Funktionen und Polynome: Synthese und Herausforderungen

Zusammenfassung

Diese Lektion schließt die Einheit über die algebraischen Funktionen und die Polynome ab. Sie fasst das in ihren neun Lektionen Bewiesene zu einer einzigen deduktiven Kette zusammen, vom Begriff der Funktion und der Polynomdivision bis zur vollständigen Untersuchung der rationalen Funktionen und der Wurzelfunktionen; sie zeigt, wie die Einheit auf den natürlichen Zahlen und den Zahlbereichen der früheren Einheiten aufbaut, nennt ehrlich die Resultate, die ohne Beweis angenommen wurden, und erklärt, wie sie mit der analytischen Geometrie der Ebene zusammenhängt. Sie endet mit zehn Herausforderungen, schwieriger als die Übungsaufgaben der Einheit, die verlangen, mehrere Lektionen zu verbinden und eine Idee zu finden.

Lernziele

Die Kette der Definitionen und Sätze der Einheit rekonstruieren und dabei erklären, welches Resultat sich auf welches stützt.
Die Sätze über Polynome mit ihren Gegenstücken über ganze Zahlen in Beziehung setzen, die in den früheren Einheiten untersucht wurden.
Die in der Einheit bewiesenen Resultate von denen unterscheiden, die angenommen wurden und in anderen Kursen bewiesen werden.
Aufgaben lösen, die mehrere Lektionen der Einheit verbinden und eine nicht mechanische Idee verlangen, darunter das Ansetzen einer konkreten Situation mit Hilfe von Polynomen.

Was die Einheit erreicht hat

Die Funktionen und ihre Verknüpfungen

Die Einheit begann mit dem Begriff der Funktion: einer Vorschrift, die jedem Element der Definitionsmenge genau ein Bild zuordnet. In der Lektion über die algebraischen Funktionen wurden die Regeln festgelegt, welche die Definitionsmenge eines Terms bestimmen, das Lemma über das Vorzeichen eines Produkts bewiesen, die Grundlage der ganzen späteren Untersuchung der Vorzeichen, und die Funktionen in ganzrationale, rationale, irrationale und transzendente eingeteilt; dass die Einteilung, die sich auf die Funktionen und nicht auf ihre Terme bezieht, nicht leer ist, zeigte der Beweis, dass $\frac{1}{x}$ mit keinem Polynom übereinstimmt, und die Lektion über die Algebra der Polynome bewies später, dass $\sqrt{x}$ keine rationale Funktion ist. Die Lektion über die Funktionsverknüpfung behandelte die reellen Funktionen als Objekte. Von der Lektion über Mengen, Relationen und Funktionen der ersten Einheit übernahm sie die Assoziativität der Verkettung und den Satz, nach dem eine Funktion genau dann eine Umkehrfunktion hat, wenn sie bijektiv ist; hinzu kam, was den reellen Funktionen eigen ist: die Definitionsmenge einer Verkettung, mit der die Verkettung assoziativ, aber nicht kommutativ bleibt; dass eine streng monotone Funktion auf ihre Wertemenge bijektiv ist und eine monotone Umkehrfunktion hat, was erlaubt, die nicht injektiven Funktionen durch Einschränkung umzukehren; dass der Graph der Umkehrfunktion das Spiegelbild an der Geraden $y = x$ ist; und dass jede Funktion mit symmetrischer Definitionsmenge auf genau eine Weise die Summe einer geraden und einer ungeraden Funktion ist.

Die Polynome und ihre Faktorisierung

Das Zentrum der Einheit ist die Theorie der Polynome, die sich als eine Kette von Sätzen entfaltet, von denen jeder auf dem vorhergehenden aufbaut.

