समतल की विश्लेषिक ज्यामिति: सारांश और चुनौतियाँ

सारांश

यह पाठ समतल की वैश्लेषिक ज्यामिति को समर्पित इकाई का समापन करता है। यह एक निगमनात्मक शृंखला में वह सब एकत्र करता है जो इकाई के नौ पाठों में सिद्ध किया गया, दूरी के सूत्र से लेकर रैखिक प्रोग्रामन की शीर्षों वाली प्रमेय तक; यह दिखाता है कि इकाई पूर्ववर्ती इकाइयों पर, विशेषकर वर्ग पूरा करने, विविक्तकर और चिह्न-सारणियों पर, कैसे टिकी है, और वह आगामी इकाई को कैसे तैयार करती है, जिसके अबीजीय फलन अतिपरवलय का फिर से वर्णन करते हैं। इसके बाद यह एक समापन मूल्यांकन प्रस्तुत करता है, जो प्रवेश मूल्यांकन के समानांतर है, और अंत में दस चुनौतियाँ देता है, जो पाठों के प्रस्तावित प्रश्नों से अधिक कठिन हैं और जिनमें उनमें से कई पाठों को मिलाना और हर स्थिति में वह विचार खोजना आवश्यक है जो मार्ग खोलता है।

अधिगम उद्देश्य

इकाई के मुख्य परिणामों का कथन करना और समझाना कि प्रत्येक परिणाम पहले के परिणामों पर कैसे निर्भर करता है।
इकाई की विधियों को पूर्ववर्ती इकाइयों की विधियों से और आगामी इकाई की विधियों से जोड़ना।
ऐसे प्रश्न हल करना जो रेखाओं, सदिशों, शंकु परिच्छेदों और असमिकाओं को मिलाते हैं, और किसी वक्र की मापीय परिभाषा, उसके समीकरण और विविक्तकर में से सबसे प्रभावी उपकरण चुनना।
न्यूनतम, स्पर्श और बिंदुपथ की शर्तों को समीकरणों में अनूदित करना, और यह जाँचना कि प्राप्त समीकरण ठीक-ठीक वांछित समुच्चय का वर्णन करता है।

इकाई की उपलब्धियाँ

निर्देशांक, रेखा और सदिश

इकाई एक ही विचार से आरंभ हुई: समतल के प्रत्येक बिंदु को उसके निर्देशांकों के युग्म से अभिन्न मानना। इससे, रेखा का समीकरण पर पाठ में, यह निष्कर्ष निकला कि दो बिंदुओं के बीच की दूरी पाइथागोरस प्रमेय का परिणाम है और कि किसी रेखा की प्रवणता उन बिंदुओं पर निर्भर नहीं करती जिनसे उसकी गणना की जाती है, त्रिभुजों की समरूपता के कारण। ये दोनों प्रमेय, अक्षों के स्वतंत्र चयन, समांतर रेखाओं के बीच संगत कोणों की समता, त्रिभुज के कोणों के योग और समद्विबाहु त्रिभुज के कोणों के साथ, यूक्लिडीय ज्यामिति के वे तथ्य हैं जिन्हें इकाई आरंभ में स्पष्ट रूप से स्वीकार करती है, क्योंकि उनकी उपपत्ति उस ज्यामिति के अभिगृहीतीय निर्माण से संबंधित है। प्रवणता की निश्चरता से यह निगमित हुआ कि किसी रेखा के बिंदु ठीक-ठीक किसी समीकरण $Ax + By + C = 0$ के हल हैं; दो रेखाओं के समीकरणों से एक परिकलन द्वारा, यह कि दो रेखाएँ जो ऊर्ध्वाधर नहीं हैं, समांतर हैं यदि और केवल यदि उनकी प्रवणता एक ही हो; पाइथागोरस प्रमेय और उसके विलोम से, संगत कोणों की समता के साथ, यह कि वे लंब हैं यदि और केवल यदि उनकी प्रवणताओं का गुणनफल $-1$ हो; और पाइथागोरस प्रमेय से, यह कि किसी बिंदु से खींचा गया लंब रेखा तक का सबसे छोटा मार्ग है।

समतल में सदिश पर पाठ ने इन परिणामों को अक्षों के चयन पर निर्भर हुए बिना पुनः सूत्रबद्ध किया। सदिश, अपने योग और संख्या से गुणन के साथ, सदिश समष्टि के आठ अभिगृहीतों को संतुष्ट करते हैं; अदिश गुणनफल शर्त $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ द्वारा लंबता का निर्णय करता है, जो अब ऊर्ध्वाधर रेखाओं को बाहर नहीं रखती, और कॉशी-श्वार्ज़ असमिका, त्रिभुज असमिका तथा लांबिक प्रक्षेप देता है। इससे रेखा का सदिश समीकरण, अभिलंब सदिश $\left( A, B \right)$ , जो रेखा $Ax + By + C = 0$ का है, और बिंदु की रेखा से दूरी का सूत्र प्राप्त हुए, जो बाद के लगभग सभी पाठों में फिर आता है:

