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Topos Uranos
Deutsch

Rationale Funktionen: Asymptoten und Graph

Zusammenfassung

Eine rationale Funktion ist der Quotient zweier Polynome. Diese Lektion lehrt, sie zu untersuchen und ihren Graphen mit zwei algebraischen Werkzeugen zu skizzieren: der Vorzeichentabelle und der Polynomdivision. Die Nullstellen des Nenners legen die Definitionsmenge fest und ergeben, je nachdem, ob der Zähler in ihnen verschwindet oder nicht, hebbare Definitionslücken oder senkrechte Asymptoten, in deren Nähe die Vorzeichentabelle entscheidet, wohin die Kurve entweicht. Die Division schreibt die Funktion als Polynom plus einen Bruch, der gegen null strebt, und dieses Polynom ist die waagerechte oder schiefe Asymptote oder die Näherungskurve, der sich der Graph nähert, wenn die Variable gegen unendlich strebt. Die Schnittpunkte mit den Achsen vervollständigen die Skizze, und die Wertemenge erhält man durch Auflösen nach der Variablen, wenn das möglich ist, oder andernfalls aus dem Verhalten der Äste.

Lernziele

  1. Die Definitionsmenge einer rationalen Funktion bestimmen und unter den Nullstellen des Nenners die hebbaren Definitionslücken von den senkrechten Asymptoten unterscheiden.
  2. Das Verhalten einer rationalen Funktion auf jeder Seite einer senkrechten Asymptote mithilfe ihrer Vorzeichentabelle beschreiben.
  3. Mithilfe der Polynomdivision die waagerechte oder schiefe Asymptote oder die Näherungskurve einer rationalen Funktion und die Lage des Graphen bezüglich dieser bestimmen.
  4. Den Graphen einer rationalen Funktion skizzieren und ihre Wertemenge bestimmen, und zwar exakt, wenn sich die Gleichung y=f(x)y = f(x) lösen lässt, und andernfalls so weit, wie es ihre Äste erlauben.
  5. Angewandte Situationen mit rationalen Funktionen modellieren, etwa die Leistung, die eine Batterie abgibt, die Durchschnittskosten einer Produktion oder die Konzentration einer Mischung, und ihre Asymptoten und ihre Wertemenge im Sachzusammenhang deuten.

Rationale Funktionen und ihre Definitionsmenge

In der Lektion über die algebraischen Funktionen wurde jede Funktion rational genannt, die Quotient zweier Polynome ist, mit einem Nenner, der nicht das Nullpolynom ist:

f(x)=P(x)Q(x)f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}

Ihre Definitionsmenge besteht aus den reellen Zahlen, die den Nenner nicht zu null machen. Um sie zu finden, muss man daher die Nullstellen von QQ bestimmen, und dazu dienen die Lösungsformel und die Verfahren der Lektion über das Faktorisieren quadratischer Polynome, zusammen mit dem Restsatz und dem Faktorsatz aus der Lektion über die Algebra der Polynome. Jede Untersuchung einer rationalen Funktion beginnt folglich damit, ihren Nenner zu faktorisieren.

Nun spielen nicht alle Nullstellen des Nenners dieselbe Rolle. Wie in der Lektion über Vorzeichentabellen und Ungleichungen gezeigt, sind, wenn eine Zahl rr sowohl QQ als auch PP zu null macht, nach dem Faktorsatz beide Polynome durch x−rx - r teilbar, und der gemeinsame Faktor lässt sich in allen Punkten der Definitionsmenge kürzen. Verschwindet der Nenner des gekürzten Bruchs in rr nicht mehr, so ist die Zahl rr eine hebbare Definitionslücke: Der Graph von ff ist der des gekürzten Bruchs, aus dem ein einziger Punkt entfernt ist, und die Funktion wäre in rr definiert, wenn man ihr dort den Wert des gekürzten Bruchs zuordnete. Macht dagegen nach dem Kürzen aller gemeinsamen Faktoren die Zahl rr den Nenner noch immer zu null, so ist die Gerade x=rx = r eine senkrechte Asymptote, wie im Folgenden genauer ausgeführt wird. Deshalb empfiehlt es sich, den Bruch vor seiner Untersuchung zu kürzen, ohne zu vergessen, dass die gekürzten Zahlen außerhalb der Definitionsmenge bleiben.