Die Polynomdivision, bewiesen in der Lektion über die Algebra der Polynome, liefert einen eindeutigen Quotienten und einen eindeutigen Rest. Mit dem Divisor $x - r$ ist der Rest $P(r)$ (Restsatz), und daraus folgt der Faktorsatz: $r$ ist genau dann eine Nullstelle, wenn $x - r$ ein Teiler von $P$ ist.
Auf mehrere Nullstellen angewandt, liefert der Faktorsatz das Lemma über verschiedene Nullstellen: Ein vom Nullpolynom verschiedenes Polynom vom Grad $n$ hat höchstens $n$ Nullstellen. Daraus folgt der Identitätssatz: Zwei Polynome definieren genau dann dieselbe Funktion, wenn sie dieselben Koeffizienten haben. Da die Polynome bis dahin über ihre Koeffizienten behandelt worden waren, ist die Reihenfolge nicht zirkulär; und von da an wird jedes Polynom mit seiner Funktion identifiziert, Koeffizienten können verglichen werden, zwei Polynome, die an unendlich vielen Stellen übereinstimmen, sind gleich, und es wird bewiesen, dass die Quadratwurzel keine rationale Funktion ist.
Um die Nullstellen zu finden, ergänzte die Lektion über das Faktorisieren quadratischer Polynome quadratisch und gewann die Lösungsformel, die Diskriminante und die vietaschen Formeln; die Lektion über die Nullstellen höhergradiger Polynome fügte die synthetische Division, den Satz über rationale Nullstellen, die Vielfachheit und die Schranken für die Nullstellen hinzu.
Unter Annahme des Fundamentalsatzes der Algebra und mit dem Satz über die konjugierten Nullstellen wurde die Faktorisierung über den reellen Zahlen bewiesen: Jedes reelle Polynom ist sein Leitkoeffizient mal Faktoren $x - r$ und mal irreduzible quadratische Faktoren.

P(x) = a_n (x - r_1) \cdots (x - r_k) \left( x^2 + p_1 x + s_1 \right) \cdots \left( x^2 + p_m x + s_m \right), \qquad k + 2m = n

Vom Quotienten zum Graphen

Mit der Faktorisierung in der Hand untersuchte die zweite Hälfte der Einheit die Quotienten. Die Lektion über die Bruchterme zeigte, dass das Kürzen eines gemeinsamen Faktors nur auf der ursprünglichen Definitionsmenge eine Gleichheit ist, charakterisierte die Gleichheit zweier Brüche und bewies die Existenz und die Eindeutigkeit der Partialbruchzerlegung, wenn der Nenner nur Linearfaktoren hat: Bei verschiedenen Faktoren erhält man die Koeffizienten, indem man an den Nullstellen eine Identität auswertet, die nach dem Identitätssatz auch dort gilt, wo die Brüche nicht definiert sind; bei mehrfachen Faktoren verlangt die Eindeutigkeit, an jeder Nullstelle den Term mit der höchsten Potenz zu isolieren. Die Lektion über Vorzeichentabellen und Ungleichungen dehnte die Vorzeichenregel auf $n$ Faktoren aus und las an der Faktorisierung das Vorzeichen eines Polynoms oder eines Quotienten ab: Das Vorzeichen wechselt beim Durchgang durch eine Nullstelle ungerader Vielfachheit, bleibt bei einer Nullstelle gerader Vielfachheit erhalten, und die irreduziblen Faktoren zählen nicht. Daraus ergaben sich das Lösen von Ungleichungen und das Bestimmen von Definitionsmengen sowie die Unterscheidung zwischen senkrechten Asymptoten und hebbaren Definitionslücken.

Die beiden letzten Lektionen vereinten alle Werkzeuge. In der Lektion über die rationalen Funktionen schreibt die Division $\frac{P}{Q}$ als ein Polynom $C$ plus einen echten Bruch, der gegen null strebt, und $C$ ist die waagerechte oder schiefe Asymptote oder die Näherungskurve; die Vorzeichentabelle entscheidet, in welche Richtung die Äste entweichen, und die Diskriminante der Gleichung $y \cdot Q(x) = P(x)$ liefert die Wertemenge, wenn diese Gleichung vom Grad $2$ ist. In der Lektion über die Wurzelfunktionen zwingt die Gleichheit $\sqrt{x^2} = \abs{x}$ dazu, die großen positiven und die großen negativen Werte der Variablen getrennt zu behandeln, und ein und dieselbe Funktion kann zwei verschiedene Asymptoten haben.

