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Topos Uranos
Deutsch

Vektoren in der Ebene und Parametergleichungen der Geraden

Zusammenfassung

Diese Lektion führt die Vektoren der Ebene, die Verschiebungen darstellen, als geordnete Paare reeller Zahlen ein und definiert ihre Summe, ihr Produkt mit einer Zahl, ihre Norm und ihr Skalarprodukt samt deren Eigenschaften. Aus dem Skalarprodukt werden die Bedingung für Orthogonalität, die Cauchy-Schwarz-Ungleichung, die Dreiecksungleichung, die Orthogonalprojektion und die Einteilung der Winkel in spitze, rechte und stumpfe hergeleitet. Mit Vektoren wird die Gerade in Vektor- und Parameterform geschrieben, ihr Normalenvektor und die Formel für den Abstand eines Punktes von einer Geraden werden gewonnen, durch Parameter gegebene Geraden werden geschnitten, Strecken in einem gegebenen Verhältnis geteilt und die gleichförmige Bewegung beschrieben; die Aufgaben wenden diese Werkzeuge auf geometrische Beweise, auf die Spiegelung an einem Spiegel und auf die Annäherung zweier bewegter Körper an.

Lernziele

  1. Mit Vektoren der Ebene rechnen, komponentenweise und geometrisch, und einen Vektor als Linearkombination zweier anderer darstellen.
  2. Normen und Skalarprodukte berechnen und mit ihnen orthogonale Vektoren erkennen, Winkel einteilen und einen Vektor auf einen anderen projizieren.
  3. Eine Gerade in Vektorform, Parameterform und allgemeiner Form schreiben, von einer Form in die andere übergehen und mit Vektoren Schnittpunkte, Abstände und Teilpunkte einer Strecke berechnen.
  4. Geometrische Eigenschaften mit Vektoren beweisen und die gleichförmige Bewegung mit Geraden in Parameterform modellieren.

Vektoren in der Ebene

In der Lektion über die Geradengleichung wurde jeder Punkt der Ebene mit dem Paar seiner Koordinaten identifiziert. Viele Größen werden jedoch nicht durch einen Punkt, sondern durch eine Verschiebung beschrieben: drei Einheiten nach rechts und zwei nach oben zu gehen ist dieselbe Anweisung, gleich welcher Ausgangspunkt gewählt wird. Ebenso verhält es sich mit der Geschwindigkeit oder der Kraft, die einen Betrag, eine Richtung und eine Orientierung haben und im Kurs Grundlagen der Mechanik untersucht werden. Eine Verschiebung wird als Pfeil gezeichnet und ist durch zwei Zahlen bestimmt: den horizontalen und den vertikalen Versatz. Wenn dem so ist, liegt die folgende Definition nahe.

Ein Vektor der Ebene ist ein geordnetes Paar reeller Zahlen, u⃗=(u1,u2)\vec{u} = \left( u_1, u_2 \right); die Zahlen u1u_1 und u2u_2 sind seine Komponenten. Der Vektor vom Punkt P=(x1,y1)P = (x_1, y_1) zum Punkt Q=(x2,y2)Q = (x_2, y_2) ist das Paar der Differenzen ihrer Koordinaten und wird PQ⃗\vec{PQ} geschrieben; der Pfeil mit Anfangspunkt PP und Spitze QQ repräsentiert ihn.
PQ⃗=(x2−x1,y2−y1)\vec{PQ} = \left( x_2 - x_1, y_2 - y_1 \right)

Ein und derselbe Vektor hat unendlich viele Repräsentanten: Zwei Pfeile repräsentieren denselben Vektor, wenn sie denselben horizontalen und denselben vertikalen Versatz erzeugen, das heißt, wenn der eine durch eine Verschiebung aus dem anderen hervorgeht. Unter ihnen allen gibt es genau einen, der im Ursprung OO beginnt, den Pfeil, der im Punkt (u1,u2)(u_1, u_2) endet. Daraus folgt, dass OP⃗\vec{OP}, der Ortsvektor von PP, als Komponenten die Koordinaten von PP hat. Im Folgenden bezeichnet P+u⃗P + \vec{u} den Punkt, zu dem man von PP aus mit der Verschiebung u⃗\vec{u} gelangt, das heißt die Spitze des Pfeils, der u⃗\vec{u} mit Anfangspunkt PP repräsentiert. Der Nullvektor 0⃗=(0,0)\vec{0} = \left( 0, 0 \right) entspricht dem Stillstehen, und der Gegenvektor von u⃗\vec{u} ist −u⃗=(−u1,−u2)-\vec{u} = \left( -u_1, -u_2 \right), die entgegengesetzte Verschiebung; also gilt QP⃗=−PQ⃗\vec{QP} = -\vec{PQ}.

