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Topos Uranos
Deutsch

Ungleichungen in der Ebene und lineare Optimierung

Zusammenfassung

Diese Lektion überträgt die Untersuchung von Ungleichungen in die Ebene. Sie beweist, dass eine Gerade die Ebene in zwei Halbebenen teilt, in denen der lineare Term, der sie definiert, jeweils sein Vorzeichen behält, und gewinnt daraus die Testpunktmethode. Sie beschreibt den Lösungsbereich eines linearen Ungleichungssystems als Durchschnitt von Halbebenen, mit seinen Ecken, und beweist, dass er konvex ist; danach untersucht sie die von Kegelschnitten begrenzten Bereiche. Sie schließt mit der linearen Optimierung: der Suche nach dem Maximum oder dem Minimum einer linearen Funktion über einem polygonalen Bereich, deren Hauptsatz sichert, dass auf einem beschränkten konvexen Polygon beide in Ecken angenommen werden und dass auf einem unbeschränkten Bereich mit mindestens einer Ecke jedes vorhandene Optimum ebenfalls in einer von ihnen angenommen wird, und mit Produktions-, Mischungs- und Transportproblemen.

Lernziele

  1. Die Lösungsmenge einer linearen Ungleichung in zwei Variablen mithilfe eines Testpunkts als offene oder abgeschlossene Halbebene darstellen.
  2. Den Lösungsbereich eines linearen Ungleichungssystems, seine Ecken und seine Beschränktheit oder Unbeschränktheit bestimmen und seine Konvexität begründen.
  3. Von Geraden und Kegelschnitten begrenzte Bereiche durch Ungleichungen beschreiben und die so beschriebenen Bereiche darstellen.
  4. Probleme der linearen Optimierung in zwei Variablen mit dem Eckensatz und den Niveaulinien aufstellen und lösen und dabei das eindeutige Optimum, mehrere Optima und das Fehlen eines Optimums unterscheiden.

Die Halbebenen

In der Lektion über die Geradengleichung wurde gezeigt, dass jede Gerade die Menge der Punkte ist, die eine Gleichung Ax+By+C=0Ax + By + C = 0 erfüllen, wobei AA und BB nicht beide null sind: Ist B≠0B \neq 0, so erhält man durch Auflösen y=−ABx−CBy = -\frac{A}{B}x - \frac{C}{B}, eine Gerade mit der Steigung −AB-\frac{A}{B}; ist B=0B = 0, so reduziert sich die Gleichung auf x=−CAx = -\frac{C}{A}, eine vertikale Gerade. Verlangt man statt der Gleichheit eine Ungleichung, so ist die Lösungsmenge keine Kurve mehr, sondern ein Bereich. In der Lektion über lineare Gleichungen und Ungleichungen hatte eine lineare Ungleichung in einer Unbekannten ein Intervall der Zahlengeraden als Lösung; mit zwei Unbekannten ist die Lösung eine Halbebene.

Es seien rr eine nicht vertikale Gerade und P=(x0,y0)P = (x_0, y_0) ein Punkt. Wir sagen, PP liegt oberhalb von rr, wenn y0y_0 größer ist als die Ordinate des Punktes von rr mit der Abszisse x0x_0, und unterhalb, wenn sie kleiner ist. Ist rr vertikal, so spricht man ebenso von den Punkten rechts und links von ihr. Jede dieser beiden Mengen ist eine offene Halbebene mit dem Rand rr; nimmt man die Gerade hinzu, so ist sie eine abgeschlossene Halbebene.

SatzDie Halbebenen

Es sei rr die Gerade Ax+By+C=0Ax + By + C = 0, wobei AA und BB nicht beide null sind, und es sei E(x,y)=Ax+By+CE(x, y) = Ax + By + C. Der Term EE hat auf jeder Seite von rr ein konstantes Vorzeichen: Er ist in allen Punkten einer der beiden offenen Halbebenen positiv und in allen Punkten der anderen negativ. Genauer: Ist B>0B > 0, so ist er oberhalb von rr positiv und unterhalb negativ; ist B<0B < 0, umgekehrt; und ist B=0B = 0, so ist er rechts von rr positiv, wenn A>0A > 0, und links von ihr, wenn A<0A < 0.

Beweis

  1. Ax0+By1+C=0\dato{q}{A x_0 + B y_1 + C = 0}

    Es sei P=(x0,y0)P = (x_0, y_0) ein Punkt, der nicht auf rr liegt, und es gelte zunächst B≠0B \neq 0. Die vertikale Gerade durch PP schneidet rr in genau einem Punkt Q=(x0,y1)Q = (x_0, y_1), dessen Ordinate man erhält, indem man nach yy auflöst, und zwar in der Gleichung von rr; der Punkt QQ erfüllt diese Gleichung.

