Zum Inhalt springen
Topos Uranos
Deutsch

Vorzeichentabellen und Ungleichungen

Zusammenfassung

Diese Lektion zeigt, wie man das Vorzeichen eines Polynoms und eines Quotienten von Polynomen aus seiner Faktorisierung bestimmt, indem man die Untersuchung in einer Vorzeichentabelle ordnet. Sie untersucht die Rolle der Vielfachheit der Nullstellen und der irreduziblen quadratischen Faktoren, unterscheidet unter den Nullstellen des Nenners die senkrechten Asymptoten von den hebbaren Definitionslücken, mit einer ersten anschaulichen Vorstellung vom Grenzwert, und wendet das Verfahren auf das Lösen polynomialer und rationaler Ungleichungen, strenger wie nicht strenger, und auf die Bestimmung der Definitionsmenge von Funktionen mit Quotienten und Wurzeln an, verschachtelte Wurzeln eingeschlossen. Sie ist die erste von drei Lektionen über die Definitionsmenge, die Wertemenge und den Graphen der algebraischen Funktionen.

Lernziele

  1. Die Vorzeichentabelle eines faktorisierten Polynoms aufstellen und dabei die Vielfachheit jeder Nullstelle und die irreduziblen quadratischen Faktoren berücksichtigen.
  2. Das Vorzeichen eines Quotienten von Polynomen bestimmen und unter den Nullstellen des Nenners die senkrechten Asymptoten und die hebbaren Definitionslücken erkennen.
  3. Polynomiale und rationale Ungleichungen, strenge wie nicht strenge, lösen, ohne mit Termen unbekannten Vorzeichens zu multiplizieren.
  4. Die Definitionsmenge von Funktionen mit Quotienten und Wurzeln, verschachtelte Wurzeln eingeschlossen, mit Hilfe von Vorzeichentabellen bestimmen.
  5. Anwendungsaufgaben, etwa die Dauer einer Fahrt, die Wirkung eines Medikaments oder die Gestaltung einer Verpackung, in Ungleichungen übersetzen und diese mit Vorzeichentabellen lösen.

Das Vorzeichen eines Polynoms

Viele Fragen über eine Funktion laufen darauf hinaus, zu wissen, wo ein Term positiv, negativ oder null ist: Die Definitionsmenge einer Quadratwurzel verlangt einen nichtnegativen Radikanden, eine Ungleichung fragt, wo ein Term positiv ist, und der Graph einer Funktion liegt genau dort oberhalb der xx-Achse, wo die Funktion positiv ist. Das Werkzeug, das diese Frage beantwortet, ist die Vorzeichentabelle, und ihr Rohstoff ist die Faktorisierung, die in der Lektion über das Faktorisieren quadratischer Polynome behandelt wurde.

Das Vorzeichen eines Linearfaktors

Ein Linearfaktor ax+bax + b mit a≠0a \neq 0 verschwindet nur in x=−bax = -\frac{b}{a} und hat auf jeder Seite dieses Punktes konstantes Vorzeichen. Für a>0a > 0 ist er links negativ und rechts positiv; für a<0a < 0 umgekehrt. Zum Beispiel ist x−3x - 3 genau dann positiv, wenn x>3x > 3, und 2−x2 - x genau dann, wenn x<2x < 2:

x−3>0↔x>3,2−x>0↔x<2x - 3 > 0 \leftrightarrow x > 3, \qquad 2 - x > 0 \leftrightarrow x < 2
LemmaVorzeichen eines Linearfaktors

Es sei ax+bax + b ein Polynom vom Grad 11 mit der Nullstelle r=−bar = -\frac{b}{a}. Für a>0a > 0 ist ax+bax + b genau dann positiv, wenn x>rx > r, und genau dann negativ, wenn x<rx < r; für a<0a < 0 ist es genau dann positiv, wenn x<rx < r, und genau dann negativ, wenn x>rx > r.

Verwendet werden die Rechenregeln für Ungleichungen, die in der Lektion über die Zahlengerade bewiesen wurden, und das Lemma über das Vorzeichen eines Produkts aus der Lektion über die algebraischen Funktionen.

