L’equazione dell’iperbole e la sua deduzione

Definizione di iperbole

Nella lezione sull’equazione dell’ellisse e della circonferenza, l’ellisse è stata definita come l’insieme dei punti la cui somma delle distanze da due fuochi è costante. L’iperbole si ottiene sostituendo la somma con la differenza.

Siano $F_1$ e $F_2$ due punti distinti del piano, i fuochi, separati da una distanza $2c$, e sia $a$ un numero con $0 < a < c$. L’iperbole di fuochi $F_1$ e $F_2$ è l’insieme dei punti $P$ del piano le cui distanze dai fuochi differiscono esattamente di $2a$, qualunque sia il fuoco più vicino.

In simboli, se $d_1$ e $d_2$ sono le distanze di $P$ da $F_1$ e da $F_2$, il punto $P$ appartiene all’iperbole quando soddisfa una delle due equazioni seguenti; i punti che soddisfano la prima sono più vicini a $F_2$ e formano un ramo, e quelli che soddisfano la seconda, più vicini a $F_1$, formano l’altro:

La condizione $0 < a < c$ non è arbitraria. Nel triangolo di vertici $P$, $F_1$ e $F_2$, la differenza fra due lati è sempre minore del terzo, che misura $2c$; ne segue che nessun punto fuori dalla retta che passa per i fuochi può avere una differenza delle distanze uguale o maggiore di $2c$. Se $a = c$, gli unici punti che soddisfano la condizione sono quelli delle due semirette che partono dai fuochi verso l’esterno, e se $a > c$, non ce n’è nessuno; la prima di queste affermazioni segue dal caso di uguaglianza della disuguaglianza triangolare, dimostrato nella lezione sui vettori nel piano: applicato a $\vec{u} = \vec{PF_2}$ e $\vec{v} = \vec{F_2F_1}$, l’uguaglianza $\operatorname{d}(P, F_1) = \operatorname{d}(P, F_2) + 2c$ richiede che uno di questi vettori sia il prodotto dell’altro per un numero non negativo, cioè che $P$ stia sulla retta dei fuochi e che $F_2$ si trovi fra $P$ e $F_1$ (o coincida con $P$); se $a = 0$, la condizione dice che $P$ è equidistante dai fuochi e descrive l’asse del segmento che unisce i fuochi. Nessuno di questi insiemi è un’iperbole, e per questo si escludono.

Il punto medio del segmento che unisce i fuochi è il centro dell’iperbole, e la retta che passa per i fuochi è il suo asse focale. I due punti dell’iperbole situati sull’asse focale sono i suoi vertici; la loro distanza è $2a$, di modo che ogni vertice si trova a una distanza $a$ dal centro.