  2. E(x0,y0)=(Ax0+By0+C)−(Ax0+By1+C)=B⋅(y0−y1)E(x_0, y_0) = \resaltar{(A x_0 + B y_0 + C) - (A x_0 + B y_1 + C)} = \dato{dif}{\resaltar{B \cdot (y_0 - y_1)}}

    Wir subtrahieren diese Null vom Wert von EE in PP: Die Terme mit x0x_0 und die Konstanten heben sich auf, und es bleibt ein Produkt.

  3. B>0→(E(x0,y0)>0↔y0>y1)B > 0 \rightarrow \left( E(x_0, y_0) > 0 \leftrightarrow y_0 > y_1 \right)

    Ist B>0B > 0, so hat das Produkt nach der Vorzeichenregel aus der Lektion über Vorzeichentabellen und Ungleichungen das Vorzeichen von y0−y1y_0 - y_1: Es ist positiv, wenn PP oberhalb von rr liegt, und negativ, wenn er unterhalb liegt.

  4. B<0→(E(x0,y0)>0↔y0<y1)B < 0 \rightarrow \left( E(x_0, y_0) > 0 \leftrightarrow y_0 < y_1 \right)

    Ist B<0B < 0, so hat das Produkt das entgegengesetzte Vorzeichen von y0−y1y_0 - y_1: Der Term ist oberhalb von rr negativ und unterhalb positiv.

  5. E(x0,y0)=(Ax0+C)−(Ax1+C)=A⋅(x0−x1)E(x_0, y_0) = \resaltar{(A x_0 + C) - (A x_1 + C)} = \resaltar{A \cdot (x_0 - x_1)}

    Ist B=0B = 0, so gilt A≠0A \neq 0, und rr ist die vertikale Gerade x=x1x = x_1 mit x1=−CAx_1 = -\frac{C}{A}. Man wiederholt die Rechnung mit dem Punkt von rr, der die Ordinate von PP hat.

  6. A>0→(E(x0,y0)>0↔x0>x1)A > 0 \rightarrow \left( E(x_0, y_0) > 0 \leftrightarrow x_0 > x_1 \right)

    Ist A>0A > 0, so ist der Term genau dann positiv, wenn x0>x1x_0 > x_1, das heißt rechts von rr; ist A<0A < 0, links von ihr. In allen Fällen hängt das Vorzeichen von EE in einem Punkt nur davon ab, auf welcher Seite von rr der Punkt liegt.

Der Satz sagt mehr, als man in der Praxis braucht: Man muss sich nicht merken, welches Vorzeichen zu welcher Seite gehört, denn es genügt, das Vorzeichen von EE in einem einzigen Punkt einer Seite zu kennen, um es in allen zu kennen. Das ist die Testpunktmethode.

Um eine Ungleichung Ax+By+C>0Ax + By + C > 0, oder eine mit <<, ≥\ge oder ≤\le, darzustellen, zeichnet man die Gerade Ax+By+C=0Ax + By + C = 0 und berechnet den Wert des Terms in einem Testpunkt, der nicht auf ihr liegt, gewöhnlich im Ursprung. Erfüllt der Punkt die Ungleichung, so ist die Lösungsmenge die Halbebene, die ihn enthält; erfüllt er sie nicht, so ist es die andere. Ist die Ungleichung streng, so gehört die Gerade nicht zur Lösungsmenge und wird gestrichelt gezeichnet; ist sie es nicht, so gehört die Gerade dazu und wird durchgezogen gezeichnet.
BeispielEine Halbebene mit dem Testpunkt

Man stelle die Lösungsmenge der Ungleichung 2x−3y+6>02x - 3y + 6 > 0 dar.

Beweis

  1. 2x−3y+6=0,(0,2),(−3,0)2x - 3y + 6 = 0, \quad (0, 2), \quad (-3, 0)

    Wir zeichnen die Randgerade durch ihre Schnittpunkte mit den Achsen: Mit x=0x = 0 erhält man y=2y = 2, und mit y=0y = 0 erhält man x=−3x = -3.

  2. 2⋅0−3⋅0+6=6>02 \cdot 0 - 3 \cdot 0 + 6 = \resaltar{6} > 0

    Der Ursprung liegt nicht auf der Geraden. Wir berechnen dort den Wert des Terms: Er ist positiv, also erfüllt der Ursprung die Ungleichung.

  3. 2x−3y+6>0↔y<23x+22x - 3y + 6 > 0 \leftrightarrow \resaltar{y < \frac{2}{3}x + 2}

    Die Lösungsmenge ist die Halbebene, die den Ursprung enthält. Der Satz bestätigt es: Da B=−3<0B = -3 < 0 gilt, ist der Term unterhalb der Geraden positiv.

  4. 2⋅(−3)−3⋅0+6=02 \cdot (-3) - 3 \cdot 0 + 6 = \resaltar{0}

    Die Ungleichung ist streng: Die Punkte der Geraden, etwa (−3,0)(-3, 0), machen den Term zu null und erfüllen sie nicht. Der Rand ist ausgeschlossen und wird gestrichelt gezeichnet.