Beweis

  1. ax+b=a(x+ba)=a (x−r)ax + b = a\left( x + \frac{b}{a} \right) = \dato{f}{a \, \resaltar{(x - r)}}

    Wir klammern aa aus: Der Linearfaktor ist aa mal die Differenz x−rx - r, die genau dann positiv ist, wenn x>rx > r, in rr null und genau dann negativ, wenn x<rx < r.

  2. a>0→(ax+b>0↔x>r)a > 0 \rightarrow \left( ax + b > 0 \leftrightarrow \resaltar{x > r} \right)

    Nach dem Lemma über das Vorzeichen eines Produkts ist a(x−r)a(x - r) genau dann positiv, wenn aa und x−rx - r dasselbe Vorzeichen haben. Für a>0a > 0 trifft das genau dann zu, wenn x>rx > r.

  3. a<0→(ax+b>0↔x<r)a < 0 \rightarrow \left( ax + b > 0 \leftrightarrow \resaltar{x < r} \right)

    Für a<0a < 0 ist das Produkt genau dann positiv, wenn x−rx - r negativ ist, das heißt, wenn x<rx < r; und in beiden Fällen ist das Produkt genau dann negativ, wenn die Vorzeichen entgegengesetzt sind.

Die Vorzeichentabelle eines Produkts

Angenommen, ein Polynom ist als Produkt von Linearfaktoren geschrieben. Die Zahlen, in denen ein Faktor verschwindet, heißen kritische Stellen; der Größe nach geordnet, zerlegen sie die Zahlengerade in offene Intervalle. Nun liegt jedes dieser Intervalle vollständig auf einer Seite der Nullstelle jedes Faktors, so dass nach dem Lemma über das Vorzeichen eines Linearfaktors kein Faktor in ihm das Vorzeichen wechselt; daraus folgt, dass auch das Produkt auf jedem Intervall konstantes Vorzeichen hat. Dieses Vorzeichen liefert die Vorzeichenregel, die auf nn Faktoren das Lemma über das Vorzeichen eines Produkts zweier Faktoren ausdehnt, das in der Lektion über die algebraischen Funktionen bewiesen wurde. Die Verallgemeinerung wird durch Induktion bewiesen, wie in der Lektion über Summen, arithmetische und geometrische Folgen und Induktion.

LemmaVorzeichenregel

Ein Produkt von nn von null verschiedenen reellen Faktoren ist von null verschieden; es ist negativ, wenn die Anzahl seiner negativen Faktoren ungerade ist, und positiv, wenn sie gerade ist.

Es seien c1,c2,…,cnc_1, c_2, \ldots, c_n von null verschiedene reelle Zahlen und Πn=c1c2⋯cn\Pi_n = c_1 c_2 \cdots c_n ihr Produkt. Wir schließen durch Induktion über die Anzahl nn der Faktoren. Die Abbildung zeigt die Faktoren in einer Reihe und unter jedem von ihnen das Vorzeichen des bis zu ihm aufgelaufenen Produkts.

Beweis

  1. c>0→(p⋅c>0↔p>0),c<0→(p⋅c>0↔p<0)\dato{pos}{c > 0 \rightarrow (p \cdot c > 0 \leftrightarrow p > 0)}, \quad \dato{neg}{c < 0 \rightarrow (p \cdot c > 0 \leftrightarrow p < 0)}

    Nach dem Lemma über das Vorzeichen eines Produkts zweier Faktoren ist das Produkt einer von null verschiedenen reellen Zahl pp mit einer von null verschiedenen reellen Zahl cc nicht null; ist cc positiv, so hat es das Vorzeichen von pp, und ist cc negativ, das entgegengesetzte.

  2. Π1=c1\Pi_1 = c_1

    Induktionsanfang: Für n=1n = 1 ist das Produkt der Faktor selbst, der genau dann negativ ist, wenn es einen negativen Faktor gibt, und 11 ist ungerade.

  3. Πn+1=Πn⋅cn+1\dato{h}{\Pi_{n + 1} = \Pi_n \cdot c_{n + 1}}

    Induktionsvoraussetzung: Πn\Pi_n ist negativ, wenn die Anzahl knk_n seiner negativen Faktoren ungerade ist, und positiv, wenn sie gerade ist. Wir fügen einen Faktor hinzu.

  4. cn+1>0→kn+1=knc_{n + 1} > 0 \rightarrow \resaltar{k_{n + 1} = k_n}

    Ist cn+1c_{n + 1} positiv, so ändert sich das Vorzeichen des Produkts nicht, und die Anzahl der negativen Faktoren ändert sich nicht: Die Regel gilt für n+1n + 1 Faktoren.

