समतल में असमिकाएँ और रैखिक प्रोग्रामन

सारांश

यह पाठ असमीकरणों के अध्ययन को समतल तक ले जाता है। यह सिद्ध करता है कि कोई रेखा समतल को दो अर्धतलों में बाँटती है, जिनमें से प्रत्येक में उस रेखा को परिभाषित करने वाला रैखिक व्यंजक अपना चिह्न बनाए रखता है, और इससे परीक्षण बिंदु की विधि प्राप्त करता है। यह रैखिक असमीकरण निकाय के हल प्रदेश का, उसके शीर्षों सहित, अर्धतलों के सर्वनिष्ठ के रूप में वर्णन करता है और सिद्ध करता है कि वह उत्तल है; इसके बाद शंकु परिच्छेदों से घिरे प्रदेशों का अध्ययन करता है। अंत में यह रैखिक प्रोग्रामन पर आता है: किसी बहुभुजीय प्रदेश पर किसी रैखिक फलन के अधिकतम या न्यूनतम की खोज, जिसकी आधारभूत प्रमेय सुनिश्चित करती है कि किसी परिबद्ध उत्तल बहुभुज में दोनों शीर्षों पर प्राप्त होते हैं और कि, कम से कम एक शीर्ष वाले किसी अपरिबद्ध प्रदेश में, जो भी इष्टतम मान विद्यमान हो वह भी उनमें से किसी एक पर प्राप्त होता है; और साथ में उत्पादन, आहार और परिवहन के प्रश्न आते हैं।

अधिगम उद्देश्य

किसी दो चरों वाले रैखिक असमीकरण के हल समुच्चय को, एक परीक्षण बिंदु के माध्यम से, एक अर्धतल के रूप में, विवृत या संवृत, निरूपित करना।
रैखिक असमीकरणों के किसी निकाय का हल प्रदेश, उसके शीर्ष और उसका परिबद्ध या अपरिबद्ध होना निर्धारित करना, और उसकी उत्तलता का औचित्य सिद्ध करना।
रेखाओं और शंकु परिच्छेदों से घिरे प्रदेशों का असमिकाओं द्वारा वर्णन करना, और इस प्रकार वर्णित प्रदेशों को निरूपित करना।
दो चरों में रैखिक प्रोग्रामन के प्रश्नों को शीर्षों वाली प्रमेय और स्तर रेखाओं की सहायता से प्रस्तुत करना और हल करना, अद्वितीय इष्टतम हल, अनेक इष्टतम हलों और इष्टतम हल के अभाव में भेद करते हुए।

अर्धतल

रेखा का समीकरण विषयक पाठ में देखा गया था कि प्रत्येक रेखा उन बिंदुओं का समुच्चय है जो किसी समीकरण $Ax + By + C = 0$ को संतुष्ट करते हैं, जहाँ $A$ और $B$ दोनों शून्य नहीं हैं: यदि $B \neq 0$ , तो अलग करने पर $y = -\frac{A}{B}x - \frac{C}{B}$ प्राप्त होता है, जो प्रवणता $-\frac{A}{B}$ वाली रेखा है; यदि $B = 0$ , तो समीकरण $x = -\frac{C}{A}$ में बदल जाता है, जो एक ऊर्ध्वाधर रेखा है। यदि समता के स्थान पर कोई असमिका माँगी जाए, तो हल समुच्चय वक्र नहीं रहता और एक प्रदेश बन जाता है। प्रथम घात के समीकरणों और असमिकाओं विषयक पाठ में, एक अज्ञात वाले रैखिक असमीकरण का हल वास्तविक रेखा का एक अंतराल था; दो अज्ञातों के साथ, हल एक अर्धतल है।

