Aller au contenu
Topos Uranos
Français

Inéquations dans le plan et programmation linéaire

Résumé

Cette leçon porte dans le plan l’étude des inéquations. Elle démontre qu’une droite partage le plan en deux demi-plans, sur chacun desquels l’expression du premier degré qui la définit garde son signe, et elle en tire la méthode du point test. Elle décrit la région des solutions d’un système d’inéquations linéaires comme une intersection de demi-plans, avec ses sommets, et prouve qu’elle est convexe ; elle étudie ensuite les régions limitées par des coniques. Elle se termine par la programmation linéaire : la recherche du maximum ou du minimum d’une fonction affine sur une région polygonale, dont le théorème fondamental assure que, sur un polygone convexe borné, l’un et l’autre sont atteints en des sommets et que, sur une région non bornée possédant au moins un sommet, tout optimum qui existe est atteint aussi en l’un d’eux, et par des problèmes de production, de régime alimentaire et de transport.

Objectifs d’apprentissage

  1. Représenter l’ensemble des solutions d’une inéquation linéaire à deux inconnues comme un demi-plan, ouvert ou fermé, à l’aide d’un point test.
  2. Déterminer la région des solutions d’un système d’inéquations linéaires, ses sommets et son caractère borné ou non borné, et justifier sa convexité.
  3. Décrire par des inégalités des régions limitées par des droites et des coniques, et représenter les régions ainsi décrites.
  4. Modéliser et résoudre des problèmes de programmation linéaire à deux variables avec le théorème des sommets et les droites de niveau, en distinguant l’optimum unique, les optimums multiples et l’absence d’optimum.

Les demi-plans

Dans la leçon sur l’équation de la droite, on a vu que toute droite est l’ensemble des points qui vérifient une équation Ax+By+C=0Ax + By + C = 0, avec AA et BB non tous deux nuls : si B≠0B \neq 0, on exprime y=−ABx−CBy = -\frac{A}{B}x - \frac{C}{B}, droite de pente −AB-\frac{A}{B} ; si B=0B = 0, l’équation se réduit à x=−CAx = -\frac{C}{A}, droite verticale. Si l’on demande une inégalité au lieu de l’égalité, l’ensemble des solutions cesse d’être une courbe et devient une région. Dans la leçon sur les équations et inéquations du premier degré, une inéquation du premier degré à une inconnue avait pour solution un intervalle de la droite réelle ; avec deux inconnues, la solution est un demi-plan.

Soit rr une droite non verticale et soit P=(x0,y0)P = (x_0, y_0) un point. Nous dirons que PP est au-dessus de rr si y0y_0 est strictement supérieur à l’ordonnée du point de rr d’abscisse x0x_0, et au-dessous s’il lui est strictement inférieur. Si rr est verticale, on parle de la même manière des points situés à sa droite et à sa gauche. Chacun de ces deux ensembles est un demi-plan ouvert de frontière rr ; si on lui ajoute la droite, c’est un demi-plan fermé.

ThéorèmeLes demi-plans

Soit rr la droite Ax+By+C=0Ax + By + C = 0, avec AA et BB non tous deux nuls, et soit E(x,y)=Ax+By+CE(x, y) = Ax + By + C. L’expression EE a un signe constant de chaque côté de rr : elle est strictement positive en tous les points de l’un des deux demi-plans ouverts et strictement négative en tous ceux de l’autre. Plus précisément, si B>0B > 0, elle est strictement positive au-dessus de rr et strictement négative au-dessous ; si B<0B < 0, c’est le contraire ; et si B=0B = 0, elle est strictement positive à droite de rr lorsque A>0A > 0, et à sa gauche lorsque A<0A < 0.

Démonstration

  1. Ax0+By1+C=0\dato{q}{A x_0 + B y_1 + C = 0}

    Soit P=(x0,y0)P = (x_0, y_0) un point qui n’est pas sur rr, et supposons d’abord B≠0B \neq 0. La droite verticale qui passe par PP coupe rr en un unique point Q=(x0,y1)Q = (x_0, y_1), dont l’ordonnée s’obtient en exprimant yy à partir de l’équation de rr ; le point QQ vérifie cette équation.