  5. cn+1<0→kn+1=kn+1c_{n + 1} < 0 \rightarrow \resaltar{k_{n + 1} = k_n + 1}

    Ist cn+1c_{n + 1} negativ, so kehrt sich das Vorzeichen um, und die Anzahl der negativen Faktoren wächst um eins, was ihre Parität ändert. Die Regel gilt auch hier, und nach dem Induktionsprinzip gilt sie für jedes nn.

Die Vorzeichentabelle ordnet diese Überlegung. Ihre Spalten sind die von den kritischen Stellen bestimmten Intervalle; sie hat eine Zeile für jeden Faktor und eine letzte Zeile für das Produkt, die man Spalte für Spalte mit der Vorzeichenregel erhält. An jeder kritischen Stelle trägt man in den Zeilen der Faktoren, die verschwinden, eine 00 ein, und ebenso in der des Produkts.

BeispielDie Vorzeichentabelle eines Produkts

Man bestimme das Vorzeichen des Polynoms P(x)=(x+2)(x−1)(x−3)P(x) = (x + 2)(x - 1)(x - 3) in jedem Punkt der Zahlengeraden.

Beweis

  1. P(x)=0↔x=−2∨x=1∨x=3P(x) = 0 \leftrightarrow x = -2 \vee x = 1 \vee x = 3

    Die kritischen Stellen sind die Nullstellen der drei Faktoren. Sie zerlegen die Gerade in vier Intervalle, die die Spalten der Tabelle bilden.

  2. x+2>0↔x>−2x + 2 > 0 \leftrightarrow x > -2

    Der Faktor x+2x + 2 verschwindet in −2-2; er ist links von diesem Punkt negativ und rechts positiv.

  3. x−1>0↔x>1x - 1 > 0 \leftrightarrow x > 1

    Der Faktor x−1x - 1 wechselt in 11 das Vorzeichen.

  4. x−3>0↔x>3x - 3 > 0 \leftrightarrow x > 3

    Der Faktor x−3x - 3 wechselt in 33 das Vorzeichen.

  5. P(x)<0↔x<−2∨1<x<3P(x) < 0 \leftrightarrow x < -2 \vee 1 < x < 3

    In jeder Spalte zählen wir die negativen Faktoren: drei, zwei, einer und keiner. Das Produkt ist negativ, wenn ihre Anzahl ungerade ist.

  6. P(x)>0↔−2<x<1∨x>3P(x) > 0 \leftrightarrow -2 < x < 1 \vee x > 3

    In den übrigen Spalten ist das Produkt positiv, und in den drei kritischen Stellen verschwindet es. Der Graph bestätigt es: Die Kurve liegt genau auf diesen Intervallen oberhalb der Achse und schneidet sie in jeder kritischen Stelle.

Vielfachheit und irreduzible Faktoren

Nicht jedes Polynom zerfällt in verschiedene Linearfaktoren. Wie in der Lektion über die Nullstellen höhergradiger Polynome gezeigt, ist rr eine Nullstelle der Vielfachheit kk, wenn das Polynom gleich (x−r)k(x - r)^k mal einem anderen Polynom ist, das in rr nicht verschwindet, und diese Vielfachheit bestimmt man mit der wiederholten synthetischen Division; in der Tabelle ist der zugehörige Faktor (x−r)k(x - r)^k. Andererseits ist nach dem Satz über das Vorzeichen der Diskriminante, bewiesen in der Lektion über das Faktorisieren quadratischer Polynome, ein quadratischer Faktor ax2+bx+cax^2 + bx + c mit negativer Diskriminante irreduzibel und hat keine reellen Nullstellen. Der folgende Satz sagt, welche Rolle jeder von ihnen in der Tabelle spielt.

PropositionVorzeichen und Vielfachheit

Das Vorzeichen eines faktorisierten Polynoms wechselt beim Durchgang durch eine kritische Stelle genau dann, wenn die Vielfachheit dieser Nullstelle ungerade ist. Irreduzible quadratische Faktoren haben konstantes Vorzeichen, nämlich das ihres Leitkoeffizienten, und können aus einer Ungleichung weggelassen werden, wenn sie positiv sind, denn die Division durch eine positive Zahl erhält die Ungleichung.