\operatorname{d}(P, r) = \frac{\abs{A x_1 + B y_1 + C}}{\sqrt{A^2 + B^2}}

दूरियों द्वारा परिभाषित शंकु परिच्छेद

बाद के पाँच पाठों ने चार वक्रों पर एक ही विधि लागू की: वक्र को दूरियों के किसी गुण द्वारा परिभाषित करना, वर्ग करके उसे एक समीकरण में अनूदित करना और फिर विलोम सिद्ध करना, क्योंकि वर्ग करने से अवांछित बिंदु जुड़ सकते हैं। परवलय का समीकरण पर पाठ ने परवलय को एक नाभि और एक नियता द्वारा परिभाषित किया, सिद्ध किया कि द्विघात बहुपदों के आलेख ठीक-ठीक ऊर्ध्वाधर अक्ष वाले परवलय हैं और उसका परावर्तन गुण सिद्ध किया; परवलयों के अभिलक्षणन वाले पाठ ने, वर्ग पूरा करके, गुणांकों के पदों में उसके तत्त्व प्राप्त किए, और सिद्ध किया कि शीर्ष चरम बिंदु है और कि विविक्तकर क्षैतिज अक्ष के साथ प्रतिच्छेदों का निर्णय करता है।

दीर्घवृत्त और वृत्त पर पाठ ने दीर्घवृत्त को दो नाभियों से दूरियों के अचर योग $2a$ द्वारा परिभाषित किया, $b^2 = a^2 - c^2$ के साथ उसका समानीत समीकरण निगमित किया और सिद्ध किया कि प्रत्येक बिंदु की नाभियों से दूरियाँ $a + ex$ और $a - ex$ हैं; वृत्त संपाती नाभियों वाला दीर्घवृत्त सिद्ध हुआ। वृत्त पर पाठ ने किसी बिंदु की स्थिति को उसकी घात द्वारा मापा, किसी रेखा की स्थिति का निर्णय केंद्र की दूरी की त्रिज्या से तुलना करके किया, सिद्ध किया कि स्पर्श रेखा त्रिज्या पर लंब है, दो वृत्तों की छह स्थितियों का उनके मूलाक्ष द्वारा वर्गीकरण किया और बिंदु की घात की प्रमेय सिद्ध की, जिससे प्रतिच्छेदी जीवा प्रमेय, छेदक-स्पर्शी प्रमेय और मूल केंद्र की प्रमेय निकलती हैं। अतिपरवलय का समीकरण पर पाठ ने योग के स्थान पर अंतर रखा, $c^2 = a^2 + b^2$ के साथ, अनंतस्पर्शियों का अध्ययन किया, सिद्ध किया कि $y = \frac{1}{x}$ का आलेख एक समकोणीय अतिपरवलय है और दिखाया कि किसी अनंतस्पर्शी के समांतर रेखा अतिपरवलय को स्पर्श रेखा हुए बिना केवल एक बिंदु पर काटती है।

एकीकृत सिद्धांत और असमिकाएँ

शांकव पर पाठ ने चारों वक्रों को एक ही सिद्धांत में एकत्र किया। प्रत्येक समीकरण $Ax^2 + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$ , $AC$ के चिह्न और वर्ग पूरे करने के बाद बचे दाएँ पक्ष $G$ के चिह्न के अनुसार, एक दीर्घवृत्त, एक अतिपरवलय, एक परवलय या उनकी किसी अपभ्रष्ट स्थिति को निरूपित करता है; और नाभि और नियता वाली प्रमेय दीर्घवृत्त, परवलय और अतिपरवलय का वर्णन उन बिंदुपथों के रूप में करती है जिनमें किसी नाभि से दूरी और किसी नियता से दूरी का अनुपात एक स्थिर संख्या $e$ है, जो $1$ से कम, उसके बराबर या उससे अधिक है।

अंतिम पाठ, समतल में असमिकाएँ और रैखिक प्रोग्रामन पर, समताओं से असमिकाओं की ओर गया। अर्धतलों वाली प्रमेय सुनिश्चित करती है कि व्यंजक $Ax + By + C$ रेखा के प्रत्येक ओर अपना चिह्न बनाए रखता है, जिससे परीक्षण बिंदु की विधि निकलती है; रैखिक असमीकरणों द्वारा परिभाषित प्रदेश उत्तल होते हैं, क्योंकि किसी रेखाखंड के अनुदिश रैखिक व्यंजक अपने सिरों पर के मानों के बीच बदलता है; द्वितीय घात का कोई व्यंजक जो किसी रेखाखंड पर शून्य नहीं होता, उस पर अपना चिह्न बनाए रखता है, और इसीलिए परीक्षण बिंदु की विधि शंकु परिच्छेदों द्वारा सीमित प्रदेशों के लिए भी लागू होती है; और कोई रैखिक फलन किसी परिबद्ध उत्तल बहुभुज पर अपना अधिकतम और न्यूनतम उसके किसी शीर्ष पर प्राप्त करता है। यदि प्रदेश परिबद्ध नहीं है, तो हो सकता है कि इष्टतम मान विद्यमान न हो, और विद्यमान होने पर भी हो सकता है कि वह किसी शीर्ष पर प्राप्त न हो, जैसे किसी पट्टी में; पर यदि प्रदेश का कोई शीर्ष है, अर्थात् यदि उसमें कोई पूरी रेखा समाहित नहीं है, तो विद्यमान होने वाला प्रत्येक इष्टतम मान उनमें से किसी शीर्ष पर भी प्राप्त होता है।