LemmaGleiche Vektoren und Parallelogramme

Seien PP, QQ, RR und SS Punkte der Ebene. Die Gleichungen PQ⃗=RS⃗\vec{PQ} = \vec{RS} und PR⃗=QS⃗\vec{PR} = \vec{QS} sind äquivalent, und beide sind dazu äquivalent, dass die Strecken PSPS und QRQR denselben Mittelpunkt haben. Liegen die vier Punkte nicht auf einer Geraden, so gilt PQ⃗=RS⃗\vec{PQ} = \vec{RS} genau dann, wenn das Viereck mit den Ecken PP, QQ, SS und RR, in dieser Reihenfolge, ein Parallelogramm ist.

Die drei Äquivalenzen laufen darauf hinaus, eine Gleichung zwischen Zahlen Koordinate für Koordinate umzuordnen; die letzte stützt sich auf den Satz über den Schnitt zweier Geraden aus der Lektion über die Gerade. Wir nennen p1p_1, q1q_1, r1r_1 und s1s_1 die Abszissen der vier Punkte.

Beweis

  1. q1−p1=s1−r1↔r1−p1=s1−q1\dato{a}{q_1 - p_1 = s_1 - r_1} \leftrightarrow \resaltar{r_1 - p_1 = s_1 - q_1}

    Die Gleichheit der ersten Komponenten von PQ⃗\vec{PQ} und von RS⃗\vec{RS} ist, wenn man r1−q1r_1 - q_1 auf beiden Seiten addiert, äquivalent zur Gleichheit der ersten Komponenten von PR⃗\vec{PR} und von QS⃗\vec{QS}. In der Abbildung: P=(1,0)P = (1, 0), Q=(5,1)Q = (5, 1), R=(2,3)R = (2, 3) und S=(6,4)S = (6, 4).

  2. q1−p1=s1−r1↔p1+s12=q1+r12q_1 - p_1 = s_1 - r_1 \leftrightarrow \resaltar{\frac{p_1 + s_1}{2} = \frac{q_1 + r_1}{2}}

    Dieselbe Gleichheit ist, wenn man p1p_1 und r1r_1 auf beiden Seiten addiert und durch 22 dividiert, dazu äquivalent, dass die Mittelpunkte von PSPS und von QRQR dieselbe Abszisse haben. Mit den Ordinaten schließt man ebenso; daher sind die drei Aussagen äquivalent.

  3. q2−p2q1−p1=s2−r2s1−r1\dato{p}{\frac{q_2 - p_2}{q_1 - p_1} = \frac{s_2 - r_2}{s_1 - r_1}}

    Nehmen wir nun an, dass die vier Punkte nicht auf einer Geraden liegen und dass PQ⃗=RS⃗\vec{PQ} = \vec{RS} gilt. Die Geraden PQPQ und RSRS haben dieselbe Richtung: dieselbe Steigung, den Quotienten der Komponenten dieses Vektors, oder beide sind vertikal, falls seine erste Komponente null ist. Sie sind verschieden, denn fielen sie zusammen, so lägen die vier Punkte auf einer Geraden; daher sind sie parallel: wenn sie nicht vertikal sind, nach dem Satz über den Schnitt zweier nicht vertikaler Geraden, und wenn sie es sind, weil sich zwei verschiedene vertikale Geraden nicht schneiden.

