Les coniques : caractérisation et tracé

Résumé

Cette leçon réunit en une seule théorie les courbes étudiées dans les leçons antérieures. Elle présente les coniques comme les courbes qui résultent de la section d’un double cône par un plan, rappelle leurs équations canoniques et montre que toute équation du second degré sans terme en $xy$ représente une parabole, une ellipse, une hyperbole ou l’un de leurs cas dégénérés : un point, une ou deux droites, ou aucun point. Compléter les carrés suffit pour décider de quelle courbe il s’agit et pour lire son centre ou son sommet, ses demi-axes et ses foyers. Elle se termine par l’excentricité, qui réunit les trois courbes en une seule définition au moyen d’un foyer et d’une directrice, et par l’intersection des coniques et des droites.

Objectifs d’apprentissage

Reconnaître les coniques comme sections d’un double cône par un plan, y compris leurs cas dégénérés.
Ramener une équation du second degré sans terme en $xy$ à son équation canonique en complétant les carrés, et décider d’après les signes de ses coefficients quelle courbe elle représente.
Obtenir le centre ou le sommet, les demi-axes, les foyers, la directrice et les asymptotes d’une conique donnée par son équation générale, et tracer sa courbe.
Utiliser l’excentricité pour décrire les coniques comme lieux géométriques, et le discriminant pour étudier leurs intersections avec des droites.

Les coniques

Considérons un double cône : la surface qu’engendre une droite, la génératrice, en tournant autour d’une autre droite, l’axe, qu’elle coupe en un point fixe, le sommet du cône. La surface a deux nappes, une de chaque côté du sommet. Si on la coupe par un plan qui ne passe pas par le sommet, la courbe obtenue dépend de l’angle que forme le plan avec l’axe, comparé à l’angle que forme avec l’axe chaque génératrice.

Si le plan est perpendiculaire à l’axe, la courbe est un cercle.
Si le plan forme avec l’axe un angle plus grand que celui de la génératrice, il coupe toutes les génératrices d’une seule nappe et la courbe est une ellipse, fermée.
Si le plan forme avec l’axe le même angle que la génératrice, c’est-à-dire s’il est parallèle à une génératrice, il coupe une seule nappe et la courbe est une parabole, ouverte.
Si le plan forme avec l’axe un angle plus petit que celui de la génératrice, il coupe les deux nappes et la courbe est une hyperbole, à deux branches.

Si le plan passe par le sommet du cône, l’intersection se réduit à un point, à une droite (une génératrice) ou à deux droites sécantes au sommet. Ce sont les cas dégénérés, et ils réapparaîtront plus loin comme solutions de certaines équations du second degré, avec deux autres qu’on n’obtient pas en coupant un cône : le couple de droites parallèles, qui résulte de la section d’un cylindre, et l’ensemble vide. Or le cercle n’est pas une quatrième famille, mais l’ellipse qui correspond à la position perpendiculaire du plan.

Que les courbes obtenues en coupant le cône coïncident avec celles que les leçons antérieures ont définies au moyen de foyers, c’est le théorème de Dandelin. Sa démonstration dépasse le cadre de ce cours, car elle exige de la géométrie dans l’espace (les sphères inscrites dans le cône et tangentes au plan de coupe, dont les points de contact avec le plan sont les foyers) ; c’est pourquoi les sections du cône ne servent ici que d’image, et les définitions utilisées sont celles qui reposent sur les distances.