Was angenommen wurde

Die Einheit hat ausdrücklich gesagt, was sie nicht bewiesen hat. Angenommen wurde der Fundamentalsatz der Algebra, dessen Beweise Werkzeuge der Analysis erfordern. Die Pfeile der Grenzwerte, mit denen die Asymptoten und das Verhalten einer Funktion in der Nähe einer Stelle oder im Unendlichen beschrieben werden, wurden in einem anschaulichen Sinn verwendet: Bewiesen wurden das Vorzeichen der Funktion auf jeder Seite und die Zerlegung, welche die Asymptote abspaltet, beschrieben wurde die Annäherung selbst. Angenommen wurde, dass die rationalen Funktionen und die Wurzelfunktionen auf jedem Intervall ihrer Definitionsmenge stetig sind, und in seiner allgemeinen Form der Zwischenwertsatz: Eine auf einem Intervall $\icc{a}{b}$ stetige Funktion nimmt jeden Wert zwischen $f(a)$ und $f(b)$ an und hat insbesondere eine Nullstelle, wenn $f(a)$ und $f(b)$ entgegengesetzte Vorzeichen haben, was der Satz von Bolzano ist; mit ihm wurden Nullstellen lokalisiert, welche die Algebra nicht erreicht, und Wertemengen berechnet. Angenommen wurden die Existenz und die Eindeutigkeit der Partialbruchzerlegung bei irreduziblen quadratischen Faktoren, die das Lemma von Bézout für Polynome erfordern, und die Eindeutigkeit der Faktorisierung über den reellen Zahlen, von der abhängt, dass das kleinste gemeinsame Vielfache mehrerer Polynome bis auf einen konstanten Faktor bestimmt ist. Schließlich wurde angenommen, dass jede durch einen algebraischen Term definierte Funktion eine Polynomgleichung in $x$ und $y$ erfüllt, eine Tatsache, von der kein anderes Resultat abhängt. Und offen blieben die Maxima und Minima, die sich nicht durch eine algebraische Umformung zeigen. Die Grenzwerte, die Stetigkeit, der Zwischenwertsatz, die Extrema und die Integration der Partialbrüche werden in den Kursen Analysis I und Analysis II untersucht; der Fundamentalsatz der Algebra dagegen wird in einem Kurs über komplexe Analysis bewiesen.

Die folgende Abbildung fasst die drei Abschnitte zu einer einzigen Kette zusammen. Jeder Knoten der Säule ist eine Definition oder ein Satz, nach der logischen Ordnung nummeriert und durch einen Bogen mit den früheren Gliedern verbunden, die sein Beweis verwendet; ringsum schweben die Stützen, das heißt die Prinzipien und Werkzeuge, auf die die Kette immer wieder zurückgreift, jede durch eine durchgezogene Linie mit den Gliedern verbunden, die sich auf sie stützen. Alle werden angenommen oder stammen aus den früheren Einheiten und sind deshalb als Ringe gezeichnet: Die Resultate, welche die Einheit beweist und wiederverwendet, wie das Lemma über das Vorzeichen eines Produkts oder der Faktorsatz, erscheinen als Glieder, durch Bögen mit denen verbunden, die sie verwenden. Ein Klick auf eine Stütze hebt alle Glieder hervor, die sie verwenden, und jedes Glied verweist auf die Lektion, in der es bewiesen wird.

