Geometría analítica del plano: síntesis y desafíos

Resumen

Esta clase cierra la unidad dedicada a la geometría analítica del plano. Reúne en una cadena deductiva lo demostrado en sus nueve clases, desde la fórmula de la distancia hasta el teorema de los vértices de la programación lineal; muestra cómo se apoya en las unidades anteriores, en particular en la completación del cuadrado, el discriminante y las tablas de signos, y cómo prepara la unidad siguiente, cuyas funciones trascendentes describen de nuevo la hipérbola. Propone después una evaluación de salida, paralela a la de entrada, y termina con diez desafíos, de dificultad superior a la de los problemas propuestos en las clases, que exigen combinar varias de ellas y encontrar en cada caso la idea que abre el camino.

Objetivos de aprendizaje

Enunciar los resultados principales de la unidad y explicar cómo cada uno depende de los anteriores.
Relacionar los métodos de la unidad con los de las unidades precedentes y con los de la unidad siguiente.
Resolver problemas que combinan rectas, vectores, cónicas y desigualdades, eligiendo entre la definición métrica de una curva, su ecuación y el discriminante el instrumento más eficaz.
Traducir condiciones de mínimo, de tangencia y de lugar geométrico en ecuaciones, y verificar que la ecuación obtenida describe exactamente el conjunto buscado.

Lo logrado en la unidad

Las coordenadas, la recta y los vectores

La unidad comenzó con una sola idea: identificar cada punto del plano con el par de sus coordenadas. De ello se siguió, en la clase sobre la ecuación de la recta, que la distancia entre dos puntos es una consecuencia del teorema de Pitágoras y que la pendiente de una recta no depende de los puntos con que se calcula, por la semejanza de triángulos. Esos dos teoremas, con la libre elección de los ejes, la igualdad de los ángulos correspondientes entre paralelas, la suma de los ángulos de un triángulo y los ángulos del triángulo isósceles, son los hechos de la geometría euclídea que la unidad admite explícitamente al comenzar, porque su demostración pertenece a la construcción axiomática de esa geometría. De la invariancia de la pendiente se dedujo que los puntos de una recta son exactamente las soluciones de una ecuación $Ax + By + C = 0$ ; de un cálculo con las ecuaciones de dos rectas, que dos rectas no verticales son paralelas si y solo si tienen la misma pendiente; del teorema de Pitágoras y su recíproco, con la igualdad de los ángulos correspondientes, que son perpendiculares si y solo si el producto de sus pendientes es $-1$ ; y del teorema de Pitágoras, que la perpendicular trazada desde un punto es el camino más corto hasta la recta.

La clase sobre los vectores en el plano reformuló esos resultados sin depender de la elección de los ejes. Los vectores, con su suma y su producto por un número, cumplen los ocho axiomas de espacio vectorial; el producto punto decide la perpendicularidad por la condición $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ , que ya no excluye las rectas verticales, y da la desigualdad de Cauchy-Schwarz, la desigualdad triangular y la proyección ortogonal. De ello se obtuvieron la ecuación vectorial de la recta, el vector normal $\left( A, B \right)$ de la recta $Ax + By + C = 0$ y la fórmula de la distancia de un punto a una recta, que reaparece en casi todas las clases siguientes:

\operatorname{d}(P, r) = \frac{\abs{A x_1 + B y_1 + C}}{\sqrt{A^2 + B^2}}

Las cónicas definidas por distancias

Las cinco clases siguientes aplicaron un mismo método a cuatro curvas: definir la curva por una propiedad de distancias, traducirla en una ecuación elevando al cuadrado y demostrar después el recíproco, porque elevar al cuadrado puede añadir puntos ajenos. La clase sobre la ecuación de las parábolas definió la parábola por un foco y una directriz, demostró que los gráficos de los polinomios cuadráticos son exactamente las parábolas de eje vertical y probó su propiedad de reflexión; la de la caracterización de las parábolas obtuvo, completando el cuadrado, sus elementos en función de los coeficientes, demostró que el vértice es el punto extremo y que el discriminante decide los cortes con el eje horizontal.