  2. E(x0,y0)=(Ax0+By0+C)−(Ax0+By1+C)=B⋅(y0−y1)E(x_0, y_0) = \resaltar{(A x_0 + B y_0 + C) - (A x_0 + B y_1 + C)} = \dato{dif}{\resaltar{B \cdot (y_0 - y_1)}}

    Nous soustrayons ce zéro de la valeur de EE en PP : les termes en x0x_0 et les constantes se simplifient, et il reste un produit.

  3. B>0→(E(x0,y0)>0↔y0>y1)B > 0 \rightarrow \left( E(x_0, y_0) > 0 \leftrightarrow y_0 > y_1 \right)

    Si B>0B > 0, par la règle des signes étudiée dans la leçon sur les tableaux de signes et les inéquations, le produit a le signe de y0−y1y_0 - y_1 : il est strictement positif lorsque PP est au-dessus de rr et strictement négatif lorsqu’il est au-dessous.

  4. B<0→(E(x0,y0)>0↔y0<y1)B < 0 \rightarrow \left( E(x_0, y_0) > 0 \leftrightarrow y_0 < y_1 \right)

    Si B<0B < 0, le produit a le signe contraire de celui de y0−y1y_0 - y_1 : l’expression est strictement négative au-dessus de rr et strictement positive au-dessous.

  5. E(x0,y0)=(Ax0+C)−(Ax1+C)=A⋅(x0−x1)E(x_0, y_0) = \resaltar{(A x_0 + C) - (A x_1 + C)} = \resaltar{A \cdot (x_0 - x_1)}

    Si B=0B = 0, alors A≠0A \neq 0 et rr est la droite verticale x=x1x = x_1, avec x1=−CAx_1 = -\frac{C}{A}. Nous refaisons le calcul avec le point de rr qui a l’ordonnée de PP.

  6. A>0→(E(x0,y0)>0↔x0>x1)A > 0 \rightarrow \left( E(x_0, y_0) > 0 \leftrightarrow x_0 > x_1 \right)

    Si A>0A > 0, l’expression est strictement positive exactement lorsque x0>x1x_0 > x_1, c’est-à-dire à droite de rr ; si A<0A < 0, à sa gauche. Dans tous les cas, le signe de EE en un point ne dépend que du côté de rr où se trouve le point.

Le théorème dit plus que ce qui sert en pratique : il n’est pas nécessaire de retenir quel signe correspond à chaque côté, car il suffit de connaître le signe de EE en un seul point d’un côté pour le connaître en tous. C’est la méthode du point test.

Pour représenter une inéquation Ax+By+C>0Ax + By + C > 0, ou avec <<, ≥\ge ou ≤\le, on trace la droite Ax+By+C=0Ax + By + C = 0 et l’on calcule la valeur de l’expression en un point test qui n’est pas sur elle, d’ordinaire l’origine. Si le point vérifie l’inéquation, l’ensemble des solutions est le demi-plan qui le contient ; sinon, c’est l’autre. Si l’inégalité est stricte, la droite ne fait pas partie de l’ensemble des solutions et se trace en pointillés ; si elle est large, la droite en fait partie et se trace en trait plein.
ExempleUn demi-plan par le point test

Représenter l’ensemble des solutions de l’inéquation 2x−3y+6>02x - 3y + 6 > 0.

Démonstration

  1. 2x−3y+6=0,(0,2),(−3,0)2x - 3y + 6 = 0, \quad (0, 2), \quad (-3, 0)

    Nous traçons la droite frontière par ses points d’intersection avec les axes : avec x=0x = 0 on obtient y=2y = 2, et avec y=0y = 0, x=−3x = -3.

  2. 2⋅0−3⋅0+6=6>02 \cdot 0 - 3 \cdot 0 + 6 = \resaltar{6} > 0

    L’origine n’est pas sur la droite. Nous y calculons la valeur de l’expression : elle est strictement positive, de sorte que l’origine vérifie l’inéquation.

  3. 2x−3y+6>0↔y<23x+22x - 3y + 6 > 0 \leftrightarrow \resaltar{y < \frac{2}{3}x + 2}

    L’ensemble des solutions est le demi-plan qui contient l’origine. Le théorème le confirme : comme B=−3<0B = -3 < 0, l’expression est strictement positive au-dessous de la droite.

  4. 2⋅(−3)−3⋅0+6=02 \cdot (-3) - 3 \cdot 0 + 6 = \resaltar{0}

    L’inégalité est stricte : les points de la droite, comme (−3,0)(-3, 0), annulent l’expression et ne la vérifient pas. La frontière est exclue et se trace en pointillés.