平面上的不等式与线性规划

摘要

本课把不等式的研究推广到平面上。它证明一条直线把平面分成两个半平面，定义这条直线的线性表达式在每个半平面中保持符号不变，并由此得到测试点法。它把线性不等式组的解区域描述为若干半平面的交集，连同它的顶点，并证明它是凸的；接着研究由圆锥曲线围成的区域。最后讨论线性规划：在多边形区域上求线性函数的最大值或最小值，其基本定理保证，在有界的凸多边形上两者都在顶点处取得，而在至少有一个顶点的无界区域上，任何存在的最优值也在某个顶点处取得；还讨论生产、饲料配方和运输问题。

学习目标

借助测试点，把二元线性不等式的解集表示为一个开的或闭的半平面。
确定线性不等式组的解区域、它的顶点以及它是有界的还是无界的，并说明它为什么是凸的。
用不等式描述由直线和圆锥曲线围成的区域，并画出这样描述的区域。
用顶点定理和等值线建立并求解二元线性规划问题，区分唯一最优解、多个最优解和没有最优解的情形。

半平面

在关于直线的方程的课中已经看到，每条直线都是满足方程 $Ax + By + C = 0$ 的点的集合，其中 $A$ 与 $B$ 不全为零：若 $B \neq 0$ ，解出得 $y = -\frac{A}{B}x - \frac{C}{B}$ ，即斜率为 $-\frac{A}{B}$ 的直线；若 $B = 0$ ，方程化为 $x = -\frac{C}{A}$ ，即一条竖直的直线。如果要求的不是等式而是不等式，解集就不再是一条曲线，而成为一个区域。在关于一次方程与一次不等式的课中，一元一次不等式的解是实数轴上的一个区间；有两个未知数时，解是一个半平面。

设 $r$ 是一条不竖直的直线， $P = (x_0, y_0)$ 是一个点。我们说 $P$ 在 $r$ 的上方，如果 $y_0$ 大于 $r$ 上横坐标为 $x_0$ 的点的纵坐标；如果小于，就说它在下方。若 $r$ 是竖直的，则以同样的方式谈论位于它右侧和左侧的点。这两个集合中的每一个都是以 $r$ 为边界的开半平面；若再加上这条直线，就是闭半平面。

定理半平面

设 $r$ 为直线 $Ax + By + C = 0$ ，其中 $A$ 与 $B$ 不全为零，并设 $E(x, y) = Ax + By + C$ 。表达式 $E$ 在 $r$ 的每一侧符号不变：它在两个开半平面之一的所有点上为正，在另一个的所有点上为负。更确切地说，若 $B > 0$ ，则它在 $r$ 的上方为正、下方为负；若 $B < 0$ ，则正好相反；若 $B = 0$ ，则它在 $r$ 的右侧为正（当 $A > 0$ 时），在其左侧为正（当 $A < 0$ 时）。

证明

$\dato{q}{A x_0 + B y_1 + C = 0}$
设 $P = (x_0, y_0)$ 是不在 $r$ 上的点，先假设 $B \neq 0$ 。过 $P$ 的竖直直线与 $r$ 交于唯一的点 $Q = (x_0, y_1)$ ，其纵坐标通过解出 $y$ 得到（利用 $r$ 的方程）；点 $Q$ 满足这个方程。
$E(x_0, y_0) = \resaltar{(A x_0 + B y_0 + C) - (A x_0 + B y_1 + C)} = \dato{dif}{\resaltar{B \cdot (y_0 - y_1)}}$
从 $E$ 在 $P$ 处的值中减去这个零：含 $x_0$ 的项与常数项相消，只剩一个乘积。
$B > 0 \rightarrow \left( E(x_0, y_0) > 0 \leftrightarrow y_0 > y_1 \right)$
若 $B > 0$ ，根据在关于符号表与不等式的课中学过的符号法则，乘积与 $y_0 - y_1$ 同号：当 $P$ 在 $r$ 的上方时为正，在其下方时为负。
$B < 0 \rightarrow \left( E(x_0, y_0) > 0 \leftrightarrow y_0 < y_1 \right)$
若 $B < 0$ ，乘积与 $y_0 - y_1$ 异号：表达式在 $r$ 的上方为负，在其下方为正。
$E(x_0, y_0) = \resaltar{(A x_0 + C) - (A x_1 + C)} = \resaltar{A \cdot (x_0 - x_1)}$
若 $B = 0$ ，则 $A \neq 0$ ，且 $r$ 是竖直的直线 $x = x_1$ ，其中 $x_1 = -\frac{C}{A}$ 。用 $r$ 上纵坐标与 $P$ 相同的点重复这一计算。
$A > 0 \rightarrow \left( E(x_0, y_0) > 0 \leftrightarrow x_0 > x_1 \right)$
若 $A > 0$ ，表达式为正当且仅当 $x_0 > x_1$ ，即在 $r$ 的右侧；若 $A < 0$ ，则在其左侧。在所有情形下， $E$ 在一点处的符号只取决于该点位于 $r$ 的哪一侧。

定理所说的比实际使用的更多：不必记住每一侧对应哪个符号，因为只要知道 $E$ 在某一侧的一个点处的符号，就知道它在该侧所有点处的符号。这就是测试点法。

要画出不等式 $Ax + By + C > 0$ （或带 $<$ 、 $\ge$ 或 $\le$ 的不等式）的图示，先画出直线 $Ax + By + C = 0$ ，再在不在其上的一个测试点（通常是原点）处计算表达式的值。若该点满足不等式，解集就是包含它的半平面；若不满足，就是另一个半平面。若不等式是严格的，直线不属于解集，画成虚线；若不是严格的，直线属于解集，画成实线。

例题用测试点确定半平面

画出不等式 $2x - 3y + 6 > 0$ 的解集。

证明

$2x - 3y + 6 = 0, \quad (0, 2), \quad (-3, 0)$
利用边界直线与两轴的交点画出它：令 $x = 0$ 得 $y = 2$ ，令 $y = 0$ 得 $x = -3$ 。
$2 \cdot 0 - 3 \cdot 0 + 6 = \resaltar{6} > 0$
原点不在直线上。在原点处计算表达式的值：值为正，所以原点满足不等式。
$2x - 3y + 6 > 0 \leftrightarrow \resaltar{y < \frac{2}{3}x + 2}$
解集是包含原点的半平面。定理也证实了这一点：由于 $B = -3 < 0$ ，表达式在直线下方为正。
$2 \cdot (-3) - 3 \cdot 0 + 6 = \resaltar{0}$
不等式是严格的：直线上的点，例如 $(-3, 0)$ ，使表达式为零，不满足不等式。边界被排除在外，画成虚线。