Stützen der Kette

AInduktion. Eine Eigenschaft, die in einem Anfangsfall gilt und von jedem Fall auf den nächsten oder von allen vorhergehenden auf den nächsten übergeht, gilt immer; bewiesen in der Einheit über die natürlichen Zahlen. In dieser Einheit ohne Beweis angenommen.
BLemma von Euklid. Teilt eine Primzahl ein Produkt ganzer Zahlen, so teilt sie einen der Faktoren; daraus folgt: Teilt eine ganze Zahl ein Produkt und ist sie zu einem der Faktoren teilerfremd, so teilt sie den anderen; bewiesen in der Einheit über die natürlichen Zahlen. In dieser Einheit ohne Beweis angenommen.
CVerkettung und Umkehrfunktion. Die Verkettung von Funktionen ist assoziativ und erhält die Injektivität, und eine Funktion hat genau dann eine Umkehrfunktion, wenn sie bijektiv ist, und diese Umkehrfunktion ist eindeutig; bewiesen in der Lektion über Mengen, Relationen und Funktionen. In dieser Einheit ohne Beweis angenommen.
DKonjugierte Nullstellen. Ist eine komplexe Zahl Nullstelle eines Polynoms mit reellen Koeffizienten, so ist es auch ihre konjugierte; bewiesen in der Einheit über die Zahlbereiche. In dieser Einheit ohne Beweis angenommen.
EFundamentalsatz der Algebra. Jedes Polynom vom Grad $n \geq 1$ mit komplexen Koeffizienten hat mindestens eine komplexe Nullstelle; ohne Beweis angenommen. In dieser Einheit ohne Beweis angenommen.
FBézout und eindeutige Faktorisierung. Haben zwei Polynome keine gemeinsamen Faktoren positiven Grades, so gibt es Polynome $U$ und $V$ mit $U A + V B = 1$ ; und die Faktorisierung eines reellen Polynoms in Linearfaktoren und irreduzible quadratische Faktoren ist bis auf die Reihenfolge eindeutig; beides wird angenommen, weil der Kurs den größten gemeinsamen Teiler von Polynomen nicht entwickelt. In dieser Einheit ohne Beweis angenommen.
GGrenzwerte und Stetigkeit. Die Pfeile $x \to r$ und $f(x) \to \infty$ haben einen anschaulichen Sinn, und die rationalen Funktionen und die Wurzelfunktionen sind auf jedem Intervall ihrer Definitionsmenge stetig; angenommen bis zum Kurs Analysis I. In dieser Einheit ohne Beweis angenommen.
HZwischenwert. Ist eine Funktion auf einem Intervall $\icc{a}{b}$ stetig, so nimmt sie dort jeden Wert zwischen $f(a)$ und $f(b)$ an; haben insbesondere $f(a)$ und $f(b)$ entgegengesetzte Vorzeichen, so hat sie in $\ioo{a}{b}$ eine Nullstelle (Satz von Bolzano); angenommen bis zum Kurs Analysis I. In dieser Einheit ohne Beweis angenommen.