La clase sobre las elipses y las circunferencias definió la elipse por la suma constante $2a$ de las distancias a dos focos, dedujo su ecuación reducida con $b^2 = a^2 - c^2$ y probó que las distancias de cada punto a los focos son $a + ex$ y $a - ex$ ; la circunferencia resultó ser la elipse de focos coincidentes. La clase sobre la circunferencia midió la posición de un punto por su potencia, decidió la de una recta comparando con el radio la distancia del centro, demostró que la tangente es perpendicular al radio, clasificó las seis posiciones de dos circunferencias mediante su eje radical y demostró el teorema de la potencia de un punto, del que se siguen el de las cuerdas, el de la secante y la tangente y el del centro radical. La clase sobre las hipérbolas sustituyó la suma por la diferencia, con $c^2 = a^2 + b^2$ , estudió las asíntotas, demostró que el gráfico de $y = \frac{1}{x}$ es una hipérbola equilátera y mostró que una recta paralela a una asíntota corta a la hipérbola en un solo punto sin ser tangente.

La teoría unificada y las desigualdades

La clase sobre las secciones cónicas reunió las cuatro curvas en una sola teoría. Toda ecuación $Ax^2 + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$ representa, según el signo de $AC$ y el del segundo miembro $G$ que deja la completación de los cuadrados, una elipse, una hipérbola, una parábola o uno de sus casos degenerados; y el teorema del foco y la directriz describe la elipse, la parábola y la hipérbola como los lugares en que la razón entre la distancia a un foco y la distancia a una directriz es un número fijo $e$ , menor, igual o mayor que $1$ .

La última clase, sobre las inecuaciones en el plano y la programación lineal, pasó de las igualdades a las desigualdades. El teorema de los semiplanos asegura que la expresión $Ax + By + C$ conserva su signo a cada lado de la recta, de donde el método del punto de prueba; las regiones definidas por inecuaciones lineales son convexas, porque una expresión lineal varía a lo largo de un segmento entre sus valores en los extremos; una expresión de segundo grado que no se anula en un segmento conserva en él su signo, y por eso el método del punto de prueba vale también para las regiones limitadas por cónicas; y una función lineal alcanza su máximo y su mínimo sobre un polígono convexo acotado en uno de sus vértices. Si la región no es acotada, el óptimo puede no existir, y aun existiendo puede no alcanzarse en un vértice, como en una franja; pero si la región tiene algún vértice, es decir, si no contiene rectas enteras, todo óptimo que exista se alcanza también en uno de ellos.

Tres instrumentos atraviesan toda la unidad. El primero es la fórmula de la distancia, en la que descansan todas las definiciones de curvas. El segundo es la completación del cuadrado, que lleva cada ecuación de segundo grado a la forma en que se leen sus elementos. El tercero es el discriminante, que decide en todas las cónicas si una recta las corta en dos puntos, en uno o en ninguno, y que, con la precaución de las rectas paralelas al eje de la parábola o a las asíntotas de la hipérbola, caracteriza las tangentes sin recurrir a límites.

La figura siguiente reúne los tres tramos en una sola cadena. Cada nudo de la columna es una definición o un teorema, numerado según el orden lógico y unido por un arco a los eslabones anteriores que su demostración usa; alrededor flotan los apoyos, es decir, los principios y los instrumentos a los que la cadena recurre una y otra vez, cada uno unido con un trazo firme a los eslabones que se apoyan en él y con uno punteado al eslabón donde se establece, salvo los que se admiten o provienen de unidades anteriores, que se dibujan como anillos. Al pulsar un apoyo se destacan todos los eslabones que lo usan, y cada eslabón remite a la clase en que se demuestra.