तीन उपकरण पूरी इकाई में व्याप्त हैं। पहला दूरी का सूत्र है, जिस पर वक्रों की सभी परिभाषाएँ टिकी हैं। दूसरा वर्ग पूरा करना है, जो द्वितीय घात के प्रत्येक समीकरण को उस रूप में ले आता है जिसमें उसके तत्त्व पढ़े जाते हैं। तीसरा विविक्तकर है, जो सभी शंकु परिच्छेदों में यह निर्णय करता है कि कोई रेखा उन्हें दो बिंदुओं पर, एक पर या किसी पर नहीं काटती, और जो, परवलय के अक्ष या अतिपरवलय के अनंतस्पर्शियों के समांतर रेखाओं के प्रति सावधानी के साथ, सीमाओं का सहारा लिए बिना स्पर्श रेखाओं का अभिलक्षण करता है।

नीचे की आकृति तीनों खंडों को एक ही शृंखला में जोड़ती है। स्तंभ की हर गाँठ एक परिभाषा या एक प्रमेय है, तार्किक क्रम में क्रमांकित, और एक चाप से उन पहले की कड़ियों से जुड़ी जिनका उपयोग उसकी उपपत्ति करती है; चारों ओर आधार तैरते हैं, अर्थात् वे सिद्धांत और उपकरण जिनका सहारा शृंखला बार-बार लेती है, हर एक ठोस रेखा से उन कड़ियों से जुड़ा जो उस पर टिकी हैं और बिंदुदार रेखा से उस कड़ी से जहाँ वह स्थापित होता है, सिवाय उनके जो स्वीकार किए जाते हैं या पूर्ववर्ती इकाइयों से आते हैं, जो छल्लों के रूप में बनाए गए हैं। किसी आधार पर क्लिक करने से वे सभी कड़ियाँ उभर आती हैं जो उसका उपयोग करती हैं, और हर कड़ी उस पाठ की ओर ले जाती है जिसमें वह सिद्ध होती है।

शृंखला के आधार

Aयूक्लिडीय ज्यामिति. इकाई के आरंभ में ये स्वीकार किए जाते हैं: अक्षों का स्वतंत्र चयन, पाइथागोरस प्रमेय और उसका विलोम, समांतर रेखाओं के बीच संगत कोणों की समता, थेल्स प्रमेय और त्रिभुजों की समरूपता, त्रिभुज के कोणों का योग, और समद्विबाहु त्रिभुज की समान भुजाओं के सम्मुख कोणों की समता। इस इकाई में बिना प्रमाण के स्वीकार किया गया।
Bदूरी का सूत्र. $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के बीच की दूरी $\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ है; इकाई के वक्रों की सभी परिभाषाएँ इसी पर टिकी हैं। स्थापित होता है: 1. दूरी और मध्य-बिंदु.
Cरेखा का व्यापक समीकरण. प्रत्येक रेखा के बिंदु ठीक-ठीक किसी समीकरण $Ax + By + C = 0$ के हल हैं, जहाँ $A$ और $B$ दोनों शून्य नहीं हैं। स्थापित होता है: 2. रेखा का समीकरण.
Dबिंदु की रेखा से दूरी. बिंदु $(x_1, y_1)$ की रेखा $Ax + By + C = 0$ से दूरी $\frac{\abs{A x_1 + B y_1 + C}}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ है। स्थापित होता है: 10. बिंदु की रेखा से दूरी.
Eवर्ग पूरा करना. $ax^2 + bx + c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a}$ सत्य है, जहाँ $\Delta = b^2 - 4ac$ ; यह बीजीय फलनों वाली इकाई में सिद्ध किया गया। इस इकाई में बिना प्रमाण के स्वीकार किया गया।
Fविविक्तकर. किसी द्विघात समीकरण के दो मूल, एक द्विगुण मूल या कोई मूल नहीं होता, इस पर निर्भर करते हुए कि उसका विविक्तकर धनात्मक, शून्य या ऋणात्मक है, और मूल न होने पर बहुपद अपने अग्रग गुणांक का चिह्न बनाए रखता है; यह बीजीय फलनों वाली इकाई में सिद्ध किया गया। इस इकाई में बिना प्रमाण के स्वीकार किया गया।
Gआलेखों का स्थानांतरण. $x$ के स्थान पर $x - h$ और $y$ के स्थान पर $y - k$ रखने से आलेख क्षैतिज दिशा में $h$ एकांक और ऊर्ध्वाधर दिशा में $k$ एकांक स्थानांतरित होता है; यह बीजीय फलनों वाली इकाई में सिद्ध किया गया। इस इकाई में बिना प्रमाण के स्वीकार किया गया।
Hचिह्नों का नियम. दो गुणनखंडों का गुणनफल धनात्मक होता है यदि उनका चिह्न एक ही हो, और ऋणात्मक यदि उनके चिह्न विपरीत हों; बीजीय फलनों वाली इकाई की चिह्न-सारणियाँ इसी पर टिकी हैं। इस इकाई में बिना प्रमाण के स्वीकार किया गया।