मान लीजिए $r$ एक ऐसी रेखा है जो ऊर्ध्वाधर नहीं है और $P = (x_0, y_0)$ एक बिंदु है। हम कहेंगे कि $P$ , $r$ के ऊपर है यदि $y_0$ , $r$ के उस बिंदु की कोटि से बड़ा है जिसका भुज $x_0$ है, और नीचे है यदि छोटा है। यदि $r$ ऊर्ध्वाधर है, तो इसी प्रकार उसके दाईं ओर और बाईं ओर स्थित बिंदुओं की बात की जाती है। इन दो समुच्चयों में से प्रत्येक एक विवृत अर्धतल है जिसकी सीमा $r$ है; यदि उसमें रेखा जोड़ दी जाए, तो वह एक संवृत अर्धतल है।

प्रमेयअर्धतल

मान लीजिए $r$ रेखा $Ax + By + C = 0$ है, जहाँ $A$ और $B$ दोनों शून्य नहीं हैं, और मान लीजिए $E(x, y) = Ax + By + C$ । व्यंजक $E$ का चिह्न $r$ की प्रत्येक ओर अचर है: वह दो विवृत अर्धतलों में से एक के सभी बिंदुओं पर धनात्मक है और दूसरे के सभी बिंदुओं पर ऋणात्मक। अधिक सटीक रूप से, यदि $B > 0$ , तो वह $r$ के ऊपर धनात्मक और नीचे ऋणात्मक है; यदि $B < 0$ , तो इसका उलटा; और यदि $B = 0$ , तो वह $r$ के दाईं ओर धनात्मक है जब $A > 0$ , और उसके बाईं ओर जब $A < 0$ ।

प्रमाण

$\dato{q}{A x_0 + B y_1 + C = 0}$
मान लीजिए $P = (x_0, y_0)$ एक बिंदु है जो $r$ पर नहीं है, और पहले मान लीजिए कि $B \neq 0$ । $P$ से होकर जाने वाली ऊर्ध्वाधर रेखा $r$ को एक अद्वितीय बिंदु $Q = (x_0, y_1)$ पर काटती है, जिसकी कोटि $y$ को $r$ के समीकरण में अलग करके प्राप्त होती है; बिंदु $Q$ उस समीकरण को संतुष्ट करता है।
$E(x_0, y_0) = \resaltar{(A x_0 + B y_0 + C) - (A x_0 + B y_1 + C)} = \dato{dif}{\resaltar{B \cdot (y_0 - y_1)}}$
उस शून्य को $E$ के उस मान में से घटाते हैं जो $P$ पर है: $x_0$ वाले पद और अचर पद कट जाते हैं, और एक गुणनफल शेष रहता है।
$B > 0 \rightarrow \left( E(x_0, y_0) > 0 \leftrightarrow y_0 > y_1 \right)$
यदि $B > 0$ , तो चिह्न-सारणियों और असमिकाओं विषयक पाठ में पढ़े गए चिह्नों के नियम से, गुणनफल का चिह्न वही है जो $y_0 - y_1$ का है: वह धनात्मक है जब $P$ , $r$ के ऊपर है और ऋणात्मक जब नीचे है।
$B < 0 \rightarrow \left( E(x_0, y_0) > 0 \leftrightarrow y_0 < y_1 \right)$
यदि $B < 0$ , तो गुणनफल का चिह्न $y_0 - y_1$ के चिह्न के विपरीत है: व्यंजक $r$ के ऊपर ऋणात्मक और नीचे धनात्मक है।
$E(x_0, y_0) = \resaltar{(A x_0 + C) - (A x_1 + C)} = \resaltar{A \cdot (x_0 - x_1)}$
यदि $B = 0$ , तो $A \neq 0$ और $r$ ऊर्ध्वाधर रेखा $x = x_1$ है, जहाँ $x_1 = -\frac{C}{A}$ । $r$ के उस बिंदु के साथ, जिसकी कोटि $P$ की कोटि है, परिकलन दोहराया जाता है।
$A > 0 \rightarrow \left( E(x_0, y_0) > 0 \leftrightarrow x_0 > x_1 \right)$
यदि $A > 0$ , तो व्यंजक ठीक तब धनात्मक है जब $x_0 > x_1$ , अर्थात् $r$ के दाईं ओर; यदि $A < 0$ , तो उसके बाईं ओर। सभी स्थितियों में किसी बिंदु पर $E$ का चिह्न केवल इस पर निर्भर करता है कि वह बिंदु $r$ की किस ओर है।

