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Topos Uranos
Deutsch

Die Geradengleichung und kartesische Koordinatensysteme

Zusammenfassung

Diese Lektion stellt die kartesische Ebene vor, die jedem Punkt ein Zahlenpaar zuordnet, und mit ihr den Abstand zweier Punkte und den Mittelpunkt einer Strecke. Sie definiert die Steigung einer Geraden, beweist, dass sie nicht von den gewählten Punkten abhängt, und leitet die Formen der Geradengleichung her, die vertikalen Geraden eingeschlossen. Danach untersucht sie parallele und zueinander senkrechte Geraden sowie den Schnitt zweier Geraden als Lösung eines Gleichungssystems, mit Anwendungen auf Probleme mit Größen, die sich linear ändern.

Lernziele

  1. Punkte in der kartesischen Ebene darstellen sowie Abstände und Mittelpunkte berechnen.
  2. Die Steigung einer Geraden berechnen und ihre Gleichung aus einem Punkt und der Steigung oder aus zwei Punkten gewinnen.
  3. Parallele und zueinander senkrechte Geraden an ihren Steigungen erkennen.
  4. Den Schnitt zweier Geraden durch Lösen eines Gleichungssystems bestimmen und lineare Beziehungen zwischen Größen mit Geraden modellieren.

Die kartesische Ebene

Die reellen Zahlen werden als die Punkte einer Geraden dargestellt: Man wählt einen Punkt als Ursprung, eine Längeneinheit und eine positive Richtung. Die Idee von Fermat und Descartes, in der Gestalt, die sie nach ihnen annahm, besteht darin, zwei solche Geraden, zueinander senkrecht und mit gemeinsamem Ursprung, zur Darstellung der Punkte der Ebene zu verwenden: Jedem Punkt PP entspricht das geordnete Paar (x,y)(x, y) seiner Projektionen auf die waagerechte und auf die senkrechte Achse, und jedem geordneten Paar genau ein Punkt. Die Zahlen xx und yy sind die Koordinaten von PP, und die Achsen zerlegen die Ebene in vier Quadranten.

Mit den Koordinaten werden geometrische Probleme zu algebraischen Problemen: Die Kurven der Ebene werden durch Gleichungen zwischen xx und yy beschrieben. Das ist die Idee der analytischen Geometrie.

Die Tatsachen der euklidischen Geometrie, die vorausgesetzt werden

Die analytische Geometrie ersetzt die Geometrie Euklids nicht, sondern übersetzt sie: Die Figuren, von denen sie spricht, sind die der elementaren Geometrie, und einige ihrer Sätze dienen als Ausgangspunkt. Ihr Beweis gehört zum axiomatischen Aufbau der euklidischen Geometrie, den dieser Kurs nicht entwickelt. Deshalb werden die Tatsachen dieser Geometrie, die die Einheit verwendet, in der folgenden Liste zusammengestellt und ohne Beweis vorausgesetzt; jedes Mal, wenn eine Lektion der Einheit auf eine von ihnen zurückgreift, verweist sie auf diese Liste.

  1. Geraden und Achsen. Durch zwei verschiedene Punkte geht genau eine Gerade. Die Koordinatenachsen können frei gewählt werden: Zwei beliebige zueinander senkrechte Geraden, mit ihrem gemeinsamen Punkt als Ursprung, einer positiven Richtung auf jeder und derselben Längeneinheit auf beiden, bilden ein Achsensystem, und die Abstände, die Winkel und die Figuren hängen nicht von dieser Wahl ab.
  2. Der Satz des Pythagoras und seine Umkehrung. Ein Dreieck hat genau dann in einer Ecke einen rechten Winkel, wenn das Quadrat der dieser Ecke gegenüberliegenden Seite die Summe der Quadrate der beiden anderen ist.
  3. Die Parallelen. Durch einen Punkt außerhalb einer Geraden geht genau eine Parallele zu ihr; und werden zwei parallele Geraden von einer dritten geschnitten, so sind die Stufenwinkel, die diese mit ihnen bildet, gleich.
  4. Der Strahlensatz und die Ähnlichkeit. Schneiden mehrere parallele Geraden zwei Geraden, so sind die Strecken, die sie auf der einen bestimmen, proportional zu denen, die sie auf der anderen bestimmen; und zwei Dreiecke, deren Winkel jeweils gleich sind, haben proportionale Seiten.
  5. Die Winkel eines Dreiecks. Die drei Winkel eines Dreiecks ergeben zusammen zwei rechte Winkel; insbesondere sind die beiden nicht rechten Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks spitz, und der Supplementwinkel eines spitzen Winkels ist stumpf.
  6. Das gleichschenklige Dreieck. In einem Dreieck mit zwei gleichen Seiten sind die diesen Seiten gegenüberliegenden Winkel gleich.