Apoyos de la cadena

AGeometría euclídea. Se admiten, al comienzo de la unidad, la libre elección de los ejes, el teorema de Pitágoras y su recíproco, la igualdad de los ángulos correspondientes entre paralelas, el teorema de Tales y la semejanza de triángulos, la suma de los ángulos de un triángulo y la igualdad de los ángulos opuestos a los lados iguales de un triángulo isósceles. Se admite sin demostración en esta unidad.
BFórmula de la distancia. La distancia entre $(x_1, y_1)$ y $(x_2, y_2)$ es $\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ ; en ella descansan todas las definiciones de curvas de la unidad. Se establece en: 1. Distancia y punto medio.
CEcuación general de la recta. Los puntos de toda recta son exactamente las soluciones de una ecuación $Ax + By + C = 0$ , con $A$ y $B$ no ambos nulos. Se establece en: 2. Ecuación de la recta.
DDistancia de un punto a una recta. La distancia del punto $(x_1, y_1)$ a la recta $Ax + By + C = 0$ es $\frac{\abs{A x_1 + B y_1 + C}}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ . Se establece en: 10. Distancia de un punto a una recta.
ECompletación del cuadrado. Se cumple $ax^2 + bx + c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a}$ , con $\Delta = b^2 - 4ac$ ; demostrado en la unidad sobre las funciones algebraicas. Se admite sin demostración en esta unidad.
FDiscriminante. Una ecuación cuadrática tiene dos raíces, una doble o ninguna según su discriminante sea positivo, nulo o negativo, y sin raíces el polinomio conserva el signo de su coeficiente principal; demostrado en la unidad sobre las funciones algebraicas. Se admite sin demostración en esta unidad.
GTraslación de gráficos. Reemplazar $x$ por $x - h$ e $y$ por $y - k$ traslada un gráfico $h$ unidades en horizontal y $k$ en vertical; demostrado en la unidad sobre las funciones algebraicas. Se admite sin demostración en esta unidad.
HRegla de los signos. Un producto de dos factores es positivo si tienen el mismo signo y negativo si tienen signos contrarios; es el fundamento de las tablas de signos de la unidad sobre las funciones algebraicas. Se admite sin demostración en esta unidad.