खंड 1 निर्देशांक, रेखा और सदिश
- पाइथागोरस प्रमेय से दो बिंदुओं के बीच की दूरी और किसी रेखाखंड का मध्य-बिंदु प्राप्त करना।
- सिद्ध करना कि किसी रेखा के बिंदु ठीक-ठीक प्रथम घात के किसी समीकरण के हल हैं, और समांतरता तथा लंबता का प्रवणताओं द्वारा अभिलक्षण करना।
- समतल के सदिशों को योग, संख्या से गुणन, परिमाण और अदिश गुणनफल से युक्त करना, और कॉशी-श्वार्ज़ असमिका, त्रिभुज असमिका और लांबिक प्रक्षेप निगमित करना।
- रेखा का सदिश समीकरण, उसका अभिलंब सदिश और बिंदु की रेखा से दूरी प्राप्त करना।
1. दूरी और मध्य-बिंदु. $P_1 = (x_1, y_1)$ और $P_2 = (x_2, y_2)$ के बीच की दूरी $\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ है, और बिंदु $\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$ रेखाखंड को दो बराबर हिस्सों में बाँटता है।
  आधार: A (यूक्लिडीय ज्यामिति). सिद्ध किया गया: रेखा का समीकरण और कार्तीय निर्देशांक पद्धतियाँ.
2. रेखा का समीकरण. प्रवणता उन बिंदुओं पर निर्भर नहीं करती जिनसे उसकी गणना की जाती है, और कोई बिंदु प्रवणता $m$ वाली तथा $(x_0, y_0)$ से होकर जाने वाली रेखा पर है यदि और केवल यदि $y - y_0 = m(x - x_0)$ ; इससे, प्रत्येक रेखा का एक समीकरण $Ax + By + C = 0$ होता है।
  आधार: A (यूक्लिडीय ज्यामिति). सिद्ध किया गया: रेखा का समीकरण और कार्तीय निर्देशांक पद्धतियाँ.
3. समांतर और लंब रेखाएँ. दो अलग-अलग रेखाएँ जो ऊर्ध्वाधर नहीं हैं, समांतर हैं यदि और केवल यदि उनकी प्रवणता एक ही हो, और लंब हैं यदि और केवल यदि उनकी प्रवणताओं का गुणनफल $-1$ हो।
  उपयोग करती है: 2. रेखा का समीकरण. आधार: A (यूक्लिडीय ज्यामिति), B (दूरी का सूत्र). सिद्ध किया गया: रेखा का समीकरण और कार्तीय निर्देशांक पद्धतियाँ.
4. लंब सबसे छोटा मार्ग है. यदि $Q$ , $P$ से रेखा $r$ पर खींचे गए लंब का पाद है, तो प्रत्येक अन्य बिंदु $R$ , जो $r$ पर स्थित है, $d(P, R) > d(P, Q)$ को संतुष्ट करता है।
  उपयोग करती है: 3. समांतर और लंब रेखाएँ. आधार: A (यूक्लिडीय ज्यामिति), B (दूरी का सूत्र). सिद्ध किया गया: रेखा का समीकरण और कार्तीय निर्देशांक पद्धतियाँ.
5. सदिशों पर संक्रियाएँ. सदिशों का योग और संख्या से गुणन सदिश समष्टि के आठ अभिगृहीतों को संतुष्ट करते हैं, और दो शून्येतर सदिश, जिनके लिए $u_1 v_2 - u_2 v_1 \neq 0$ , समतल के प्रत्येक सदिश को एक ही प्रकार से जनित करते हैं।
  सिद्ध किया गया: समतल में सदिश और रेखा के प्राचलिक समीकरण.
6. अदिश गुणनफल और लंबता. अदिश गुणनफल $\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2$ क्रमविनिमेय और वितरणशील है, $\vec{u} \cdot \vec{u} = {\norma{\vec{u}}}^2$ को संतुष्ट करता है, और दो सदिश लंब हैं यदि और केवल यदि $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ ।
  उपयोग करती है: 5. सदिशों पर संक्रियाएँ. आधार: A (यूक्लिडीय ज्यामिति), B (दूरी का सूत्र). सिद्ध किया गया: समतल में सदिश और रेखा के प्राचलिक समीकरण.
7. कॉशी-श्वार्ज़ और त्रिभुज असमिका. $\abs{\vec{u} \cdot \vec{v}} \le \norma{\vec{u}} \norma{\vec{v}}$ सत्य है, जिससे $\norma{\vec{u} + \vec{v}} \le \norma{\vec{u}} + \norma{\vec{v}}$ और, तीन बिंदुओं के लिए, $d(P, R) \le d(P, Q) + d(Q, R)$ ।
  उपयोग करती है: 6. अदिश गुणनफल और लंबता. आधार: F (विविक्तकर). सिद्ध किया गया: समतल में सदिश और रेखा के प्राचलिक समीकरण.
8. लांबिक प्रक्षेप. यदि $\vec{v}$ शून्य नहीं है, तो एक अद्वितीय संख्या $t$ ऐसी है कि $\vec{u} - t \vec{v}$ , $\vec{v}$ पर लंब है, अर्थात् $t = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{{\norma{\vec{v}}}^2}$ ।
  उपयोग करती है: 6. अदिश गुणनफल और लंबता. सिद्ध किया गया: समतल में सदिश और रेखा के प्राचलिक समीकरण.
9. सदिश समीकरण और अभिलंब सदिश. $P_0$ से होकर जाने वाली और दिशा सदिश $\vec{d}$ वाली रेखा के बिंदु वे $P_0 + t \vec{d}$ हैं, प्रत्येक एक अद्वितीय प्राचल $t$ के साथ; और $\vec{n} = \left( A, B \right)$ रेखा $Ax + By + C = 0$ पर लंब है, जिसके बिंदु वे $P$ हैं जिनके लिए $\vec{n} \cdot \vec{P_0 P} = 0$ ।