  4. PR⃗=QS⃗→r2−p2r1−p1=s2−q2s1−q1\vec{PR} = \vec{QS} \rightarrow \resaltar{\frac{r_2 - p_2}{r_1 - p_1} = \frac{s_2 - q_2}{s_1 - q_1}}

    Nach der ersten Äquivalenz gilt auch PR⃗=QS⃗\vec{PR} = \vec{QS}, und dasselbe Argument zeigt, dass die Seiten PRPR und QSQS parallel sind. Die Gegenseiten des Vierecks PQSRPQSR sind paarweise parallel: Es ist ein Parallelogramm.

  5. RS1⃗=PQ⃗,QS1⃗=PR⃗\vec{RS_1} = \vec{PQ}, \quad \vec{QS_1} = \vec{PR}

    Umgekehrt sei PQSRPQSR ein Parallelogramm, und es sei S1=R+PQ⃗S_1 = R + \vec{PQ}. Nach dem bereits Bewiesenen, angewandt auf die Punkte PP, QQ, RR und S1S_1, liegt der Punkt S1S_1 auf der Parallelen zu PQPQ durch RR und auf der Parallelen zu PRPR durch QQ.

  6. S1=S→RS⃗=PQ⃗S_1 = S \rightarrow \resaltar{\vec{RS} = \vec{PQ}}

    Diese beiden Parallelen sind nicht zueinander parallel, weil PP, QQ und RR nicht auf einer Geraden liegen, und sie schneiden sich in genau einem Punkt. Da die Ecke SS des Parallelogramms ebenfalls auf beiden liegt, stimmt sie mit S1S_1 überein.

BeispielDer Vektor von einem Punkt zu einem anderen

Man berechne den Vektor von P=(1,1)P = (1, 1) nach Q=(4,3)Q = (4, 3), verschiebe ihn zum Punkt R=(−2,2)R = (-2, 2) und zum Ursprung und vergleiche ihn mit dem Vektor von QQ nach PP.

Beweis

  1. PQ⃗=(4−1,3−1)=(3,2)\vec{PQ} = \left( \resaltar{4 - 1}, \resaltar{3 - 1} \right) = \dato{v}{\left( 3, 2 \right)}

    Wir subtrahieren die Koordinaten des Anfangspunkts des Pfeils von denen seiner Spitze: Die Verschiebung beträgt 33 Einheiten nach rechts und 22 nach oben.

  2. S=R+PQ⃗=(−2+3,2+2)=(1,4)S = R + \vec{PQ} = \left( -2 + \resaltar{3}, 2 + \resaltar{2} \right) = \left( 1, 4 \right)

    Mit Anfangspunkt RR führt dieselbe Verschiebung zum Punkt SS.

  3. PR⃗=(−2−1,2−1)=(−3,1)=QS⃗\vec{PR} = \left( \resaltar{-2 - 1}, \resaltar{2 - 1} \right) = \left( -3, 1 \right) = \vec{QS}

    Nach dem Lemma sind auch PR⃗\vec{PR} und QS⃗\vec{QS} gleich, und die Punkte PP, QQ, SS und RR sind die Ecken eines Parallelogramms.

  4. OA⃗=(3,2),A=(3,2)\vec{OA} = \resaltar{\left( 3, 2 \right)}, \quad A = \left( 3, 2 \right)

    Mit Anfangspunkt OO endet der Pfeil im Punkt AA, dessen Koordinaten die Komponenten des Vektors sind: PQ⃗\vec{PQ} ist der Ortsvektor von AA.

  5. QP⃗=(1−4,1−3)=(−3,−2)=−PQ⃗\vec{QP} = \left( \resaltar{1 - 4}, \resaltar{1 - 3} \right) = \left( -3, -2 \right) = -\vec{PQ}

    Der Pfeil von QQ nach PP durchläuft dieselbe Strecke in entgegengesetzter Orientierung: Er repräsentiert den Gegenvektor.

Die Summe von Vektoren und das Produkt mit einer Zahl

Die Summe der Vektoren u⃗=(u1,u2)\vec{u} = \left( u_1, u_2 \right) und v⃗=(v1,v2)\vec{v} = \left( v_1, v_2 \right) ist u⃗+v⃗=(u1+v1,u2+v2)\vec{u} + \vec{v} = \left( u_1 + v_1, u_2 + v_2 \right), und das Produkt der reellen Zahl tt mit u⃗\vec{u} ist tu⃗=(tu1,tu2)t \vec{u} = \left( t u_1, t u_2 \right). Die Differenz von u⃗\vec{u} und v⃗\vec{v} ist u⃗−v⃗=u⃗+(−v⃗)\vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + \left( -\vec{v} \right).