प्रमेय उससे अधिक कहती है जितना व्यवहार में उपयोग होता है: यह याद रखना आवश्यक नहीं कि कौन सा चिह्न किस ओर से संगत है, क्योंकि किसी एक ओर के एक ही बिंदु पर $E$ का चिह्न जान लेना उस ओर के सभी बिंदुओं पर उसे जानने के लिए पर्याप्त है। यही परीक्षण बिंदु की विधि है।

किसी असमीकरण $Ax + By + C > 0$ को, या $<$ , $\ge$ अथवा $\le$ वाले असमीकरण को, निरूपित करने के लिए रेखा $Ax + By + C = 0$ खींची जाती है और व्यंजक का मान किसी ऐसे परीक्षण बिंदु पर ज्ञात किया जाता है जो उस पर न हो, सामान्यतः मूल बिंदु पर। यदि बिंदु असमीकरण को संतुष्ट करता है, तो हल समुच्चय वह अर्धतल है जिसमें वह बिंदु है; यदि नहीं करता, तो दूसरा अर्धतल। यदि असमिका दृढ़ है, तो रेखा हल समुच्चय का भाग नहीं होती और टूटी रेखा से खींची जाती है; यदि नहीं, तो वह उसका भाग होती है और सतत रेखा से खींची जाती है।

उदाहरणपरीक्षण बिंदु द्वारा एक अर्धतल

असमीकरण $2x - 3y + 6 > 0$ के हल समुच्चय को निरूपित कीजिए।

प्रमाण

$2x - 3y + 6 = 0, \quad (0, 2), \quad (-3, 0)$
सीमा रेखा को अक्षों से उसके प्रतिच्छेद बिंदुओं द्वारा खींचते हैं: $x = 0$ से $y = 2$ प्राप्त होता है, और $y = 0$ से $x = -3$ ।
$2 \cdot 0 - 3 \cdot 0 + 6 = \resaltar{6} > 0$
मूल बिंदु रेखा पर नहीं है। उस पर व्यंजक का मान ज्ञात करते हैं: मान धनात्मक है, इसलिए मूल बिंदु असमीकरण को संतुष्ट करता है।
$2x - 3y + 6 > 0 \leftrightarrow \resaltar{y < \frac{2}{3}x + 2}$
हल समुच्चय वह अर्धतल है जिसमें मूल बिंदु है। प्रमेय इसकी पुष्टि करती है: चूँकि $B = -3 < 0$ , व्यंजक रेखा के नीचे धनात्मक है।
$2 \cdot (-3) - 3 \cdot 0 + 6 = \resaltar{0}$
असमिका दृढ़ है: रेखा के बिंदु, जैसे $(-3, 0)$ , व्यंजक को शून्य कर देते हैं और असमीकरण को संतुष्ट नहीं करते। सीमा रेखा हल से बाहर रहती है और टूटी रेखा से खींची जाती है।

इस पाठ के शेष भाग में

रैखिक असमीकरण निकाय
परिबद्ध, अपरिबद्ध और रिक्त प्रदेश
उत्तलता
शंकु परिच्छेदों से घिरे प्रदेश
रैखिक प्रोग्रामन
स्तर रेखाएँ
अपरिबद्ध प्रदेश और अनेक इष्टतम हल
प्रतिरूपण
हल किए गए प्रश्न
निरपेक्ष मानों से वर्णित एक वर्ग
एक कार्यशाला का उत्पादन
न्यूनतम लागत का आहार
लुप्त होता प्रदेश
वक्र सीमा पर अधिकतम
अभ्यास प्रश्न
मूल बिंदु के अधिक निकट
अनंत इष्टतम हल
दो गोदामों से परिवहन
जब शीर्ष पूर्णांक नहीं है
प्राचल के अनुसार इष्टतम शीर्ष

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