  उपयोग करती है: 2. रेखा का समीकरण, 6. अदिश गुणनफल और लंबता. आधार: C (रेखा का व्यापक समीकरण). सिद्ध किया गया: समतल में सदिश और रेखा के प्राचलिक समीकरण.
10. बिंदु की रेखा से दूरी. $(x_1, y_1)$ की रेखा $Ax + By + C = 0$ से दूरी $\frac{\abs{A x_1 + B y_1 + C}}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ है, और यह लंब के पाद पर प्राप्त होती है।
  उपयोग करती है: 4. लंब सबसे छोटा मार्ग है, 8. लांबिक प्रक्षेप, 9. सदिश समीकरण और अभिलंब सदिश. आधार: C (रेखा का व्यापक समीकरण). सिद्ध किया गया: समतल में सदिश और रेखा के प्राचलिक समीकरण.
खंड 2 दूरियों द्वारा परिभाषित शंकु परिच्छेद
- परवलय को एक नाभि और एक नियता द्वारा परिभाषित करना, उसका समीकरण प्राप्त करना और सिद्ध करना कि द्विघात बहुपदों के आलेख ठीक-ठीक ऊर्ध्वाधर अक्ष वाले परवलय हैं।
- वर्ग पूरा करके परवलय का शीर्ष पढ़ना और विविक्तकर द्वारा क्षैतिज अक्ष के साथ उसके प्रतिच्छेदों का निर्णय करना।
- दीर्घवृत्त का समानीत समीकरण और अतिपरवलय का आधारभूत समीकरण, विलोम की उपपत्ति सहित, निगमित करना, और वृत्त को संपाती नाभियों वाले दीर्घवृत्त के रूप में पहचानना।
- किसी वृत्त के सापेक्ष एक रेखा और एक अन्य वृत्त की स्थिति का अध्ययन करना, और बिंदु की घात की प्रमेय सिद्ध करना।
- विविक्तकर द्वारा शंकु परिच्छेदों की स्पर्श रेखाओं का अभिलक्षण करना, अक्ष या अनंतस्पर्शियों के समांतर रेखाओं के प्रति सावधानी के साथ, और ऊर्ध्वाधर रेखाओं पर अलग से विचार करना।
1. परवलय का समीकरण. नाभि $(h, k + f)$ और नियता $y = k - f$ से समदूरस्थ बिंदु ठीक-ठीक वक्र $(x - h)^2 = 4f(y - k)$ के बिंदु हैं, जो अपने अक्ष $x = h$ के सापेक्ष सममित है।
  आधार: B (दूरी का सूत्र), G (आलेखों का स्थानांतरण). सिद्ध किया गया: परवलय का समीकरण: परिभाषाएँ और गुणधर्म.
2. परवलय और द्विघात बहुपद. $y = ax^2 + bx + c$ के आलेख, जहाँ $a \neq 0$ , ठीक-ठीक ऊर्ध्वाधर अक्ष वाले परवलय हैं, जिनमें $f = \frac{1}{4a}$ , जिसका निरपेक्ष मान नाभीय दूरी है।
  उपयोग करती है: 11. परवलय का समीकरण. आधार: E (वर्ग पूरा करना). सिद्ध किया गया: परवलय का समीकरण: परिभाषाएँ और गुणधर्म.
3. परावर्तन गुण. परवलय के किसी बिंदु $P$ पर स्पर्श रेखा $P$ से होकर खींची गई अक्ष की समांतर रेखा के साथ और $P$ को नाभि से मिलाने वाली रेखा के साथ बराबर कोण बनाती है।
  उपयोग करती है: 11. परवलय का समीकरण. आधार: A (यूक्लिडीय ज्यामिति), B (दूरी का सूत्र), F (विविक्तकर). सिद्ध किया गया: परवलय का समीकरण: परिभाषाएँ और गुणधर्म.
4. शीर्ष और अक्ष के साथ प्रतिच्छेद. $y = ax^2 + bx + c$ का शीर्ष $\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4a}\right)$ है, जो यदि $a > 0$ तो उसका सबसे निचला बिंदु है और यदि $a < 0$ तो सबसे ऊँचा, और परवलय $x$ अक्ष को दो बिंदुओं पर, एक पर या किसी पर नहीं काटता, इस पर निर्भर करते हुए कि $\Delta$ धनात्मक, शून्य या ऋणात्मक है।
  उपयोग करती है: 12. परवलय और द्विघात बहुपद. आधार: E (वर्ग पूरा करना), F (विविक्तकर). सिद्ध किया गया: परवलयों का अभिलक्षणन और उनके आलेख.
5. दीर्घवृत्त का समानीत समीकरण. $b^2 = a^2 - c^2$ होने पर, नाभियों $(\pm c, 0)$ और दूरियों के योग $2a$ वाला दीर्घवृत्त ठीक-ठीक वक्र $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है, और प्रत्येक बिंदु की नाभियों से दूरियाँ $a + \frac{c}{a} x$ और $a - \frac{c}{a} x$ हैं।
  आधार: B (दूरी का सूत्र). सिद्ध किया गया: दीर्घवृत्त और वृत्त का समीकरण.
6. वृत्त का समीकरण. केंद्र $(h, k)$ और त्रिज्या $r$ वाला वृत्त वक्र $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ है, और यह वह दीर्घवृत्त है जिसकी दोनों नाभियाँ केंद्र से संपाती हैं।
  उपयोग करती है: 15. दीर्घवृत्त का समानीत समीकरण. आधार: B (दूरी का सूत्र), G (आलेखों का स्थानांतरण). सिद्ध किया गया: दीर्घवृत्त और वृत्त का समीकरण.
7. दीर्घवृत्त पर स्पर्श. कोई रेखा जो ऊर्ध्वाधर नहीं है, दीर्घवृत्त की स्पर्श रेखा है यदि और केवल यदि उसे प्रतिस्थापित करने से प्राप्त समीकरण का विविक्तकर शून्य है; यदि वह धनात्मक है, तो रेखा दीर्घवृत्त को दो बिंदुओं पर काटती है, और यदि ऋणात्मक है, तो उसे छूती नहीं। ऊर्ध्वाधर स्पर्श रेखाएँ केवल $x = a$ और $x = -a$ हैं।