Tramo 1 Las coordenadas, la recta y los vectores
- Obtener del teorema de Pitágoras la distancia entre dos puntos y el punto medio de un segmento.
- Demostrar que los puntos de una recta son exactamente las soluciones de una ecuación de primer grado, y caracterizar el paralelismo y la perpendicularidad por las pendientes.
- Dotar a los vectores del plano de la suma, el producto por un número, la norma y el producto punto, y deducir la desigualdad de Cauchy-Schwarz, la desigualdad triangular y la proyección ortogonal.
- Obtener la ecuación vectorial de la recta, su vector normal y la distancia de un punto a una recta.
1. Distancia y punto medio. La distancia entre $P_1 = (x_1, y_1)$ y $P_2 = (x_2, y_2)$ es $\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ , y el punto $\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$ divide el segmento en dos mitades iguales.
  Se apoya en: A (Geometría euclídea). Se demuestra en: Ecuación de la recta y los sistemas cartesianos.
2. Ecuación de la recta. La pendiente no depende de los puntos con que se calcula, y un punto está en la recta de pendiente $m$ que pasa por $(x_0, y_0)$ si y solo si $y - y_0 = m(x - x_0)$ ; de ello, toda recta tiene una ecuación $Ax + By + C = 0$ .
  Se apoya en: A (Geometría euclídea). Se demuestra en: Ecuación de la recta y los sistemas cartesianos.
3. Paralelas y perpendiculares. Dos rectas no verticales distintas son paralelas si y solo si tienen la misma pendiente, y perpendiculares si y solo si el producto de sus pendientes es $-1$ .
  Usa: 2. Ecuación de la recta. Se apoya en: A (Geometría euclídea), B (Fórmula de la distancia). Se demuestra en: Ecuación de la recta y los sistemas cartesianos.
4. La perpendicular es el camino más corto. Si $Q$ es el pie de la perpendicular trazada desde $P$ a la recta $r$ , todo otro punto $R$ de $r$ cumple $d(P, R) > d(P, Q)$ .
  Usa: 3. Paralelas y perpendiculares. Se apoya en: A (Geometría euclídea), B (Fórmula de la distancia). Se demuestra en: Ecuación de la recta y los sistemas cartesianos.
5. Operaciones con vectores. La suma de vectores y el producto por un número cumplen los ocho axiomas de espacio vectorial, y dos vectores no nulos con $u_1 v_2 - u_2 v_1 \neq 0$ generan cada vector del plano de una única manera.
  Se demuestra en: Vectores en el plano y ecuaciones paramétricas de la recta.
6. Producto punto y perpendicularidad. El producto punto $\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2$ es conmutativo y distributivo, cumple $\vec{u} \cdot \vec{u} = {\norma{\vec{u}}}^2$ , y dos vectores son perpendiculares si y solo si $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ .
  Usa: 5. Operaciones con vectores. Se apoya en: A (Geometría euclídea), B (Fórmula de la distancia). Se demuestra en: Vectores en el plano y ecuaciones paramétricas de la recta.
7. Cauchy-Schwarz y desigualdad triangular. Se cumple $\abs{\vec{u} \cdot \vec{v}} \le \norma{\vec{u}} \norma{\vec{v}}$ , de donde $\norma{\vec{u} + \vec{v}} \le \norma{\vec{u}} + \norma{\vec{v}}$ y, para tres puntos, $d(P, R) \le d(P, Q) + d(Q, R)$ .
  Usa: 6. Producto punto y perpendicularidad. Se apoya en: F (Discriminante). Se demuestra en: Vectores en el plano y ecuaciones paramétricas de la recta.
8. Proyección ortogonal. Si $\vec{v}$ no es nulo, hay un único número $t$ tal que $\vec{u} - t \vec{v}$ es perpendicular a $\vec{v}$ , a saber, $t = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{{\norma{\vec{v}}}^2}$ .
  Usa: 6. Producto punto y perpendicularidad. Se demuestra en: Vectores en el plano y ecuaciones paramétricas de la recta.
9. Ecuación vectorial y vector normal. Los puntos de la recta que pasa por $P_0$ con vector director $\vec{d}$ son los $P_0 + t \vec{d}$ , cada uno con un único parámetro $t$ ; y $\vec{n} = \left( A, B \right)$ es perpendicular a la recta $Ax + By + C = 0$ , cuyos puntos son los $P$ con $\vec{n} \cdot \vec{P_0 P} = 0$ .