Abschnitt 1 Die Funktionen und ihre Verknüpfungen
- Die Funktion definieren und die Regeln festlegen, welche die Definitionsmenge eines Terms bestimmen.
- Das Lemma über das Vorzeichen eines Produkts beweisen, die Grundlage der späteren Untersuchung der Vorzeichen.
- Die algebraischen Funktionen einteilen und beweisen, dass die Einteilung nicht leer ist.
- Die reellen Funktionen als Objekte behandeln: Definitionsmenge der Verkettung, Umkehrfunktion durch Einschränkung auf eine Menge, auf der die Funktion monoton ist, Graph der Umkehrfunktion und Zerlegung in geraden und ungeraden Anteil.
1. Funktion und Definitionsmenge. Eine Funktion ordnet jedem Element ihrer Definitionsmenge genau ein Bild zu; die Definitionsmenge eines Terms schließt die Nullstellen der Nenner und die negativen Radikanden der Wurzeln mit geradem Wurzelexponenten aus.
  Bewiesen in: Algebraische Funktionen einer reellen Variablen.
2. Vorzeichen eines Produkts. Für reelle Zahlen $a$ und $b$ gilt $ab = 0$ genau dann, wenn $a = 0$ oder $b = 0$ , und $ab > 0$ genau dann, wenn beide von null verschieden sind und dasselbe Vorzeichen haben; ist $b \neq 0$ , so hat der Quotient $\frac{a}{b}$ das Vorzeichen von $ab$ .
  Bewiesen in: Algebraische Funktionen einer reellen Variablen.
3. Ein Quotient, der kein Polynom ist. Keine ganzrationale Funktion stimmt mit $\frac{1}{x}$ in allen von null verschiedenen reellen Zahlen überein; folglich gibt es rationale Funktionen, die nicht ganzrational sind.
  Verwendet: 1. Funktion und Definitionsmenge. Bewiesen in: Algebraische Funktionen einer reellen Variablen.
4. Graphen der Potenzen und Wurzeln. Für $n \geq 2$ erhalten die Funktionen $x^n$ und $\sqrt[n]{x}$ die Ordnung der nichtnegativen reellen Zahlen, es gilt $x^n < x < \sqrt[n]{x}$ für $0 < x < 1$ , und die Potenz ist gerade oder ungerade, je nachdem, ob $n$ es ist.
  Verwendet: 1. Funktion und Definitionsmenge. Bewiesen in: Algebraische Funktionen einer reellen Variablen.
5. Definitionsmenge der Verkettung. Für reelle Funktionen besteht die Definitionsmenge von $f \circ g$ aus den $x$ der Definitionsmenge von $g$ , deren Bild in der Definitionsmenge von $f$ liegt; mit diesen Definitionsmengen ist die Verkettung assoziativ, und sie ist nicht kommutativ.
  Verwendet: 1. Funktion und Definitionsmenge. Stützt sich auf: C (Verkettung und Umkehrfunktion). Bewiesen in: Funktionsverknüpfung, Umkehrfunktion und Graphentransformation.
6. Monotone Funktionen. Jede streng monoton wachsende oder streng monoton fallende Funktion ist injektiv, und die Summe zweier monoton wachsender Funktionen ist monoton wachsend.
  Verwendet: 1. Funktion und Definitionsmenge. Bewiesen in: Funktionsverknüpfung, Umkehrfunktion und Graphentransformation.
7. Umkehrfunktion einer monotonen Funktion. Eine auf einer Menge $A$ reeller Zahlen streng monoton wachsende Funktion ist eine Bijektion von $A$ auf ihre Wertemenge, und ihre Umkehrfunktion ist streng monoton wachsend; dasselbe gilt für die streng monoton fallenden. So werden die nicht injektiven Funktionen durch Einschränkung der Definitionsmenge umgekehrt.
  Verwendet: 6. Monotone Funktionen. Stützt sich auf: C (Verkettung und Umkehrfunktion). Bewiesen in: Funktionsverknüpfung, Umkehrfunktion und Graphentransformation.
8. Graph der Umkehrfunktion. Der Punkt $(a, b)$ liegt genau dann auf dem Graphen von $f$ , wenn $(b, a)$ auf dem von $f^{-1}$ liegt; folglich ist der Graph der Umkehrfunktion das Spiegelbild des Graphen von $f$ an der Geraden $y = x$ .
  Verwendet: 7. Umkehrfunktion einer monotonen Funktion. Stützt sich auf: C (Verkettung und Umkehrfunktion). Bewiesen in: Funktionsverknüpfung, Umkehrfunktion und Graphentransformation.
9. Gerader und ungerader Anteil. Das Produkt zweier gerader oder zweier ungerader Funktionen ist gerade, das einer geraden und einer ungeraden ist ungerade; jede Funktion mit symmetrischer Definitionsmenge ist auf genau eine Weise die Summe einer geraden und einer ungeraden Funktion.
