L’équation de l’hyperbole et sa déduction

Définition de l’hyperbole

Dans la leçon sur l’équation de l’ellipse et du cercle, l’ellipse a été définie comme l’ensemble des points dont la somme des distances à deux foyers est constante. L’hyperbole s’obtient en remplaçant la somme par la différence.

Soient $F_1$ et $F_2$ deux points distincts du plan, les foyers, séparés par une distance $2c$, et soit $a$ un nombre tel que $0 < a < c$. L’hyperbole de foyers $F_1$ et $F_2$ est l’ensemble des points $P$ du plan dont les distances aux foyers diffèrent exactement de $2a$, quel que soit le foyer le plus proche.

En symboles, si $d_1$ et $d_2$ sont les distances de $P$ à $F_1$ et à $F_2$, le point $P$ appartient à l’hyperbole lorsqu’il vérifie l’une des deux équations ci-dessous ; les points qui vérifient la première sont plus proches de $F_2$ et forment une branche, et ceux qui vérifient la seconde, plus proches de $F_1$, forment l’autre :

La condition $0 < a < c$ n’est pas arbitraire. Dans le triangle de sommets $P$, $F_1$ et $F_2$, la différence de deux côtés est toujours strictement inférieure au troisième, qui mesure $2c$ ; il s’ensuit qu’aucun point hors de la droite qui passe par les foyers ne peut avoir une différence de distances supérieure ou égale à $2c$. Si $a = c$, les seuls points qui vérifient la condition sont ceux des deux demi-droites issues des foyers et dirigées vers l’extérieur, et si $a > c$, il n’y en a aucun ; la première de ces affirmations découle du cas d’égalité de l’inégalité triangulaire, démontré dans la leçon sur les vecteurs du plan : appliqué à $\vec{u} = \vec{PF_2}$ et $\vec{v} = \vec{F_2F_1}$, l’égalité $\operatorname{d}(P, F_1) = \operatorname{d}(P, F_2) + 2c$ exige que l’un de ces vecteurs soit le produit de l’autre par un réel positif ou nul, c’est-à-dire que $P$ soit sur la droite des foyers et que $F_2$ se trouve entre $P$ et $F_1$ (ou coïncide avec $P$) ; si $a = 0$, la condition dit que $P$ est équidistant des foyers et décrit la médiatrice du segment qui joint les foyers. Aucun de ces ensembles n’est une hyperbole, et c’est pourquoi on les exclut.

Le milieu du segment qui joint les foyers est le centre de l’hyperbole, et la droite qui passe par les foyers est son axe focal. Les deux points de l’hyperbole situés sur l’axe focal sont ses sommets ; la distance qui les sépare est $2a$, de sorte que chaque sommet est à une distance $a$ du centre.