  उपयोग करती है: 15. दीर्घवृत्त का समानीत समीकरण. आधार: F (विविक्तकर). सिद्ध किया गया: दीर्घवृत्त और वृत्त का समीकरण.
8. रेखा की स्थिति. यदि $\delta$ केंद्र की किसी रेखा से दूरी है, तो वह रेखा वृत्त को नहीं छूती यदि $\delta > r$ , उसे केवल लंब के पाद पर छूती है यदि $\delta = r$ , और उसे दो बिंदुओं पर काटती है यदि $\delta < r$ ।
  उपयोग करती है: 4. लंब सबसे छोटा मार्ग है, 16. वृत्त का समीकरण. आधार: A (यूक्लिडीय ज्यामिति), D (बिंदु की रेखा से दूरी), F (विविक्तकर). सिद्ध किया गया: वृत्त: स्पर्श रेखाएँ, सापेक्ष स्थितियाँ और बिंदु की घात.
9. स्पर्श रेखा त्रिज्या पर लंब है. वृत्त के किसी बिंदु $T$ से होकर जाने वाली रेखा स्पर्श रेखा है यदि और केवल यदि वह उस त्रिज्या पर लंब है जो केंद्र को $T$ से मिलाती है; प्रत्येक बिंदु से होकर केवल एक स्पर्श रेखा जाती है।
  उपयोग करती है: 3. समांतर और लंब रेखाएँ, 4. लंब सबसे छोटा मार्ग है, 18. रेखा की स्थिति. सिद्ध किया गया: वृत्त: स्पर्श रेखाएँ, सापेक्ष स्थितियाँ और बिंदु की घात.
10. मूलाक्ष और सापेक्ष स्थितियाँ. अलग-अलग केंद्रों वाले दो वृत्तों के सापेक्ष समान घात वाले बिंदु एक रेखा बनाते हैं जो केंद्रों को मिलाने वाली रेखा पर लंब है, और दोनों वृत्तों के दो उभयनिष्ठ बिंदु होते हैं यदि $\abs{r_1 - r_2} < d < r_1 + r_2$ , एक यदि $d$ उन दो सीमांत मानों में से किसी एक के बराबर हो, और उस स्थिति में, स्पर्श-बिंदु को छोड़कर, अंतःस्पर्श में छोटे वृत्त के बिंदु बड़े के भीतर रहते हैं और बाह्यस्पर्श में प्रत्येक के बिंदु दूसरे के बाहर, तथा अन्य स्थिति में कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं होता।
  उपयोग करती है: 3. समांतर और लंब रेखाएँ, 7. कॉशी-श्वार्ज़ और त्रिभुज असमिका, 16. वृत्त का समीकरण, 18. रेखा की स्थिति. आधार: C (रेखा का व्यापक समीकरण), D (बिंदु की रेखा से दूरी). सिद्ध किया गया: वृत्त: स्पर्श रेखाएँ, सापेक्ष स्थितियाँ और बिंदु की घात.
11. बिंदु की घात. यदि $P$ से होकर जाने वाली कोई रेखा वृत्त को $A$ और $B$ पर काटती है, तो $d(P, A) \cdot d(P, B) = \abs{p}$ होता है, जहाँ $p = d^2 - r^2$ ; और किसी बाह्य बिंदु से ठीक दो स्पर्श रेखाएँ निकलती हैं, दोनों की लंबाई $\sqrt{p}$ ।
  उपयोग करती है: 18. रेखा की स्थिति, 19. स्पर्श रेखा त्रिज्या पर लंब है, 20. मूलाक्ष और सापेक्ष स्थितियाँ. आधार: A (यूक्लिडीय ज्यामिति). सिद्ध किया गया: वृत्त: स्पर्श रेखाएँ, सापेक्ष स्थितियाँ और बिंदु की घात.
12. अतिपरवलय का समीकरण. $b^2 = c^2 - a^2$ होने पर, नाभियों $(\pm c, 0)$ और दूरियों के अंतर $2a$ वाला अतिपरवलय ठीक-ठीक वक्र $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है, जिसकी शाखाएँ अनंतस्पर्शियों $y = \pm \frac{b}{a} x$ की ओर अग्रसर होती हैं।
  आधार: B (दूरी का सूत्र). सिद्ध किया गया: अतिपरवलय का समीकरण और उसकी व्युत्पत्ति.
13. समकोणीय अतिपरवलय. $y = \frac{1}{x}$ का आलेख नाभियों $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$ और $(-\sqrt{2}, -\sqrt{2})$ वाला वह अतिपरवलय है जिसके बिंदुओं की उनसे दूरियों का अंतर $2\sqrt{2}$ है; यह समकोणीय है और उसके अनंतस्पर्शी अक्ष हैं।
  उपयोग करती है: 22. अतिपरवलय का समीकरण. आधार: A (यूक्लिडीय ज्यामिति), B (दूरी का सूत्र). सिद्ध किया गया: अतिपरवलय का समीकरण और उसकी व्युत्पत्ति.
14. अतिपरवलय पर स्पर्श. कोई रेखा जो अनंतस्पर्शियों के समांतर नहीं है, अतिपरवलय की स्पर्श रेखा ठीक तब है जब विविक्तकर शून्य हो; किसी अनंतस्पर्शी के समांतर रेखा, उससे संपाती हुए बिना, अतिपरवलय को केवल एक बिंदु पर काटती है और उसे पार करती है; और ऊर्ध्वाधर स्पर्श रेखाएँ केवल $x = a$ और $x = -a$ हैं।
  उपयोग करती है: 22. अतिपरवलय का समीकरण. आधार: F (विविक्तकर). सिद्ध किया गया: अतिपरवलय का समीकरण और उसकी व्युत्पत्ति.
खंड 3 एकीकृत सिद्धांत और असमिकाएँ
- समीकरणों $Ax^2 + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$ का वर्गीकरण $AC$ के चिह्न और वर्ग पूरे करने के बाद बचे दाएँ पक्ष के द्वारा करना।
