Die Hyperbelgleichung und ihre Herleitung

Definition der Hyperbel

In der Lektion über die Gleichung der Ellipse und des Kreises wurde die Ellipse als die Menge der Punkte definiert, deren Summe der Abstände zu zwei Brennpunkten konstant ist. Die Hyperbel entsteht, wenn man die Summe durch die Differenz ersetzt.

Seien $F_1$ und $F_2$ zwei verschiedene Punkte der Ebene, die Brennpunkte, im Abstand $2c$ voneinander, und sei $a$ eine Zahl mit $0 < a < c$. Die Hyperbel mit den Brennpunkten $F_1$ und $F_2$ ist die Menge der Punkte $P$ der Ebene, deren Abstände zu den Brennpunkten sich um genau $2a$ unterscheiden, gleichgültig, welcher Brennpunkt näher liegt.

In Symbolen: Sind $d_1$ und $d_2$ die Abstände von $P$ zu $F_1$ und zu $F_2$, so gehört der Punkt $P$ zur Hyperbel, wenn er eine der beiden folgenden Gleichungen erfüllt; die Punkte, die die erste erfüllen, liegen näher an $F_2$ und bilden einen Ast, und die Punkte, die die zweite erfüllen, näher an $F_1$, bilden den anderen:

Die Bedingung $0 < a < c$ ist nicht willkürlich. Im Dreieck mit den Ecken $P$, $F_1$ und $F_2$ ist die Differenz zweier Seiten stets kleiner als die dritte, deren Länge $2c$ ist; daraus folgt, dass kein Punkt außerhalb der Geraden durch die Brennpunkte eine Abstandsdifferenz haben kann, die gleich oder größer als $2c$ ist. Ist $a = c$, so erfüllen nur die Punkte der beiden Halbgeraden die Bedingung, die von den Brennpunkten nach außen gehen, und ist $a > c$, so gibt es keinen solchen Punkt; die erste dieser Aussagen folgt aus dem Gleichheitsfall der Dreiecksungleichung, der in der Lektion über Vektoren in der Ebene bewiesen wurde: Angewandt auf $\vec{u} = \vec{PF_2}$ und $\vec{v} = \vec{F_2F_1}$ verlangt die Gleichheit $\operatorname{d}(P, F_1) = \operatorname{d}(P, F_2) + 2c$, dass einer dieser Vektoren das Produkt des anderen mit einer nichtnegativen Zahl ist, das heißt, dass $P$ auf der Geraden durch die Brennpunkte liegt und dass $F_2$ zwischen $P$ und $F_1$ liegt (oder mit $P$ zusammenfällt); ist $a = 0$, so besagt die Bedingung, dass $P$ von den Brennpunkten gleich weit entfernt ist, und sie beschreibt die Mittelsenkrechte der Strecke, die die Brennpunkte verbindet. Keine dieser Mengen ist eine Hyperbel, und deshalb werden sie ausgeschlossen.

Die Mitte der Strecke, die die Brennpunkte verbindet, ist der Mittelpunkt der Hyperbel, und die Gerade durch die Brennpunkte ist ihre Fokalachse. Die beiden Punkte der Hyperbel, die auf der Fokalachse liegen, sind ihre Scheitel; ihr Abstand voneinander ist $2a$, sodass jeder Scheitel den Abstand $a$ vom Mittelpunkt hat.