Es sei rr eine Nullstelle der Vielfachheit kk des Polynoms PP. Die Abbildung begleitet den Beweis mit r=1r = 1 und dem Kofaktor x+2x + 2, und am Ende mit dem irreduziblen Faktor x2+x+1x^2 + x + 1.

Beweis

  1. P(x)=(x−r)kC(x),C(r)≠0\dato{p}{P(x) = \resaltar{(x - r)^k} C(x), \quad C(r) \neq 0}

    Wir schreiben PP so, dass der Faktor von rr abgetrennt ist. Zwischen rr und der nächstgelegenen kritischen Stelle von CC verschwindet kein Faktor von CC, und nach der Vorzeichenregel hat CC auf beiden Seiten von rr konstantes Vorzeichen.

  2. k=2j→(x−r)k=((x−r)j)2>0,x≠rk = 2j \rightarrow (x - r)^k = \resaltar{\left( (x - r)^j \right)^2} > 0, \quad x \neq r

    Ist kk gerade, so ist (x−r)k(x - r)^k auf beiden Seiten von rr das Quadrat einer von null verschiedenen Zahl und damit positiv: PP hat dort das Vorzeichen von CC, das sich nicht ändert.

  3. k=2j+1→(x−r)k=(x−r)((x−r)j)2k = 2j + 1 \rightarrow (x - r)^k = \resaltar{(x - r)} \left( (x - r)^j \right)^2

    Ist kk ungerade, so ist (x−r)k(x - r)^k gleich x−rx - r mal einem positiven Quadrat und hat das Vorzeichen von x−rx - r, das sich in rr ändert: Nach der Vorzeichenregel wechselt PP beim Durchgang durch rr das Vorzeichen.

  4. ax2+bx+c=a((x+b2a)2+4ac−b24a2)ax^2 + bx + c = a \resaltar{\left( \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 + \frac{4ac - b^2}{4a^2} \right)}

    Gilt b2−4ac<0b^2 - 4ac < 0, so ist in der quadratisch ergänzten Form die eckige Klammer ein Quadrat plus eine positive Zahl: Der Faktor hat stets das Vorzeichen von aa, liefert keine kritischen Stellen, und für a>0a > 0 bleibt beim Dividieren durch ihn das Ungleichheitszeichen erhalten.

BeispielEine doppelte Nullstelle und ein irreduzibler Faktor

Man bestimme, wo das Polynom Q(x)=(x+1)2(2−x)(x2+x+1)Q(x) = (x + 1)^2 (2 - x)(x^2 + x + 1) positiv und wo es nichtnegativ ist.

Beweis

  1. Δ=12−4⋅1⋅1=−3<0\Delta = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0

    Die kritischen Stellen sind −1-1, eine doppelte Nullstelle, und 22. Der quadratische Faktor liefert keine, weil seine Diskriminante negativ ist.

  2. (x+1)2>0↔x≠−1(x + 1)^2 > 0 \leftrightarrow x \neq -1

    Der Faktor (x+1)2(x + 1)^2 ist ein Quadrat: Er verschwindet in −1-1 und ist auf beiden Seiten positiv.

  3. 2−x>0↔x<22 - x > 0 \leftrightarrow x < 2

    Der Faktor 2−x2 - x hat einen negativen Leitkoeffizienten: Er ist links von 22 positiv.

  4. x2+x+1=(x+12)2+34>0x^2 + x + 1 = \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4} > 0

    Der irreduzible Faktor ist in allen Spalten positiv, wie die quadratisch ergänzte Form zeigt.

  5. Q(x)≥0↔x≤2Q(x) \geq 0 \leftrightarrow x \leq 2

    Mit der Vorzeichenregel erhält man die Zeile von QQ: Das Vorzeichen wechselt nicht in −1-1, einer Nullstelle gerader Vielfachheit, und wechselt in 22. Die nicht strenge Ungleichung schließt die beiden Nullstellen ein.

  6. Q(x)>0↔x<2∧x≠−1Q(x) > 0 \leftrightarrow x < 2 \wedge x \neq -1

    Die strenge Ungleichung schließt die Nullstellen von QQ aus, auch die in −1-1, obwohl das Polynom auf beiden Seiten davon positiv ist.