Die Freiheit, die die erste Tatsache gewährt, wird am häufigsten genutzt: Um eine Kurve zu untersuchen, legt man die Achsen am besten so, dass ihre Gleichung möglichst einfach wird, etwa mit dem Scheitel einer Parabel im Ursprung, und die erste Tatsache sichert, dass dabei keine Allgemeinheit verloren geht.

Abstand und Mittelpunkt

Der Abstand zwischen zwei Punkten P1=(x1,y1)P_1 = (x_1, y_1) und P2=(x2,y2)P_2 = (x_2, y_2) ergibt sich aus dem Satz des Pythagoras, der zweiten der vorausgesetzten Tatsachen: Die Strecke, die sie verbindet, ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen achsenparallele Katheten den Betrag der Differenz der Abszissen und den der Differenz der Ordinaten messen (ist eine der beiden Differenzen null, so ist die Strecke zu einer Achse parallel, und ihre Länge ist der Betrag der anderen, was genau die Formel liefert).

d(P1,P2)=(x2−x1)2+(y2−y1)2d(P_1, P_2) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

Der Mittelpunkt der Strecke hat als Koordinaten die Mittelwerte der Koordinaten ihrer Endpunkte. Wir formulieren dies als Lemma, weil es bei der Mittelsenkrechten, bei der Symmetriemethode für Parabeln und bei den Kegelschnitten verwendet wird.

LemmaDer Mittelpunkt einer Strecke

Der Mittelpunkt der Strecke mit den Endpunkten P1=(x1,y1)P_1 = (x_1, y_1) und P2=(x2,y2)P_2 = (x_2, y_2) ist der folgende Punkt MM, und jede der beiden Hälften misst die Hälfte von d(P1,P2)d(P_1, P_2).

M=(x1+x22,y1+y22)M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)

Beweis

  1. xM−x1=x2−xMx_M - x_1 = \dato{t}{x_2 - x_M}

    Sei M=(xM,yM)M = (x_M, y_M) der Mittelpunkt. Die Parallelen zur senkrechten Achse durch P1P_1, MM und P2P_2 schneiden die waagerechte Achse in x1x_1, xMx_M und x2x_2. Da MM von P1P_1 und von P2P_2 gleich weit entfernt ist, sind nach dem Strahlensatz, der vierten der vorausgesetzten Tatsachen, auch die Strecken gleich, die diese Parallelen auf der Achse bestimmen, sodass xMx_M in der Mitte zwischen x1x_1 und x2x_2 liegt (ist x1=x2x_1 = x_2, so fallen die drei Abszissen zusammen, und die Gleichheit ist unmittelbar klar).

  2. xM−x1=x2−xM→xM=x1+x22x_M - x_1 = \resaltar{x_2 - x_M} \rightarrow x_M = \frac{x_1 + x_2}{2}

    Wir lösen nach der Abszisse von MM auf.

  3. yM=y1+y22y_M = \frac{y_1 + y_2}{2}

    Mit den Parallelen zur waagerechten Achse schließt man ebenso auf der senkrechten Achse.

  4. d(P1,M)=(x2−x12)2+(y2−y12)2=12d(P1,P2)=d(M,P2)d(P_1, M) = \sqrt{\left(\frac{x_2 - x_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{y_2 - y_1}{2}\right)^2} = \frac{1}{2}d(P_1, P_2) = d(M, P_2)

    Probe mit der Abstandsformel: Die Koordinatendifferenzen zwischen P1P_1 und MM sind die Hälfte derjenigen zwischen P1P_1 und P2P_2, und ebenso verhält es sich zwischen MM und P2P_2.

BeispielDer Abstand zwischen zwei Punkten

Man berechne den Abstand zwischen den Punkten P1=(1,1)P_1 = (1, 1) und P2=(5,4)P_2 = (5, 4).

Beweis

  1. Δx=5−1=4,Δy=4−1=3\Delta x = 5 - 1 = \dato{a}{4}, \quad \Delta y = 4 - 1 = \dato{b}{3}

    Die Katheten des rechtwinkligen Dreiecks messen die Differenz der Abszissen und die der Ordinaten.

  2. d2=42+32=25d^2 = \resaltar{4}^2 + \resaltar{3}^2 = 25

    Nach dem Satz des Pythagoras ist das Quadrat der Hypotenuse die Summe der Quadrate der Katheten.

  3. d(P1,P2)=5d(P_1, P_2) = 5

    Der Abstand ist die positive Quadratwurzel.