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Topos Uranos
Deutsch

Bruchterme und Partialbruchzerlegung

Zusammenfassung

Diese Lektion überträgt das Rechnen mit Zahlenbrüchen auf Quotienten von Polynomen. Sie definiert die Bruchterme und ihre Definitionsmenge, beweist, dass das Kürzen eines gemeinsamen Faktors nur auf der ursprünglichen Definitionsmenge eine Gleichheit ist, was die entfernten Punkte ihrer Graphen erklärt, und kennzeichnet die Gleichheit zweier Brüche mithilfe des Identitätssatzes. Sie untersucht die Addition mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Nenner, das Produkt, den Quotienten und die Doppelbrüche, und sie löst Gleichungen mit Brüchen und mit Wurzeln, mit Blick auf die Lösungen, die beim Beseitigen der Nenner oder beim Quadrieren entstehen. Schließlich beweist sie, dass ein echter Bruchterm, dessen Nenner einfache Nullstellen hat, sich eindeutig in Partialbrüche zerlegen lässt, mit Koeffizienten, die man durch Zuhalten eines Faktors berechnet, überträgt die Zerlegung auf mehrfache Faktoren, mit einem eigenen Beweis ihrer Eindeutigkeit, und auf irreduzible quadratische Faktoren, und wendet sie auf die Berechnung von Teleskopsummen an.

Lernziele

  1. Die Definitionsmenge eines Bruchterms bestimmen, ihn korrekt kürzen und die entfernten Punkte seines Graphen erkennen.
  2. Bruchterme addieren, multiplizieren und dividieren und Doppelbrüche vereinfachen, mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Nenner.
  3. Gleichungen mit Brüchen und mit Wurzeln lösen und dabei die ausgeschlossenen Werte und die durch Quadrieren hinzugekommenen Lösungen verwerfen.
  4. Einen Bruchterm in Partialbrüche zerlegen, die Zerlegung begründen und sie auf Teleskopsummen anwenden.

Bruchterme

Ein Bruchterm ist ein Quotient zweier Polynome, PQ\frac{P}{Q}, mit QQ ungleich dem Nullpolynom. Er definiert die rationale Funktion, die jeder reellen Zahl xx den Wert P(x)Q(x)\frac{P(x)}{Q(x)} zuordnet, von der Art, die in der Lektion über die algebraischen Funktionen untersucht wurde, und seine Definitionsmenge besteht aus den reellen Zahlen, für die der Nenner nicht null wird; die übrigen heißen ausgeschlossene Werte. Da ein vom Nullpolynom verschiedenes Polynom vom Grad nn höchstens nn Nullstellen hat, gemäß der Lektion über die Algebra der Polynome, gibt es stets nur endlich viele ausgeschlossene Werte, und um sie zu finden, faktorisiert man den Nenner mit den Verfahren der Lektion über die Nullstellen höhergradiger Polynome. Im Folgenden versteht sich eine Gleichheit zwischen Bruchtermen für alle reellen Zahlen, für die ihre beiden Seiten definiert sind, und wenn die Definitionsmengen der beiden Seiten nicht übereinstimmen, wird dies ausdrücklich angegeben.

Das Kürzen

Zahlenbrüche kürzt man, indem man Zähler und Nenner durch einen gemeinsamen Faktor dividiert, wie in der Lektion über die rationalen Zahlen gesehen. Bei Bruchtermen verfährt man ebenso, aber der gemeinsame Faktor ist nun ein Polynom, das an einigen Stellen null werden kann; daraus folgt, dass der gekürzte Bruch dort definiert sein kann, wo der ursprüngliche es nicht ist.

LemmaKürzen

Es seien PP, QQ und CC Polynome, wobei QQ und CC vom Nullpolynom verschieden sind. An jeder reellen Zahl, an der QCQC nicht null wird, nimmt der Quotient PCQC\frac{PC}{QC} denselben Wert an wie PQ\frac{P}{Q}. Die Definitionsmenge von PCQC\frac{PC}{QC} ist die von PQ\frac{P}{Q} ohne die Nullstellen von CC; folglich sind beide Brüche nur dann dieselbe Funktion, wenn man den zweiten auf die Definitionsmenge des ersten einschränkt.

PCQC=PQ,Q(x)≠0∧C(x)≠0\frac{PC}{QC} = \frac{P}{Q}, \qquad Q(x) \neq 0 \wedge C(x) \neq 0

Verwendet werden das Lemma über das Vorzeichen eines Produkts aus der Lektion über die algebraischen Funktionen und das Erweiterungslemma aus der Lektion über die rationalen Zahlen, das für reelle Zahlen ebenso gilt. Die Abbildung folgt dem Beweis mit P=x−3P = x - 3, Q=x−2Q = x - 2 und C=x+3C = x + 3.

Beweis

  1. Q(x0)C(x0)≠0↔Q(x0)≠0∧C(x0)≠0\dato{d}{Q(x_0) C(x_0) \neq 0 \leftrightarrow \resaltar{Q(x_0) \neq 0 \wedge C(x_0) \neq 0}}

    Es sei x0x_0 eine reelle Zahl, an der QCQC nicht null wird. Ein Produkt reeller Zahlen ist genau dann null, wenn einer seiner Faktoren null ist; daher wird weder QQ noch CC an der Stelle x0x_0 null.