  Verwendet: 1. Funktion und Definitionsmenge. Bewiesen in: Funktionsverknüpfung, Umkehrfunktion und Graphentransformation.
Abschnitt 2 Die Polynome und ihre Faktorisierung
- Die Polynomdivision beweisen und aus ihr den Restsatz und den Faktorsatz herleiten.
- Die Anzahl der Nullstellen eines Polynoms beschränken und den Identitätssatz gewinnen.
- Die Nullstellen finden: Lösungsformel, Diskriminante, vietasche Formeln, synthetische Division, rationale Nullstellen, Vielfachheit und Schranken.
- Unter Annahme des Fundamentalsatzes der Algebra die Faktorisierung jedes reellen Polynoms in Linearfaktoren und irreduzible quadratische Faktoren beweisen.
1. Polynomdivision. Zu zwei Polynomen $P$ und $Q$ , mit $Q$ vom Nullpolynom verschieden, gibt es einen eindeutigen Quotienten $C$ und einen eindeutigen Rest $R$ mit $P = Q \cdot C + R$ , wobei $R$ das Nullpolynom ist oder einen kleineren Grad hat als $Q$ .
  Stützt sich auf: A (Induktion). Bewiesen in: Algebra der reellen Polynome.
2. Restsatz und Faktorsatz. Der Rest der Division von $P$ durch $x - r$ ist $P(r)$ ; folglich ist $x - r$ genau dann ein Teiler von $P$ , wenn $P(r) = 0$ .
  Verwendet: 10. Polynomdivision. Bewiesen in: Algebra der reellen Polynome.
3. Lemma über verschiedene Nullstellen. Sind $r_1, \ldots, r_k$ verschiedene Nullstellen von $P$ , so gilt $P = (x - r_1) \cdots (x - r_k) \, C$ ; folglich hat ein vom Nullpolynom verschiedenes Polynom vom Grad $n$ höchstens $n$ reelle Nullstellen.
  Verwendet: 2. Vorzeichen eines Produkts, 11. Restsatz und Faktorsatz. Stützt sich auf: A (Induktion). Bewiesen in: Algebra der reellen Polynome.
4. Identitätssatz. Zwei Polynome nehmen genau dann in jeder reellen Zahl denselben Wert an, wenn sie dieselben Koeffizienten haben, Potenz für Potenz; folglich wird jedes Polynom mit seiner Funktion identifiziert, und die Quadratwurzel ist keine rationale Funktion.
  Verwendet: 12. Lemma über verschiedene Nullstellen. Bewiesen in: Algebra der reellen Polynome.
5. Lösungsformel und Diskriminante. Durch quadratische Ergänzung sind die Nullstellen von $ax^2 + bx + c$ gleich $\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ , mit $\Delta = b^2 - 4ac$ : Es gibt zwei, wenn $\Delta > 0$ , eine, wenn $\Delta = 0$ , und keine, wenn $\Delta < 0$ , in welchem Fall das Polynom über den reellen Zahlen irreduzibel ist.
  Verwendet: 2. Vorzeichen eines Produkts, 11. Restsatz und Faktorsatz. Bewiesen in: Quadratische Polynome und Trinome vom Grad 2n faktorisieren.
6. Faktorisierung und vietasche Formeln. Ist $\Delta \geq 0$ , so gilt $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$ , mit $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ und $x_1 x_2 = \frac{c}{a}$ .
  Verwendet: 14. Lösungsformel und Diskriminante, 13. Identitätssatz. Bewiesen in: Quadratische Polynome und Trinome vom Grad 2n faktorisieren.
7. Biquadratisches Trinom mit negativer Diskriminante. Ist $b^2 - 4ac < 0$ , so ist das Trinom $ax^4 + bx^2 + c$ gleich $a$ mal dem Produkt zweier über den reellen Zahlen irreduzibler quadratischer Polynome, $x^2 - kx + m$ und $x^2 + kx + m$ .
  Verwendet: 14. Lösungsformel und Diskriminante. Bewiesen in: Quadratische Polynome und Trinome vom Grad 2n faktorisieren.
8. Synthetische Division. Die Koeffizienten des Quotienten von $P$ durch $x - r$ erhält man, indem man den Leitkoeffizienten herunterzieht und zu jedem Koeffizienten $r$ -mal die vorhergehende Zahl addiert; die letzte Zahl ist der Rest, $P(r)$ .
  Verwendet: 10. Polynomdivision, 13. Identitätssatz. Bewiesen in: Nullstellen höhergradiger Polynome und synthetische Division.
9. Rationale Nullstellen. Ist der vollständig gekürzte Bruch $\frac{p}{q}$ Nullstelle eines Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten mit $a_0 \neq 0$ , so teilt $p$ die Zahl $a_0$ und $q$ die Zahl $a_n$ ; der Beweis verwendet das Lemma von Euklid aus der ersten Einheit.