Die Summe entspricht dem Hintereinanderausführen von Verschiebungen: Legt man u⃗\vec{u} und danach v⃗\vec{v} zurück, so ist der gesamte horizontale Versatz u1+v1u_1 + v_1 und der vertikale u2+v2u_2 + v_2. In Punkten ausgedrückt gilt für drei beliebige Punkte AA, BB und CC die Chasles-Relation, weil sich die Koordinatendifferenzen aneinanderfügen: (b1−a1)+(c1−b1)=c1−a1(b_1 - a_1) + (c_1 - b_1) = c_1 - a_1, und ebenso mit den Ordinaten.

AB⃗+BC⃗=AC⃗\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}

Daraus ergeben sich zwei Konstruktionen der Summe: die Dreiecksregel, die den Anfangspunkt von v⃗\vec{v} an die Spitze von u⃗\vec{u} setzt, und die Parallelogrammregel, die beide Vektoren mit demselben Anfangspunkt zeichnet und die Diagonale des von ihnen bestimmten Parallelogramms nimmt. Insbesondere gilt PQ⃗=OQ⃗−OP⃗\vec{PQ} = \vec{OQ} - \vec{OP}: Jeder Vektor zwischen zwei Punkten ist die Differenz ihrer Ortsvektoren. Das Produkt tu⃗t \vec{u} seinerseits multipliziert beide Versätze mit tt: Ist t>0t > 0, so behält es die Richtung und die Orientierung von u⃗\vec{u}; ist t<0t < 0, so behält es die Richtung und kehrt die Orientierung um; und, wie sich bei der Norm zeigen wird, multipliziert es die Länge mit ∣t∣\abs{t}.

BeispielDie Summe, die Differenz und die Parallelogrammregel

Es seien u⃗=(4,1)\vec{u} = \left( 4, 1 \right) und v⃗=(1,3)\vec{v} = \left( 1, 3 \right). Man konstruiere u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} nach der Dreiecksregel und nach der Parallelogrammregel und konstruiere u⃗−v⃗\vec{u} - \vec{v}.

Beweis

  1. u⃗=(4,1),v⃗=(1,3)\dato{u}{\vec{u} = \left( 4, 1 \right)}, \quad \dato{v}{\vec{v} = \left( 1, 3 \right)}

    Wir zeichnen beide Vektoren mit Anfangspunkt OO.

  2. u⃗+v⃗=(4+1,1+3)=(5,4)\vec{u} + \vec{v} = \left( \resaltar{4 + 1}, \resaltar{1 + 3} \right) = \dato{s}{\left( 5, 4 \right)}

    Dreiecksregel: Mit Anfangspunkt in der Spitze von u⃗\vec{u} führt v⃗\vec{v} zum Punkt (5,4)(5, 4); die Summe wird komponentenweise berechnet.

  3. v⃗+u⃗=(5,4)=u⃗+v⃗\vec{v} + \vec{u} = \resaltar{\left( 5, 4 \right)} = \vec{u} + \vec{v}

    Parallelogrammregel: Legt man zuerst v⃗\vec{v} und dann u⃗\vec{u} zurück, so gelangt man zum selben Punkt. Die Summe ist die Diagonale des Parallelogramms mit den Seiten u⃗\vec{u} und v⃗\vec{v}, die in OO beginnt.

  4. −v⃗=(−1,−3)=(−1)v⃗-\vec{v} = \left( \resaltar{-1}, \resaltar{-3} \right) = \left( -1 \right) \vec{v}

    Der Gegenvektor von v⃗\vec{v} ist sein Produkt mit −1-1: Er hat dieselbe Länge und die entgegengesetzte Orientierung.

  5. u⃗−v⃗=(4−1,1−3)=(3,−2)\vec{u} - \vec{v} = \left( \resaltar{4 - 1}, \resaltar{1 - 3} \right) = \left( 3, -2 \right)

    Die Differenz ist die Summe von u⃗\vec{u} und −v⃗-\vec{v}. Verschoben ist sie der Pfeil von der Spitze von v⃗\vec{v} zur Spitze von u⃗\vec{u}: die andere Diagonale des Parallelogramms.