- दीर्घवृत्त, परवलय और अतिपरवलय का, उनकी उत्केंद्रता के अनुसार, एक नाभि और एक नियता के बिंदुपथों के रूप में वर्णन करना।
- सिद्ध करना कि कोई रैखिक व्यंजक अपनी रेखा के प्रत्येक ओर अपना चिह्न बनाए रखता है, और उस पर परीक्षण बिंदु की विधि को स्थापित करना।
- सिद्ध करना कि रैखिक असमीकरणों द्वारा परिभाषित प्रदेश उत्तल होते हैं, परीक्षण बिंदु की विधि को शंकु परिच्छेदों तक विस्तारित करना, और सिद्ध करना कि कोई रैखिक फलन किसी परिबद्ध उत्तल बहुभुज पर अपने चरम मान किसी शीर्ष पर प्राप्त करता है, और शीर्षों वाले किसी अपरिबद्ध प्रदेश पर भी, जब वे मान विद्यमान हों, किसी शीर्ष पर ही।
1. द्वितीय घात का व्यापक समीकरण. प्रत्येक समीकरण $Ax^2 + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$ , जहाँ $A$ और $C$ दोनों शून्य नहीं हैं, एक दीर्घवृत्त, एक अतिपरवलय या एक परवलय को निरूपित करता है, इस पर निर्भर करते हुए कि $AC$ धनात्मक, ऋणात्मक या शून्य है, या उनकी किसी अपभ्रष्ट स्थिति को, जिनके बीच वर्ग पूरे करने के बाद बचा दायाँ पक्ष $G$ निर्णय करता है।
  उपयोग करती है: 11. परवलय का समीकरण, 15. दीर्घवृत्त का समानीत समीकरण, 16. वृत्त का समीकरण, 22. अतिपरवलय का समीकरण. आधार: E (वर्ग पूरा करना), F (विविक्तकर), G (आलेखों का स्थानांतरण). सिद्ध किया गया: शांकव: परवलय, दीर्घवृत्त और अतिपरवलय का अभिलक्षणन और आलेख.
2. नाभि और नियता वाली प्रमेय. वे बिंदु जिनकी किसी नाभि $F$ से दूरी, $e$ और किसी नियता $L$ से उनकी दूरी के गुणनफल के बराबर है, एक दीर्घवृत्त बनाते हैं यदि $e < 1$ , एक परवलय यदि $e = 1$ और एक अतिपरवलय यदि $e > 1$ ।
  उपयोग करती है: 11. परवलय का समीकरण, 15. दीर्घवृत्त का समानीत समीकरण, 22. अतिपरवलय का समीकरण, 25. द्वितीय घात का व्यापक समीकरण. आधार: A (यूक्लिडीय ज्यामिति), B (दूरी का सूत्र), E (वर्ग पूरा करना). सिद्ध किया गया: शांकव: परवलय, दीर्घवृत्त और अतिपरवलय का अभिलक्षणन और आलेख.
3. दीर्घवृत्त और अतिपरवलय की नियताएँ. उत्केंद्रता $e = \frac{c}{a}$ वाले दीर्घवृत्त और अतिपरवलय में, प्रत्येक बिंदु की नाभि $(c, 0)$ से दूरी, $e$ और रेखा $x = \frac{a}{e}$ से उसकी दूरी के गुणनफल के बराबर है; इसके विपरीत, वृत्त की कोई नियता नहीं होती।
  उपयोग करती है: 15. दीर्घवृत्त का समानीत समीकरण, 22. अतिपरवलय का समीकरण, 26. नाभि और नियता वाली प्रमेय. सिद्ध किया गया: शांकव: परवलय, दीर्घवृत्त और अतिपरवलय का अभिलक्षणन और आलेख.
4. अर्धतलों वाली प्रमेय. व्यंजक $Ax + By + C$ रेखा $Ax + By + C = 0$ के एक ओर के सभी बिंदुओं पर धनात्मक और दूसरी ओर के सभी बिंदुओं पर ऋणात्मक है; इससे परीक्षण बिंदु की विधि निकलती है।
  आधार: C (रेखा का व्यापक समीकरण), H (चिह्नों का नियम). सिद्ध किया गया: समतल में असमिकाएँ और रैखिक प्रोग्रामन.
5. रेखाखंड के अनुदिश व्यंजक. सिरों $P$ और $Q$ वाले रेखाखंड पर कोई रैखिक व्यंजक $L(P_t) = (1 - t) L(P) + t L(Q)$ को संतुष्ट करता है, जिससे रैखिक असमीकरण निकायों के हल प्रदेश उत्तल होते हैं; और द्वितीय घात का कोई व्यंजक जो किसी रेखाखंड पर शून्य नहीं होता, उस पर अपना चिह्न बनाए रखता है, जिससे प्रत्येक शंकु परिच्छेद समतल को प्रदेशों में, दो या तीन, बाँटता है, जिनमें परीक्षण बिंदु की विधि लागू होती है।
  उपयोग करती है: 2. रेखा का समीकरण, 28. अर्धतलों वाली प्रमेय, 7. कॉशी-श्वार्ज़ और त्रिभुज असमिका, 14. शीर्ष और अक्ष के साथ प्रतिच्छेद. आधार: F (विविक्तकर), H (चिह्नों का नियम). सिद्ध किया गया: समतल में असमिकाएँ और रैखिक प्रोग्रामन.
6. शीर्षों वाली प्रमेय. कोई फलन $ax + by + c$ अदृढ़ रैखिक असमीकरणों के किसी निकाय के ऐसे प्रदेश पर, जो रिक्त नहीं और परिबद्ध है, अपना अधिकतम और न्यूनतम प्राप्त करता है, और प्रत्येक को उसके किसी शीर्ष पर; यदि प्रदेश परिबद्ध नहीं है पर उसका कोई शीर्ष है, अर्थात् यदि उसमें कोई पूरी रेखा समाहित नहीं है, तो प्राप्त होने वाला प्रत्येक अधिकतम या न्यूनतम किसी शीर्ष पर भी प्राप्त होता है।
  उपयोग करती है: 29. रेखाखंड के अनुदिश व्यंजक. सिद्ध किया गया: समतल में असमिकाएँ और रैखिक प्रोग्रामन.

