resaltar{3}}

    Die letzte Addition liefert den Rest.

  7. 2x4−5x3+7x−3=(x−2)(2x3−x2−2x+3)+32x^4 - 5x^3 + 7x - 3 = (x - 2)\left( \resaltar{2x^3 - x^2 - 2x + 3} \right) + \resaltar{3}

    Der Quotient hat den Grad 33, einen weniger als der Dividend, und seine Koeffizienten sind die der letzten Zeile; der Rest ist 33, was mit P(2)=32−40+14−3P(2) = 32 - 40 + 14 - 3 übereinstimmt, wie es der Restsatz verlangt.

Dass das Schema funktioniert, ist kein Zufall des Beispiels; der folgende Satz beweist es allgemein, indem er die Koeffizienten in der Divisionsgleichung vergleicht.

SatzSynthetische Division

Es seien P(x)=anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0P(x) = a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \cdots + a_1 x + a_0 ein Polynom vom Grad n≥1n \geq 1 und rr eine reelle Zahl. Definiert man bn−1=anb_{n - 1} = a_n, dann bk−1=ak+rbkb_{k - 1} = a_k + r b_k für kk von n−1n - 1 bis 11 und schließlich R=a0+rb0R = a_0 + r b_0, so ist der Quotient der Division von PP durch x−rx - r gleich bn−1xn−1+⋯+b1x+b0b_{n - 1} x^{n - 1} + \cdots + b_1 x + b_0, und der Rest ist R=P(r)R = P(r).

Der Beweis vergleicht die Koeffizienten beider Seiten der Divisionsgleichung; die Abbildung folgt dem Fall n=3n = 3.

Beweis

  1. P(x)=(x−r)(bn−1xn−1+⋯+b1x+b0)+R\dato{d}{P(x) = (x - r)\left( b_{n - 1} x^{n - 1} + \cdots + b_1 x + b_0 \right) + R}

    Nach der Polynomdivision gibt es einen eindeutigen Quotienten CC und einen eindeutigen Rest RR. Da der Divisor den Grad 11 hat, ist der Rest eine Konstante, und nach der Regel für den Grad eines Produkts hat der Quotient den Grad n−1n - 1; wir nennen seine Koeffizienten bkb_k.

  2. (x−r)(bn−1xn−1+⋯+b0)=bn−1xn+(bn−2−rbn−1)xn−1+⋯+(b0−rb1)x−rb0(x - r)\left( b_{n - 1} x^{n - 1} + \cdots + b_0 \right) = \resaltar{b_{n - 1}} x^n + \resaltar{\left( b_{n - 2} - r b_{n - 1} \right)} x^{n - 1} + \cdots + \resaltar{\left( b_0 - r b_1 \right)} x \resaltar{- r b_0}

    Wir multiplizieren das Produkt aus: Jeder Koeffizient bkb_k tritt zweimal auf, multipliziert mit xx im Term vom Grad k+1k + 1 und multipliziert mit −r-r in dem vom Grad kk.

  3. an=bn−1,ak=bk−1−rbk,a0=R−rb0\dato{c}{a_n = b_{n - 1}, \quad a_k = b_{k - 1} - r b_k, \quad a_0 = R - r b_0}

    Nach dem Identitätssatz stimmen die Koeffizienten jeder Potenz auf beiden Seiten der Divisionsgleichung überein; die mittlere Gleichung gilt für kk von 11 bis n−1n - 1.

  4. bn−1=an,bk−1=ak+rbk,R=a0+rb0b_{n - 1} = a_n, \quad \resaltar{b_{k - 1} = a_k + r b_k}, \quad \resaltar{R = a_0 + r b_0}

    Wir lösen auf: Der erste Koeffizient wird heruntergezogen, und jeder folgende ist, wie der Rest, der Koeffizient von PP plus rr mal die vorige Zahl. Umgekehrt erfüllen die so definierten Zahlen die vorigen Gleichungen und liefern daher eine Division von PP durch x−rx - r; wegen der Eindeutigkeit von Quotient und Rest sind es genau die der Division.

  5. P(r)=(r−r)C(r)+R=RP(r) = \resaltar{(r - r)} C(r) + R = \resaltar{R}

    Wertet man die Divisionsgleichung an der Stelle x=rx = r aus, so verschwindet der erste Summand: Die letzte Zahl der Tabelle ist P(r)P(r).

Die synthetische Division und das Horner-Schema

Das Horner-Schema, bewiesen in der Lektion über Stellenwertsysteme, berechnet den Wert einer Summe von Potenzen, indem es beim Leitkoeffizienten beginnt und immer wieder mit der Basis multipliziert und den nächsten Koeffizienten addiert. Genau das tut die letzte Zeile der synthetischen Division mit der Basis rr: Die Zahlen bn−1,bn−2,…,b0b_{n - 1}, b_{n - 2}, \ldots, b_0 sind die Zwischenergebnisse des Horner-Schemas an der Stelle x=rx = r, und die letzte Rechnung liefert den Wert des Polynoms.

R=(⋯((anr+an−1)r+an−2)⋯ )r+a0=P(r)R = \left( \cdots \left( \left( a_n r + a_{n - 1} \right) r + a_{n - 2} \right) \cdots \right) r + a_0 = P(r)

Daraus folgt, dass das Horner-Schema einen zweiten Beweis des Restsatzes liefert und dass die synthetische Division zugleich die sparsamste Art ist, ein Polynom auszuwerten und es zu dividieren: Die Auswertung an der Stelle rr kostet nn Multiplikationen und nn Additionen, und dieselbe Rechnung liefert den Quotienten gleich mit. Nach dem Faktorsatz ist rr genau dann eine Nullstelle, wenn die letzte Zahl der Tabelle 00 ist.

Um durch einen linearen Divisor ax−bax - b mit a≠0a \neq 0 zu dividieren, genügt die Beobachtung ax−b=a(x−ba)ax - b = a\left( x - \frac{b}{a} \right): Man dividiert mit der synthetischen Division durch x−bax - \frac{b}{a} und dividiert den erhaltenen Quotienten durch aa; der Rest ändert sich nicht.

P(x)=(x−ba)C(x)+R=(ax−b)⋅C(x)a+RP(x) = \left( x - \frac{b}{a} \right) C(x) + R = (ax - b) \cdot \frac{C(x)}{a} + R