  Usa: 2. Ecuación de la recta, 6. Producto punto y perpendicularidad. Se apoya en: C (Ecuación general de la recta). Se demuestra en: Vectores en el plano y ecuaciones paramétricas de la recta.
10. Distancia de un punto a una recta. La distancia de $(x_1, y_1)$ a la recta $Ax + By + C = 0$ es $\frac{\abs{A x_1 + B y_1 + C}}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ , y se alcanza en el pie de la perpendicular.
  Usa: 4. La perpendicular es el camino más corto, 8. Proyección ortogonal, 9. Ecuación vectorial y vector normal. Se apoya en: C (Ecuación general de la recta). Se demuestra en: Vectores en el plano y ecuaciones paramétricas de la recta.
Tramo 2 Las cónicas definidas por distancias
- Definir la parábola por un foco y una directriz, obtener su ecuación y demostrar que los gráficos de los polinomios cuadráticos son exactamente las parábolas de eje vertical.
- Leer, completando el cuadrado, el vértice de la parábola y decidir con el discriminante sus cortes con el eje horizontal.
- Deducir las ecuaciones reducidas de la elipse y de la hipérbola, con la demostración del recíproco, y reconocer la circunferencia como la elipse de focos coincidentes.
- Estudiar la posición de una recta y de otra circunferencia respecto de una circunferencia, y demostrar el teorema de la potencia de un punto.
- Caracterizar las tangentes a las cónicas mediante el discriminante, con la precaución de las rectas paralelas al eje o a las asíntotas, y tratar aparte las rectas verticales.
1. Ecuación de la parábola. Los puntos que equidistan del foco $(h, k + f)$ y de la directriz $y = k - f$ son exactamente los de la curva $(x - h)^2 = 4f(y - k)$ , simétrica respecto de su eje $x = h$ .
  Se apoya en: B (Fórmula de la distancia), G (Traslación de gráficos). Se demuestra en: La ecuación de las parábolas: definiciones y propiedades.
2. Parábola y polinomio cuadrático. Los gráficos de $y = ax^2 + bx + c$ , con $a \neq 0$ , son exactamente las parábolas de eje vertical, con $f = \frac{1}{4a}$ , cuyo valor absoluto es la distancia focal.
  Usa: 11. Ecuación de la parábola. Se apoya en: E (Completación del cuadrado). Se demuestra en: La ecuación de las parábolas: definiciones y propiedades.
3. Propiedad de reflexión. La tangente en un punto $P$ de la parábola forma ángulos iguales con la paralela al eje trazada por $P$ y con la recta que une $P$ con el foco.
  Usa: 11. Ecuación de la parábola. Se apoya en: A (Geometría euclídea), B (Fórmula de la distancia), F (Discriminante). Se demuestra en: La ecuación de las parábolas: definiciones y propiedades.
4. Vértice y cortes con el eje. El vértice de $y = ax^2 + bx + c$ es $\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4a}\right)$ , su punto más bajo si $a > 0$ y el más alto si $a < 0$ , y la parábola corta al eje $x$ en dos puntos, en uno o en ninguno según $\Delta$ sea positivo, nulo o negativo.
  Usa: 12. Parábola y polinomio cuadrático. Se apoya en: E (Completación del cuadrado), F (Discriminante). Se demuestra en: Caracterización de parábolas y sus gráficos.
5. Ecuación reducida de la elipse. Con $b^2 = a^2 - c^2$ , la elipse de focos $(\pm c, 0)$ y suma de distancias $2a$ es exactamente la curva $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ , y las distancias de cada punto a los focos son $a + \frac{c}{a} x$ y $a - \frac{c}{a} x$ .
  Se apoya en: B (Fórmula de la distancia). Se demuestra en: Ecuación de las elipses y las circunferencias.
6. Ecuación de la circunferencia. La circunferencia de centro $(h, k)$ y radio $r$ es la curva $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ , y es la elipse cuyos dos focos coinciden con el centro.
  Usa: 15. Ecuación reducida de la elipse. Se apoya en: B (Fórmula de la distancia), G (Traslación de gráficos). Se demuestra en: Ecuación de las elipses y las circunferencias.
7. Tangencia a la elipse. Una recta no vertical es tangente a la elipse si y solo si el discriminante de la ecuación que resulta de sustituirla es nulo; si es positivo, la corta en dos puntos, y si es negativo, no la toca. Las únicas tangentes verticales son $x = a$ y $x = -a$ .