अबीजीय फलनों की ओर. शृंखला एक और दो घात के बीजीय वक्रों के अध्ययन को पूर्ण करती है। आगामी इकाई बीजीय फलनों से बाहर जाती है, पर अतिपरवलय उसमें फिर प्रकट होता है: $y = \frac{1}{x}$ के नीचे के क्षेत्रफल लघुगणकों की तरह व्यवहार करते हैं, और बिंदु $(\cosh t, \sinh t)$ , $x^2 - y^2 = 1$ की दाहिनी शाखा पर चलता है।

इस पाठ के शेष भाग में

पाठ्यक्रम के भीतर इकाई
समापन मूल्यांकन
चुनौतियाँ
परवलय के साथ सबसे छोटा मार्ग
परवलय के चाप में अंतर्गत सबसे बड़ा त्रिभुज
अपोलोनियस का वृत्त और घात
तीन गाँवों का स्वास्थ्य केंद्र
दीर्घवृत्त की नाभियाँ और स्पर्श रेखाएँ
दीर्घवृत्त की परस्पर लंब स्पर्श रेखाएँ
स्पर्शी वृत्तों के केंद्र
अतिपरवलय की एक स्पर्श रेखा और उसके अनंतस्पर्शी
ऑयलर रेखा
परवलयिक प्रदेश पर एक रैखिक फलन

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