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LatineZusammenfassung
Diese Lektion eröffnet die Einheit über die analytische Geometrie der Ebene. Sie schlägt einen Eingangstest vor, stellt ihre neun Lektionen und den Faden vor, der sie verbindet, von den Koordinaten und der Geradengleichung bis zu den Kegelschnitten und der linearen Optimierung; sie durchläuft die Geschichte dieser Ideen, von den Kegelschnitten der griechischen Geometrie bis zur Koordinatengeometrie von Fermat und Descartes und ihrer Anwendung auf die Astronomie, die Mechanik und die Wirtschaft; sie formuliert das Problem, aus dem sie entstanden, nämlich geometrische Eigenschaften in Gleichungen und Gleichungen in Kurven zu übersetzen, am Beispiel der Würfelverdopplung, und zeigt, wo sie in diesem Kurs, in anderen Kursen der Website sowie in Wissenschaft und Technik wieder verwendet werden.
Lernziele
- Die Abfolge der Inhalte der Einheit beschreiben und erklären, was jede Lektion zu den späteren beiträgt.
- Das Studium der Kegelschnitte, die Entstehung der Koordinatengeometrie und die lineare Optimierung mit ihren wichtigsten Urhebern in ihren historischen Zusammenhang einordnen.
- Ein klassisches geometrisches Problem wie die Würfelverdopplung in ein Gleichungssystem zwischen Koordinaten übersetzen und seine Lösungen als Schnittpunkte von Kurven deuten.
- In anderen Themen des Kurses und in anderen Disziplinen die Werkzeuge wiedererkennen, die die Einheit aufbaut.
Eingangstest
Bevor man die Einheit durcharbeitet, empfiehlt es sich, den Ausgangspunkt zu bestimmen. Diese Selbsteinschätzung wird nicht benotet: Sie dient dazu zu erkennen, wo man verweilen sollte. Die ersten neun Fragen betreffen nacheinander und der Reihe nach die neun inhaltlichen Lektionen der Einheit; die zehnte verlangt, ein Problem der Verteilung von Ressourcen aufzustellen und zu lösen, und diese zehn Fertigkeiten werden am Ende, in der Lektion zur Synthese, erneut gemessen. Die letzten drei prüfen, was die Einheit aus den früheren Einheiten als bekannt voraussetzt: die quadratische Ergänzung, die Vorzeichentabellen und den Betrag.
Miss vor Beginn der Einheit deinen Ausgangspunkt. Es ist eine kurze Selbsteinschätzung: Sie wird nicht benotet, und das Ergebnis wird nur in deinem Browser gespeichert.
Frage 1Wie lautet die Gleichung der Geraden, die durch geht und senkrecht zur Geraden ist?
Das ist die zur gegebenen parallele Gerade, die durch geht: Sie behält die Steigung , statt diejenige zu nehmen, die das Produkt ergibt.Sie hat die Steigung : Man hat den Kehrwert der Steigung genommen, ohne das Vorzeichen zu ändern, und das Produkt der Steigungen ist , nicht .Die Steigung stimmt, aber man hat das Absolutglied der gegebenen Geraden beibehalten; der Punkt erfüllt diese Gleichung nicht, weil .Die gegebene Gerade hat die Steigung und die dazu senkrechte die Steigung , weil das Produkt der Steigungen gleich sein muss. Die Punkt-Steigungs-Form ergibt , das heißt .Wiederholen: Die Geradengleichung und kartesische Koordinatensysteme
Frage 2Man berechne den Abstand des Punktes von der Geraden .
Richtige Antwort:
Nach der Formel für den Abstand eines Punktes von einer Geraden ist er . Wer erhält, hat vergessen, durch die Norm des Normalenvektors zu teilen, und wer erhält, hat den Betrag vergessen: Ein Abstand ist nicht negativ.Wiederholen: Vektoren in der Ebene und Parametergleichungen der Geraden
Frage 3Wie lautet die Gleichung der Parabel mit dem Brennpunkt und der Leitlinie ?
Man hat die Rolle von verwechselt: Als Koeffizient wurde der Abstand zwischen Brennpunkt und Leitlinie genommen, der beträgt, statt des Vierfachen des Abstands vom Brennpunkt zum Scheitel, der halb so groß ist.Das ist die Parabel mit horizontaler Achse. Da die Leitlinie horizontal ist, ist die Achse vertikal, und die Variable, die quadriert auftritt, ist .Sie öffnet sich nach unten, aber der Brennpunkt liegt oberhalb der Leitlinie, sodass sich die Parabel nach oben öffnet.Ein Punkt ist genau dann vom Brennpunkt und von der Leitlinie gleich weit entfernt, wenn , was sich auf vereinfacht; das ist die Form mit der Brennweite .Wiederholen: Die Parabelgleichung: Definitionen und Eigenschaften
Frage 4Welches ist der Scheitel der Parabel ?
Man hat ohne das Minuszeichen genommen; der Punkt mit der Abszisse liegt auf der Kurve, ist aber nicht der Scheitel.Man hat berechnet, ohne den Faktor im Nenner; ist der Spiegelpunkt von an der Achse, nicht der Scheitel.Die Abszisse stimmt, aber die Ordinate des Scheitels ist der Wert des Polynoms an der Stelle , nicht das Absolutglied.Durch quadratisches Ergänzen erhält man ; ebenso und .Wiederholen: Charakterisierung von Parabeln und ihre Graphen
Frage 5Wie groß ist der Abstand zwischen den Brennpunkten der Ellipse ?