  Usa: 15. Ecuación reducida de la elipse. Se apoya en: F (Discriminante). Se demuestra en: Ecuación de las elipses y las circunferencias.
8. Posición de una recta. Si $\delta$ es la distancia del centro a una recta, esta no toca la circunferencia si $\delta > r$ , la toca solo en el pie de la perpendicular si $\delta = r$ y la corta en dos puntos si $\delta < r$ .
  Usa: 4. La perpendicular es el camino más corto, 16. Ecuación de la circunferencia. Se apoya en: A (Geometría euclídea), D (Distancia de un punto a una recta), F (Discriminante). Se demuestra en: La circunferencia: tangentes, posiciones relativas y potencia de un punto.
9. La tangente es perpendicular al radio. Una recta que pasa por un punto $T$ de la circunferencia es tangente si y solo si es perpendicular al radio que une el centro con $T$ ; por cada punto pasa una sola tangente.
  Usa: 3. Paralelas y perpendiculares, 4. La perpendicular es el camino más corto, 18. Posición de una recta. Se demuestra en: La circunferencia: tangentes, posiciones relativas y potencia de un punto.
10. Eje radical y posiciones relativas. Los puntos de igual potencia respecto de dos circunferencias de centros distintos forman una recta perpendicular a la de los centros, y ambas tienen dos puntos comunes si $\abs{r_1 - r_2} < d < r_1 + r_2$ , uno si $d$ es igual a uno de esos extremos, en cuyo caso, salvo el de contacto, los puntos de la menor quedan dentro de la mayor en la tangencia interior y los de cada una fuera de la otra en la exterior, y ninguno en otro caso.
  Usa: 3. Paralelas y perpendiculares, 7. Cauchy-Schwarz y desigualdad triangular, 16. Ecuación de la circunferencia, 18. Posición de una recta. Se apoya en: C (Ecuación general de la recta), D (Distancia de un punto a una recta). Se demuestra en: La circunferencia: tangentes, posiciones relativas y potencia de un punto.
11. Potencia de un punto. Si una recta que pasa por $P$ corta a la circunferencia en $A$ y $B$ , se cumple $d(P, A) \cdot d(P, B) = \abs{p}$ , con $p = d^2 - r^2$ ; y desde un punto exterior salen exactamente dos tangentes, ambas de longitud $\sqrt{p}$ .
  Usa: 18. Posición de una recta, 19. La tangente es perpendicular al radio, 20. Eje radical y posiciones relativas. Se apoya en: A (Geometría euclídea). Se demuestra en: La circunferencia: tangentes, posiciones relativas y potencia de un punto.
12. Ecuación de la hipérbola. Con $b^2 = c^2 - a^2$ , la hipérbola de focos $(\pm c, 0)$ y diferencia de distancias $2a$ es exactamente la curva $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ , cuyas ramas se acercan a las asíntotas $y = \pm \frac{b}{a} x$ .
  Se apoya en: B (Fórmula de la distancia). Se demuestra en: Ecuación de las hipérbolas y su deducción.
13. Hipérbola equilátera. El gráfico de $y = \frac{1}{x}$ es la hipérbola de focos $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$ y $(-\sqrt{2}, -\sqrt{2})$ cuyas distancias a ellos difieren en $2\sqrt{2}$ ; es equilátera y sus asíntotas son los ejes.
  Usa: 22. Ecuación de la hipérbola. Se apoya en: A (Geometría euclídea), B (Fórmula de la distancia). Se demuestra en: Ecuación de las hipérbolas y su deducción.
14. Tangencia a la hipérbola. Una recta no paralela a las asíntotas es tangente a la hipérbola exactamente cuando el discriminante es nulo; una paralela a una asíntota, sin coincidir con ella, la corta en un solo punto y la cruza; y las únicas tangentes verticales son $x = a$ y $x = -a$ .
  Usa: 22. Ecuación de la hipérbola. Se apoya en: F (Discriminante). Se demuestra en: Ecuación de las hipérbolas y su deducción.
Tramo 3 La teoría unificada y las desigualdades
- Clasificar las ecuaciones $Ax^2 + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$ por el signo de $AC$ y por el segundo miembro que deja la completación de los cuadrados.
- Describir la elipse, la parábola y la hipérbola como lugares de un foco y una directriz, según su excentricidad.