  Stützt sich auf: B (Lemma von Euklid). Bewiesen in: Nullstellen höhergradiger Polynome und synthetische Division.
10. Wiederholte synthetische Division. Die Nullstelle $r$ hat die Vielfachheit $k$ , das heißt $P = (x - r)^k C$ mit $C(r) \neq 0$ , genau dann, wenn bei der fortgesetzten Division durch $x - r$ die $k$ ersten Reste null sind und der darauf folgende nicht.
  Verwendet: 17. Synthetische Division, 10. Polynomdivision, 11. Restsatz und Faktorsatz. Bewiesen in: Nullstellen höhergradiger Polynome und synthetische Division.
11. Schranken für die Nullstellen. Jede reelle Nullstelle erfüllt $\abs{r} < 1 + \frac{M}{\abs{a_n}}$ (Cauchy-Schranke), wobei $M$ der größte der Beträge der übrigen Koeffizienten ist, und ergibt die synthetische Division durch $x - c$ , mit $c > 0$ und $a_n > 0$ , eine Zeile ohne negative Zahlen, so ist keine reelle Nullstelle größer als $c$ .
  Verwendet: 17. Synthetische Division. Bewiesen in: Nullstellen höhergradiger Polynome und synthetische Division.
12. Faktorisierung über den reellen Zahlen. Jedes reelle Polynom vom Grad $n \geq 1$ ist sein Leitkoeffizient mal Faktoren $x - r$ , mit reellem $r$ , und mal normierten quadratischen Faktoren, die über den reellen Zahlen irreduzibel sind.
  Verwendet: 14. Lösungsformel und Diskriminante, 10. Polynomdivision, 17. Synthetische Division. Stützt sich auf: A (Induktion), E (Fundamentalsatz der Algebra), D (Konjugierte Nullstellen). Bewiesen in: Nullstellen höhergradiger Polynome und synthetische Division.
Abschnitt 3 Vom Quotienten zum Graphen
- Genau angeben, wann ein Kürzen eine Gleichheit ist und wann zwei Bruchterme gleich sind.
- Einen echten Bruch in Partialbrüche zerlegen.
- An der Faktorisierung das Vorzeichen eines Polynoms oder eines Quotienten ablesen und damit Ungleichungen lösen und Definitionsmengen bestimmen.
- Die rationalen Funktionen und die Wurzelfunktionen untersuchen: senkrechte, waagerechte und schiefe Asymptoten, Näherungskurven, Ränder der Definitionsmenge und Wertemenge.
1. Lemma über das Kürzen. In jeder reellen Zahl, die $QC$ nicht zu null macht, hat der Bruch $\frac{PC}{QC}$ denselben Wert wie $\frac{P}{Q}$ ; beide sind nur dann dieselbe Funktion, wenn der zweite auf die Definitionsmenge des ersten eingeschränkt wird.
  Verwendet: 2. Vorzeichen eines Produkts. Bewiesen in: Bruchterme und Partialbruchzerlegung.
2. Gleichheit von Brüchen. Zwei Polynome, die in allen reellen Zahlen bis auf endlich viele übereinstimmen, sind gleich; daraus folgt, dass $\frac{P}{Q}$ und $\frac{R}{S}$ dort, wo $QS$ nicht null ist, genau dann übereinstimmen, wenn $PS = QR$ .
  Verwendet: 12. Lemma über verschiedene Nullstellen, 13. Identitätssatz. Bewiesen in: Bruchterme und Partialbruchzerlegung.
3. Partialbrüche. Jeder echte Bruch ist auf eindeutige Weise eine Summe von Termen $\frac{A}{(x - r)^j}$ und $\frac{Bx + C}{(x^2 + px + q)^j}$ , einer für jede Potenz jedes Faktors seines Nenners; bei Linearfaktoren erhält man die Existenz, indem man jeweils einen Term abspaltet, und die Eindeutigkeit, indem man an jeder Nullstelle die höchste Potenz isoliert; bei irreduziblen quadratischen Faktoren werden beide angenommen.
  Verwendet: 2. Vorzeichen eines Produkts, 11. Restsatz und Faktorsatz, 10. Polynomdivision, 23. Gleichheit von Brüchen, 21. Faktorisierung über den reellen Zahlen. Stützt sich auf: F (Bézout und eindeutige Faktorisierung). Bewiesen in: Bruchterme und Partialbruchzerlegung.
4. Vorzeichen eines Polynoms. Ein Produkt von $n$ von null verschiedenen Faktoren ist negativ, wenn es eine ungerade Anzahl negativer Faktoren hat; folglich wechselt das Vorzeichen eines faktorisierten Polynoms beim Durchgang durch eine Nullstelle genau dann, wenn deren Vielfachheit ungerade ist, und die irreduziblen Faktoren behalten das Vorzeichen ihres Leitkoeffizienten.
  Verwendet: 2. Vorzeichen eines Produkts, 14. Lösungsformel und Diskriminante, 19. Wiederholte synthetische Division. Stützt sich auf: A (Induktion). Bewiesen in: Vorzeichentabellen und Ungleichungen.