Die beiden Operationen erben von den reellen Zahlen die nachstehenden Eigenschaften, die für alle Vektoren u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v} und w⃗\vec{w} und alle reellen Zahlen ss und tt gelten:

  1. Kommutativität der Addition: u⃗+v⃗=v⃗+u⃗\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}.
  2. Assoziativität der Addition: (u⃗+v⃗)+w⃗=u⃗+(v⃗+w⃗)\left( \vec{u} + \vec{v} \right) + \vec{w} = \vec{u} + \left( \vec{v} + \vec{w} \right).
  3. Neutrales Element: u⃗+0⃗=u⃗\vec{u} + \vec{0} = \vec{u}.
  4. Gegenelement: u⃗+(−u⃗)=0⃗\vec{u} + \left( -\vec{u} \right) = \vec{0}.
  5. Assoziativität des Produkts: s(tu⃗)=(st)u⃗s \left( t \vec{u} \right) = \left( s t \right) \vec{u}.
  6. Eins als neutrales Element: 1u⃗=u⃗1 \vec{u} = \vec{u}.
  7. Distributivität bezüglich der Summe von Vektoren: t(u⃗+v⃗)=tu⃗+tv⃗t \left( \vec{u} + \vec{v} \right) = t \vec{u} + t \vec{v}.
  8. Distributivität bezüglich der Summe von Zahlen: (s+t)u⃗=su⃗+tu⃗\left( s + t \right) \vec{u} = s \vec{u} + t \vec{u}.
SatzEigenschaften der Vektoroperationen

Für alle Vektoren u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v} und w⃗\vec{w} der Ebene und alle reellen Zahlen ss und tt gelten die acht Eigenschaften der vorigen Liste.

Die beiden Operationen wirken komponentenweise, sodass sich jede Eigenschaft auf die entsprechende Eigenschaft der reellen Zahlen zurückführen lässt, angewandt auf jede Komponente. Es genügt, die erste Komponente zu schreiben, weil die zweite mit dem Index 22 identisch ist.

Beweis

  1. u1+v1=v1+u1,(u1+v1)+w1=u1+(v1+w1)\resaltar{u_1 + v_1} = \resaltar{v_1 + u_1}, \qquad \resaltar{\left( u_1 + v_1 \right) + w_1} = \resaltar{u_1 + \left( v_1 + w_1 \right)}

    Kommutativität und Assoziativität: Sie werden von denen der Addition reeller Zahlen geerbt.

  2. u1+0=u1,u1+(−u1)=0\resaltar{u_1 + 0} = \resaltar{u_1}, \qquad \resaltar{u_1 + \left( -u_1 \right)} = \resaltar{0}

    Neutrales Element und Gegenelement: 00 ist neutral bezüglich der Addition, und −u1-u_1 ist das Gegenelement von u1u_1.

  3. s(tu1)=(st)u1,1⋅u1=u1\resaltar{s \left( t u_1 \right)} = \resaltar{\left( s t \right) u_1}, \qquad \resaltar{1 \cdot u_1} = \resaltar{u_1}

    Assoziativität des Produkts und Eins: Das Produkt reeller Zahlen ist assoziativ und hat 11 als neutrales Element.

  4. t(u1+v1)=tu1+tv1,(s+t)u1=su1+tu1\resaltar{t \left( u_1 + v_1 \right)} = \resaltar{t u_1 + t v_1}, \qquad \resaltar{\left( s + t \right) u_1} = \resaltar{s u_1 + t u_1}

    Die beiden Distributivgesetze: Das Produkt reeller Zahlen ist distributiv bezüglich der Addition.

  5. u⃗+v⃗=(u1+v1,u2+v2)=(v1+u1,v2+u2)=v⃗+u⃗\vec{u} + \vec{v} = \left( \resaltar{u_1 + v_1}, \resaltar{u_2 + v_2} \right) = \left( \resaltar{v_1 + u_1}, \resaltar{v_2 + u_2} \right) = \vec{v} + \vec{u}

    Zwei Vektoren sind genau dann gleich, wenn ihre beiden Komponenten gleich sind; daher gelten die acht Gleichungen zwischen Vektoren. Zum Beispiel die erste.