  2. P(x0) cQ(x0) c=P(x0)Q(x0),c=C(x0)≠0\frac{P(x_0) \, \resaltar{c}}{Q(x_0) \, \resaltar{c}} = \frac{P(x_0)}{Q(x_0)}, \qquad c = C(x_0) \neq 0

    Die Zahl c=C(x0)c = C(x_0) ist nicht null, und nach dem Erweiterungslemma ändert das Multiplizieren von Zähler und Nenner eines Bruchs mit ihr seinen Wert nicht.

  3. Dom⁡(PCQC)={x∈Dom⁡(PQ):C(x)≠0}\operatorname{Dom}\left( \frac{PC}{QC} \right) = \left\{ x \in \operatorname{Dom}\left( \frac{P}{Q} \right) : \resaltar{C(x) \neq 0} \right\}

    Dieselbe Äquivalenz beschreibt die Definitionsmenge: Eine reelle Zahl liegt in der von PCQC\frac{PC}{QC} genau dann, wenn sie in der von PQ\frac{P}{Q} liegt und CC an ihr nicht null wird.

  4. C(r)=0∧Q(r)≠0→r∈Dom⁡(PQ)∧r∉Dom⁡(PCQC)C(r) = 0 \wedge Q(r) \neq 0 \rightarrow r \in \operatorname{Dom}\left( \frac{P}{Q} \right) \wedge \resaltar{r \notin \operatorname{Dom}\left( \frac{PC}{QC} \right)}

    An einer Nullstelle rr von CC, die keine Nullstelle von QQ ist, ist der gekürzte Bruch definiert und der ursprüngliche nicht: Der Graph des ursprünglichen ist der des gekürzten mit diesem entfernten Punkt, den man als leeren Kreis zeichnet. In der Abbildung ist r=−3r = -3.

Was die ursprüngliche Funktion in der Nähe eines entfernten Punktes tut, wird in der Lektion über Vorzeichentabellen und Ungleichungen untersucht.

Gekürzt werden nur gemeinsame Faktoren, und deshalb verlangt das Kürzen, zuerst Zähler und Nenner zu faktorisieren: Ein gemeinsamer Summand ist kein Faktor, und ihn durchzustreichen führt zu einem Fehler. So ergäbe das Durchstreichen von xx in x+2x+4\frac{x + 2}{x + 4} den konstanten Wert 24\frac{2}{4}, während der Bruch den Wert 23\frac{2}{3} an der Stelle x=2x = 2 und den Wert 35\frac{3}{5} an der Stelle x=1x = 1 hat.

BeispielEin Kürzen und sein entfernter Punkt

Man kürze den Bruch x2−9x2+x−6\frac{x^2 - 9}{x^2 + x - 6} und beschreibe seinen Graphen. Die Abbildung markiert auf der Zahlengeraden die ausgeschlossenen Werte und zeichnet danach den gekürzten Bruch mit dem Punkt, der dem ursprünglichen fehlt.

Beweis

  1. x2−9x2+x−6=(x−3)(x+3)(x+3)(x−2)\frac{\resaltar{x^2 - 9}}{\resaltar{x^2 + x - 6}} = \frac{\resaltar{(x - 3)(x + 3)}}{\resaltar{(x + 3)(x - 2)}}

    Wir faktorisieren den Zähler, eine Differenz zweier Quadrate, und den Nenner, ein Trinom mit den Nullstellen −3-3 und 22.

  2. (x+3)(x−2)≠0↔x≠−3∧x≠2\resaltar{(x + 3)(x - 2)} \neq 0 \leftrightarrow \dato{d}{\resaltar{x \neq -3 \wedge x \neq 2}}

    Die ausgeschlossenen Werte sind die Nullstellen des Nenners; die Definitionsmenge ist die Zahlengerade ohne diese beiden Punkte.

  3. x2−9x2+x−6=x−3x−2,x≠−3\frac{x^2 - 9}{x^2 + x - 6} = \resaltar{\frac{x - 3}{x - 2}}, \qquad \resaltar{x \neq -3}

    Nach dem Lemma über das Kürzen darf der Faktor x+3x + 3, der auf der Definitionsmenge nicht null wird, gekürzt werden. Der gekürzte Bruch hat eine größere Definitionsmenge: Er schließt nur die 22 aus.

  4. −3−3−3−2=−6−5=65\frac{\resaltar{-3} - 3}{\resaltar{-3} - 2} = \frac{-6}{-5} = \resaltar{\frac{6}{5}}

    An der Stelle −3-3 hat der gekürzte Bruch den Wert 65\frac{6}{5}, und der ursprüngliche ist nicht definiert: Der Graph des ursprünglichen ist die Kurve des gekürzten ohne den Punkt mit der Abszisse −3-3.