5. Senkrechte Asymptoten und hebbare Definitionslücken. Macht $r$ den Nenner von $\frac{A}{B}$ zu null und ist $A(r) \neq 0$ , so ist die Gerade $x = r$ eine senkrechte Asymptote; ist $A(r) = 0$ , so kürzt sich der gemeinsame Faktor, und ist der gekürzte Bruch in $r$ definiert, so ist diese Stelle eine hebbare Definitionslücke.
  Verwendet: 11. Restsatz und Faktorsatz, 22. Lemma über das Kürzen, 25. Vorzeichen eines Polynoms. Stützt sich auf: G (Grenzwerte und Stetigkeit). Bewiesen in: Vorzeichentabellen und Ungleichungen.
6. Asymptoten einer rationalen Funktion. Ist $P = Q \cdot C + R$ , so ist die Differenz zwischen $\frac{P}{Q}$ und $C$ gleich $\frac{R}{Q}$ , was an beiden Enden gegen $0$ strebt: Der Quotient $C$ ist die waagerechte oder schiefe Asymptote oder die Näherungskurve, und die Vorzeichentabelle entscheidet, in welche Richtung die Äste neben den senkrechten Asymptoten entweichen.
  Verwendet: 10. Polynomdivision, 26. Senkrechte Asymptoten und hebbare Definitionslücken. Stützt sich auf: G (Grenzwerte und Stetigkeit). Bewiesen in: Rationale Funktionen: Asymptoten und Graph.
7. Nullstellen und Wertemenge einer rationalen Funktion. Nach dem Zwischenwertsatz hat eine rationale Funktion, die auf einem Intervall ihrer Definitionsmenge das Vorzeichen wechselt, dort eine Nullstelle, und eine, die auf einem Intervall ihrer Definitionsmenge Werte annimmt, die größer und kleiner als jede Zahl sind, nimmt dort alle reellen Werte an; ist die Gleichung $y \cdot Q(x) = P(x)$ vom Grad $2$ , so liefert ihre Diskriminante die Wertemenge.
  Verwendet: 14. Lösungsformel und Diskriminante, 27. Asymptoten einer rationalen Funktion. Stützt sich auf: G (Grenzwerte und Stetigkeit), H (Zwischenwert). Bewiesen in: Rationale Funktionen: Asymptoten und Graph.
8. Definitionsmenge und Ränder bei Wurzelfunktionen. Die Definitionsmenge einer Wurzelfunktion ist der Durchschnitt der Mengen, welche die Vorzeichentabellen ihrer Bedingungen liefern; macht eine Nullstelle ungerader Vielfachheit einen Radikanden des Zählers zu null, so endet der Graph dort auf der $x$ -Achse; wird ein Nenner bei von null verschiedenem Zähler null, so gibt es eine senkrechte Asymptote; und nach dem Zwischenwertsatz nimmt jeder Ast alle Werte zwischen denen an, die er an seinen Rändern erreicht oder denen er sich dort nähert.
  Verwendet: 25. Vorzeichen eines Polynoms, 26. Senkrechte Asymptoten und hebbare Definitionslücken. Stützt sich auf: G (Grenzwerte und Stetigkeit), H (Zwischenwert). Bewiesen in: Wurzelfunktionen: Definitionsmenge, Vorzeichen und Graph.
9. Asymptoten bei Wurzelfunktionen. Wegen $\sqrt{x^2} = \abs{x}$ bestimmt man die Asymptote einer Wurzelfunktion getrennt für $x \to \infty$ und für $x \to -\infty$ , und sie kann an jedem Ende eine andere sein; strebt $\frac{f(x)}{x}$ nicht gegen eine Zahl, so gibt es keine geradlinige Asymptote.
  Verwendet: 27. Asymptoten einer rationalen Funktion. Stützt sich auf: G (Grenzwerte und Stetigkeit). Bewiesen in: Wurzelfunktionen: Definitionsmenge, Vorzeichen und Graph.

Auf dem Weg zur analytischen Geometrie. Die nächste Einheit untersucht Kurven der Ebene über ihre Gleichungen: die Geraden, die Parabel, die durch quadratische Ergänzung charakterisiert wird, den Kreis als Vereinigung der Graphen von $\pm \sqrt{r^2 - x^2}$ und die Hyperbel $y = \frac{1}{x}$ mit ihren beiden Asymptoten.

Im Rest dieser Lektion

Die Einheit im Kurs
Was auf den früheren Einheiten aufbaut
Die Verbindung zur analytischen Geometrie
Abschlusstest
Herausforderungen
Ein Rest von riesigem Grad
Eine Funktion, die nach drei Anwendungen zurückkehrt
Ein Polynom, das mit einem Quadrat vertauscht
Ein Polynom, das einen Bruch nachahmt
Summen über die Nullstellen eines kubischen Polynoms
Eine Quadratwurzel plus eine Kubikwurzel
Ein Teleskopprodukt
Ein auf drei Personen verteilter Code
Ein zwischen zwei Zahlen eingeschlossener Bruch
Eine Wurzel mit zwei Verhaltensweisen im Unendlichen