Diese acht Eigenschaften sind die Vektorraumaxiome: Jede Menge, deren Elemente sich untereinander addieren und mit reellen Zahlen multiplizieren lassen, sodass diese acht Regeln erfüllt sind, heißt Vektorraum, und alles, was sich ohne Komponenten aus ihnen herleiten lässt, gilt in jedem von ihnen. Die Polynome aus der Lektion über die Algebra der Polynome bilden mit ihrer Summe und ihrem Produkt mit einer Zahl einen anderen Vektorraum.

Linearkombinationen und parallele Vektoren

Eine Linearkombination der Vektoren u⃗\vec{u} und v⃗\vec{v} ist ein Vektor der Form su⃗+tv⃗s \vec{u} + t \vec{v} mit reellen ss und tt. Die Vektoren e⃗1=(1,0)\vec{e}_1 = \left( 1, 0 \right) und e⃗2=(0,1)\vec{e}_2 = \left( 0, 1 \right), die in Richtung jeder Achse um eine Längeneinheit vorrücken, erlauben es, jeden Vektor als Kombination von ihnen zu schreiben, und zwar auf nur eine Weise, denn ae⃗1+be⃗2=(a,b)a \vec{e}_1 + b \vec{e}_2 = \left( a, b \right) ist nur dann gleich u⃗\vec{u}, wenn a=u1a = u_1 und b=u2b = u_2 gilt. Deshalb heißen sie die Standardbasis der Ebene:

u⃗=(u1,u2)=u1e⃗1+u2e⃗2\vec{u} = \left( u_1, u_2 \right) = u_1 \vec{e}_1 + u_2 \vec{e}_2

Zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren u⃗\vec{u} und v⃗\vec{v} sind parallel, wenn der eine ein Vielfaches des anderen ist, das heißt, wenn v⃗=tu⃗\vec{v} = t \vec{u} für eine reelle Zahl tt gilt, die nicht null sein kann; sie haben dieselbe Orientierung, wenn t>0t > 0, und entgegengesetzte Orientierungen, wenn t<0t < 0. Die Pfeile, die sie mit gemeinsamem Anfangspunkt repräsentieren, liegen dann auf ein und derselben Geraden.

LemmaKriterium für Parallelität

Zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren u⃗\vec{u} und v⃗\vec{v} sind genau dann parallel, wenn u1v2−u2v1=0u_1 v_2 - u_2 v_1 = 0.

Die eine Implikation ist eine Rechnung; für die andere muss man die Zahl tt mit v⃗=tu⃗\vec{v} = t \vec{u} erst gewinnen, indem man durch eine von null verschiedene Komponente von u⃗\vec{u} dividiert.

Beweis

  1. u1(tu2)−u2(tu1)=0u_1 \resaltar{\left( t u_2 \right)} - u_2 \resaltar{\left( t u_1 \right)} = 0

    Ist v⃗=tu⃗\vec{v} = t \vec{u}, so sind die Komponenten von v⃗\vec{v} gleich tu1t u_1 und tu2t u_2, und der Ausdruck verschwindet. In der Abbildung: u⃗=(2,1)\vec{u} = \left( 2, 1 \right) und v⃗=(6,3)=3u⃗\vec{v} = \left( 6, 3 \right) = 3 \vec{u}.

  2. u1v2=u2v1,t=v1u1→v1=tu1\dato{h}{u_1 v_2 = u_2 v_1}, \quad t = \frac{v_1}{u_1} \rightarrow \resaltar{v_1 = t u_1}

    Umgekehrt nehmen wir an, dass der Ausdruck verschwindet, und zuerst, dass u1≠0u_1 \neq 0. Wir definieren tt als den Quotienten der ersten Komponenten, sodass die erste Komponente von v⃗\vec{v} gleich tu1t u_1 ist. In der Abbildung: t=62=3t = \frac{6}{2} = 3.