Richtige Antwort:
Dividiert man durch , so erhält man , mit und ; wegen ist , und die Brennpunkte haben den Abstand . Wer erhält, hat den Abstand vom Mittelpunkt zu einem Brennpunkt angegeben, und wer verwendet, hat die Beziehung der Hyperbel angewandt.Wiederholen: Die Gleichung der Ellipse und des Kreises
Frage 6Wie viele gemeinsame Punkte haben die Kreise und ?
Sie würden sich schneiden, wenn der Abstand der Mittelpunkte echt zwischen und läge; hier ist er gleich der Summe, dem Grenzfall.Sie lägen außerhalb voneinander, wenn der Abstand der Mittelpunkte größer als die Summe der Radien wäre; hier ist er gleich ihr, und sie berühren sich.Die innere Berührung verlangt, dass der Abstand der Mittelpunkte gleich der Differenz der Radien ist, , nicht gleich ihrer Summe.Die Radien sind und , und der Abstand der Mittelpunkte ist , gleich der Summe der Radien: Sie berühren sich in einem einzigen Punkt, und jeder liegt außerhalb des anderen.Wiederholen: Der Kreis: Tangenten, gegenseitige Lage und Potenz eines Punktes
Frage 7Welches sind die Asymptoten der Hyperbel ?
Man hat den Quotienten umgekehrt: Die Steigung der Asymptoten ist , die zu gehörige Halbachse geteilt durch die zu gehörige.Man hat die Nenner verwendet, die die Quadrate der Halbachsen sind, statt der Halbachsen.Das ist die Exzentrizität , mit ; es ist nicht die Steigung der Asymptoten.Mit und sind die Asymptoten : die Geraden, die entstehen, wenn man die linke Seite gleich null setzt, .Wiederholen: Die Hyperbelgleichung und ihre Herleitung
Frage 8Was stellt die Gleichung dar?
Das Vorzeichen von gibt den Typ an, aber man muss quadratisch ergänzen, um die rechte Seite zu sehen: Ist sie null, so artet die Kurve in zwei Geraden aus.Die Koeffizienten von und von haben entgegengesetzte Vorzeichen, sodass es keine Ellipse sein kann.Ein einziger Punkt ergibt sich, wenn und die rechte Seite null ist; mit liefert eine verschwindende Differenz von Quadraten zwei Geraden.Durch quadratisches Ergänzen erhält man : Da und die rechte Seite null ist, ist es der ausgeartete Fall der Hyperbel, das Geradenpaar .Wiederholen: Kegelschnitte: Charakterisierung und Graphen
Frage 9Man bestimme den größten Wert von auf dem Bereich, der durch , , und definiert ist.
Richtige Antwort:
Die Ecken des Bereichs sind , , und , und in ihnen hat die Werte , , und ; nach dem Eckensatz ist das Maximum , in . Wer erhält, hat nur den Schnittpunkt der beiden schrägen Geraden ausgewertet, der nicht immer die optimale Ecke ist.Wiederholen: Ungleichungen in der Ebene und lineare Optimierung
Frage 10Eine Schneiderei fertigt Hemden und Hosen. Jedes Hemd erfordert Stunde Zuschnitt und Stunden Nähen, jede Hose Stunde Zuschnitt und Stunde Nähen. Täglich stehen Stunden Zuschnitt und Stunden Nähen zur Verfügung, und die Schneiderei verdient Geldeinheiten je Hemd und je Hose. Wie groß ist der größte Tagesgewinn, den sie erzielen kann?
Richtige Antwort:
Mit Hemden und Hosen lauten die Nebenbedingungen , , und , und der Gewinn ist . Die Ecken sind , , und , mit den Gewinnen , , und : Das Maximum ist , mit Hemden und Hosen. Wer oder erhält, hat nur die Schnittpunkte mit den Achsen ausgewertet und die Ecke übersehen, in der die Stunden für Zuschnitt und für Nähen zugleich aufgebraucht sind.Wiederholen: Ungleichungen in der Ebene und lineare Optimierung
Frage 11Aus früheren EinheitenWelches ist der kleinste Wert, den annimmt, wenn die reellen Zahlen durchläuft?
Richtige Antwort:
Durch quadratisches Ergänzen erhält man , und da ein Quadrat nicht negativ ist, ist der kleinste Wert , an der Stelle . Wer erhält, hat den Wert an der Stelle genommen, und wer erhält, hat geschrieben und dabei vergessen, mit den Term zu multiplizieren, den die Ergänzung hinterlässt.Wiederholen: Quadratische Polynome und Trinome vom Grad 2n faktorisieren
Frage 12Aus früheren EinheitenWelches ist die Lösungsmenge von ?
Das ist die Menge, auf der das Polynom positiv ist: Außerhalb der Nullstellen haben die beiden Faktoren dasselbe Vorzeichen.Die Nullstellen von sind und ; man hat sie mit umgekehrtem Vorzeichen genommen.Das Polynom lässt sich als faktorisieren; nach der Vorzeichentabelle ist das Produkt negativ, wenn die Faktoren entgegengesetzte Vorzeichen haben, das heißt zwischen den Nullstellen.Wiederholen: Vorzeichentabellen und Ungleichungen
Frage 13Aus früheren EinheitenWelches ist die Lösungsmenge von ?
Man hat nur gelöst und vergessen, dass der Betrag auch nach unten beschränkt: .Das ist die Lösungsmenge von : Der Abstand von zu ist zwischen den beiden Endpunkten nicht größer als , und nicht außerhalb von ihnen.Die Ungleichung ist äquivalent zu , das heißt , woraus folgt.Wiederholen: Die Zahlengerade: Ordnung, Intervalle und Betrag
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