Die Gleichheit zweier Brüche

Zwei Zahlenbrüche pq\frac{p}{q} und rs\frac{r}{s} sind genau dann gleich, wenn ps=qrps = qr gilt. Für Bruchterme gilt ein entsprechendes Kriterium, dessen Beweis auf einer Tatsache über Polynome beruht: Eine Identität, die für alle reellen Zahlen bis auf endlich viele gilt, gilt auch für diese.

LemmaIdentitäten bis auf endlich viele Stellen

Nehmen zwei Polynome an allen reellen Zahlen bis auf höchstens endlich viele denselben Wert an, so haben sie dieselben Koeffizienten und nehmen an jeder reellen Zahl denselben Wert an.

Der Beweis ist ein Widerspruchsbeweis mit dem Lemma über verschiedene Nullstellen aus der Lektion über die Algebra der Polynome. Die Abbildung zeichnet die Differenz der beiden Polynome über der xx-Achse, mit zwei Ausnahmestellen.

Beweis

  1. x∉{s1,…,sm}→D(x)=0\dato{d}{x \notin \{ s_1, \ldots, s_m \} \rightarrow \resaltar{D(x) = 0}}

    Es seien AA und BB die beiden Polynome, D=A−BD = A - B ihre Differenz und s1,…,sms_1, \ldots, s_m die reellen Zahlen, an denen sie möglicherweise nicht übereinstimmen. Die Differenz wird an allen anderen null.

  2. t1,…,tk+1∉{s1,…,sm}→D(t1)=⋯=D(tk+1)=0t_1, \ldots, t_{k + 1} \notin \{ s_1, \ldots, s_m \} \rightarrow \resaltar{D(t_1) = \cdots = D(t_{k + 1}) = 0}

    Wäre DD nicht das Nullpolynom, so hätte es einen Grad kk und nach dem Lemma über verschiedene Nullstellen höchstens kk Nullstellen. Unter den k+m+1k + m + 1 natürlichen Zahlen 1,2,…,k+m+11, 2, \ldots, k + m + 1 gibt es aber mindestens k+1k + 1, die wir t1,…,tk+1t_1, \ldots, t_{k + 1} nennen, die keine Ausnahmestellen sind, und alle sind Nullstellen von DD: ein Widerspruch.

  3. D=0→A(x)=B(x),x∈R\resaltar{D = 0} \rightarrow A(x) = B(x), \quad x \in \mathbb{R}

    Folglich ist DD das Nullpolynom: Seine Koeffizienten sind alle null, und AA und BB stimmen Koeffizient für Koeffizient überein, wie im Identitätssatz, und nehmen an jeder reellen Zahl denselben Wert an, auch an s1,…,sms_1, \ldots, s_m.

SatzGleichheit von Bruchtermen

Es seien PQ\frac{P}{Q} und RS\frac{R}{S} zwei Bruchterme. Sie nehmen genau dann an jeder reellen Zahl, an der QSQS nicht null wird, denselben Wert an, wenn die Polynome PSPS und QRQR gleich sind.

PQ=RS↔PS=QR\frac{P}{Q} = \frac{R}{S} \leftrightarrow PS = QR

Die Abbildung folgt dem Beweis mit den Brüchen x2−9x2+x−6\frac{x^2 - 9}{x^2 + x - 6} und x−3x−2\frac{x - 3}{x - 2} aus dem vorigen Beispiel.

Beweis

  1. Q(x)S(x)≠0→P(x)S(x)=Q(x)R(x)\dato{m}{Q(x) S(x) \neq 0 \rightarrow \resaltar{P(x) S(x) = Q(x) R(x)}}

    Angenommen, die beiden Brüche stimmen außerhalb der Nullstellen von QSQS überein. Durch Multiplikation mit Q(x)S(x)Q(x) S(x) erhält man eine Gleichheit zwischen den Werten zweier Polynome, gültig für alle reellen Zahlen bis auf endlich viele, denn QSQS ist nicht das Nullpolynom und hat endlich viele Nullstellen.

  2. PS=QR\resaltar{PS = QR}

    Nach dem Lemma über Identitäten bis auf endlich viele Stellen sind PSPS und QRQR dasselbe Polynom. Im Beispiel sind beide Produkte gleich x3−2x2−9x+18x^3 - 2x^2 - 9x + 18.

  3. PS=QR∧Q(x)S(x)≠0→P(x)Q(x)=R(x)S(x)PS = QR \wedge Q(x) S(x) \neq 0 \rightarrow \resaltar{\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{R(x)}{S(x)}}

    Umgekehrt genügt es im Fall PS=QRPS = QR, durch Q(x)S(x)Q(x) S(x) an den reellen Zahlen zu dividieren, an denen es nicht null wird, nach dem Erweiterungslemma.

Der Satz rechtfertigt es, ein Kürzen durch Multiplizieren über Kreuz zu überprüfen. Das Lemma seinerseits ist der Schlüssel zur Partialbruchzerlegung: Es erlaubt, eine Identität an den Nullstellen eines Nenners auszuwerten, wo die Brüche, aus denen sie stammt, nicht definiert sind.