  3. v2=u2v1u1=u2tu1u1=tu2v_2 = \frac{u_2 \resaltar{v_1}}{u_1} = \frac{u_2 \resaltar{t u_1}}{u_1} = t u_2

    Wir lösen die Voraussetzung nach v2v_2 auf: Auch die zweite Komponente ist tu2t u_2, und daher gilt v⃗=tu⃗\vec{v} = t \vec{u}. In der Abbildung: 3=3⋅13 = 3 \cdot 1.

  4. u1=0→v1=0,t=v2u2u_1 = 0 \rightarrow \resaltar{v_1 = 0}, \quad t = \frac{v_2}{u_2}

    Ist u1=0u_1 = 0, so ist u2≠0u_2 \neq 0, weil u⃗\vec{u} nicht null ist; die Voraussetzung liefert u2v1=0u_2 v_1 = 0, woraus v1=0v_1 = 0 folgt, und mit dem Quotienten der zweiten Komponenten ergibt sich v⃗=tu⃗\vec{v} = t \vec{u}. In der Abbildung: u⃗=(0,2)\vec{u} = \left( 0, 2 \right) und v⃗=(0,−3)\vec{v} = \left( 0, -3 \right), mit t=−32t = -\frac{3}{2}.

Die Zahl u1v2−u2v1u_1 v_2 - u_2 v_1 ist die Determinante aus der Lektion über lineare Gleichungssysteme, und das folgende Lemma erklärt, warum.

LemmaKombinationen zweier nicht paralleler Vektoren

Sind u⃗\vec{u} und v⃗\vec{v} vom Nullvektor verschiedene, nicht parallele Vektoren, so ist jedes w⃗\vec{w} auf genau eine Weise eine Linearkombination von ihnen: Es gibt Zahlen ss und tt, und nur ein solches Paar, mit w⃗=su⃗+tv⃗\vec{w} = s \vec{u} + t \vec{v}.

Die gesuchte Gleichung ist, komponentenweise geschrieben, ein System zweier linearer Gleichungen mit den Unbekannten ss und tt, und es genügt, die cramersche Regel darauf anzuwenden.

Beweis

  1. {u1s+v1t=w1u2s+v2t=w2\begin{cases} u_1 s + v_1 t = w_1 \\ u_2 s + v_2 t = w_2 \end{cases}

    Wir schreiben die Gleichung su⃗+tv⃗=w⃗s \vec{u} + t \vec{v} = \vec{w} komponentenweise. In der Abbildung: u⃗=(2,1)\vec{u} = \left( 2, 1 \right), v⃗=(1,3)\vec{v} = \left( 1, 3 \right) und w⃗=(4,7)\vec{w} = \left( 4, 7 \right).

  2. D=u1v2−u2v1≠0\dato{D}{D = u_1 v_2 - u_2 v_1 \neq 0}

    Die Determinante des Systems ist nach dem Kriterium für Parallelität nicht null, weil die Vektoren nicht parallel sind. In der Abbildung: 2⋅3−1⋅1=52 \cdot 3 - 1 \cdot 1 = 5.

  3. s=w1v2−v1w2D,t=u1w2−w1u2Ds = \frac{w_1 v_2 - v_1 w_2}{\resaltar{D}}, \quad t = \frac{u_1 w_2 - w_1 u_2}{\resaltar{D}}

    Nach der cramerschen Regel hat das System genau eine Lösung, gegeben durch die nachstehenden Quotienten. In der Abbildung: s=12−75=1s = \frac{12 - 7}{5} = 1 und t=14−45=2t = \frac{14 - 4}{5} = 2, und tatsächlich ist w⃗=u⃗+2v⃗\vec{w} = \vec{u} + 2 \vec{v}.

  4. su⃗+tv⃗=s1u⃗+t1v⃗→s=s1∧t=t1s \vec{u} + t \vec{v} = s_1 \vec{u} + t_1 \vec{v} \rightarrow \resaltar{s = s_1 \wedge t = t_1}

    Insbesondere gilt: Sind zwei Kombinationen von u⃗\vec{u} und v⃗\vec{v} gleich, so sind beide die Lösung des Systems mit demselben w⃗\vec{w}, und ihre Koeffizienten stimmen überein. Dieser Koeffizientenvergleich ist das Werkzeug mehrerer Beweise dieser Lektion.