Wurzelfunktionen: Definitionsmenge, Vorzeichen und Graph

Zusammenfassung

Diese Lektion überträgt die Methode der Vorzeichentabellen und der Polynomdivision auf Wurzelfunktionen: Sie bestimmt ihre Definitionsmenge, wenn Wurzeln im Zähler und im Nenner stehen, untersucht ihr Vorzeichen und ihr Verhalten an den Rändern der Definitionsmenge, wo der Graph in einem Punkt endet oder sich einer senkrechten Asymptote nähert, und ermittelt ihre Asymptoten für große Werte der Variablen, indem sie aus jeder Wurzel die höchste Potenz von $x$ herauszieht, wobei die Fälle $x$ positiv und $x$ negativ zu unterscheiden sind. Sie schließt mit der Wertemenge, die sich genau bestimmen lässt, wenn die Grenzwerte an den Rändern es erlauben, und mit der vollständigen Untersuchung von Funktionen, deren Radikand ein Trinom vom Grad $8$ ist.

Lernziele

Die Definitionsmenge einer Funktion mit Wurzeln im Zähler und im Nenner mithilfe von Vorzeichentabellen und der Faktorisierung von Trinomen vom Grad $2n$ bestimmen.
Das Vorzeichen einer Wurzelfunktion und ihr Verhalten an den Rändern der Definitionsmenge untersuchen und dabei die Endpunkte, in denen der Graph endet, von den senkrechten Asymptoten unterscheiden.
Die Asymptoten einer Wurzelfunktion bestimmen, wenn $x$ gegen $\infty$ und gegen $-\infty$ strebt, und dabei positive und negative Werte der Variablen getrennt behandeln.
Den Graphen einer Wurzelfunktion zeichnen und ihre Wertemenge bestimmen, wenn die Untersuchung es erlaubt, und die Fälle erkennen, die die Methoden der Differentialrechnung erfordern.
Wurzelfunktionen untersuchen, die angewandte Größen beschreiben, etwa die Differenz der Abstände zu zwei Antennen oder den Lorentz-Faktor der Relativitätstheorie, und ihre Definitionsmenge, ihre Asymptoten und ihre Wertemenge im Kontext deuten.

Die Definitionsmenge einer Wurzelfunktion

In der Lektion über die algebraischen Funktionen wurden die Regeln aufgestellt, die die Definitionsmenge einer durch eine Formel gegebenen Funktion festlegen: Kein Nenner darf null sein, und der Radikand einer Wurzel mit geradem Wurzelexponenten darf nicht negativ sein. Steht die Wurzel in einem Nenner, so wirken beide Regeln zugleich, und ihr Radikand muss echt positiv sein; steht sie im Zähler, so genügt es, dass er nichtnegativ ist. Wurzeln mit ungeradem Wurzelexponenten stellen keinerlei Bedingung, außer der, nicht null zu werden, wenn sie in einem Nenner stehen.

Sind die Radikanden Polynome vom Grad größer als $1$ , so ist jede Bedingung eine Polynomungleichung, die man durch Faktorisieren und das Aufstellen einer Vorzeichentabelle löst, wie in der Lektion über Vorzeichentabellen und Ungleichungen. Die quadratischen Faktoren erhält man mit der Lösungsformel, und Trinome der Form $a x^{2n} + b x^n + c$ führt man mit der Substitution $u = x^n$ auf quadratische zurück, wie in der Lektion über das Faktorisieren quadratischer Polynome. Ein quadratischer Faktor mit negativer Diskriminante behält stets das Vorzeichen seines Leitkoeffizienten, sodass er keine kritischen Stellen liefert und aus der Tabelle gestrichen werden kann.

Die Definitionsmenge einer Wurzelfunktion erhält man, indem man alle Bedingungen zugleich zusammenführt: nichtnegativer Radikand für jede Wurzel mit geradem Wurzelexponenten im Zähler, positiver Radikand für jede Wurzel mit geradem Wurzelexponenten in einem Nenner und von null verschiedene Nenner. Jede Bedingung wird mit einer Vorzeichentabelle gelöst, und die Definitionsmenge ist der Durchschnitt der erhaltenen Mengen.