- Demostrar que una expresión lineal conserva su signo a cada lado de su recta y fundar en ello el método del punto de prueba.
- Probar que las regiones definidas por inecuaciones lineales son convexas, extender el método del punto de prueba a las cónicas y demostrar que una función lineal alcanza sus valores extremos sobre un polígono convexo acotado en un vértice, y en un vértice también sobre una región no acotada con vértices cuando esos valores existen.
1. Ecuación general de segundo grado. Toda ecuación $Ax^2 + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$ , con $A$ y $C$ no ambos nulos, representa una elipse, una hipérbola o una parábola según $AC$ sea positivo, negativo o nulo, o uno de sus casos degenerados, entre los que decide el segundo miembro $G$ que deja la completación de los cuadrados.
  Usa: 11. Ecuación de la parábola, 15. Ecuación reducida de la elipse, 16. Ecuación de la circunferencia, 22. Ecuación de la hipérbola. Se apoya en: E (Completación del cuadrado), F (Discriminante), G (Traslación de gráficos). Se demuestra en: Secciones cónicas: caracterización y gráfico de parábolas, elipses e hipérbolas.
2. Teorema del foco y la directriz. Los puntos cuya distancia a un foco $F$ es $e$ veces su distancia a una directriz $L$ forman una elipse si $e < 1$ , una parábola si $e = 1$ y una hipérbola si $e > 1$ .
  Usa: 11. Ecuación de la parábola, 15. Ecuación reducida de la elipse, 22. Ecuación de la hipérbola, 25. Ecuación general de segundo grado. Se apoya en: A (Geometría euclídea), B (Fórmula de la distancia), E (Completación del cuadrado). Se demuestra en: Secciones cónicas: caracterización y gráfico de parábolas, elipses e hipérbolas.
3. Directrices de la elipse y de la hipérbola. En la elipse y en la hipérbola de excentricidad $e = \frac{c}{a}$ , la distancia de cada punto al foco $(c, 0)$ es $e$ veces su distancia a la recta $x = \frac{a}{e}$ ; la circunferencia, en cambio, no tiene directriz.
  Usa: 15. Ecuación reducida de la elipse, 22. Ecuación de la hipérbola, 26. Teorema del foco y la directriz. Se demuestra en: Secciones cónicas: caracterización y gráfico de parábolas, elipses e hipérbolas.
4. Teorema de los semiplanos. La expresión $Ax + By + C$ es positiva en todos los puntos de uno de los lados de la recta $Ax + By + C = 0$ y negativa en todos los del otro; de ello, el método del punto de prueba.
  Se apoya en: C (Ecuación general de la recta), H (Regla de los signos). Se demuestra en: Inecuaciones en el plano y programación lineal.
5. Expresiones a lo largo de un segmento. Sobre el segmento de extremos $P$ y $Q$ , una expresión lineal cumple $L(P_t) = (1 - t) L(P) + t L(Q)$ , de modo que las regiones solución de los sistemas de inecuaciones lineales son convexas; y una expresión de segundo grado que no se anula en un segmento conserva en él su signo, de modo que cada cónica divide el plano en regiones, dos o tres, en las que vale el método del punto de prueba.
  Usa: 2. Ecuación de la recta, 28. Teorema de los semiplanos, 7. Cauchy-Schwarz y desigualdad triangular, 14. Vértice y cortes con el eje. Se apoya en: F (Discriminante), H (Regla de los signos). Se demuestra en: Inecuaciones en el plano y programación lineal.
6. Teorema de los vértices. Una función $ax + by + c$ alcanza su máximo y su mínimo sobre la región, no vacía y acotada, de un sistema de inecuaciones lineales no estrictas, y cada uno en alguno de sus vértices; si la región no es acotada pero tiene un vértice, es decir, si no contiene rectas enteras, todo máximo o mínimo que se alcance se alcanza también en un vértice.
  Usa: 29. Expresiones a lo largo de un segmento. Se demuestra en: Inecuaciones en el plano y programación lineal.

Hacia las funciones trascendentes. La cadena culmina el estudio de las curvas algebraicas de grado uno y dos. La unidad siguiente sale de las funciones algebraicas, pero la hipérbola reaparece en ella: las áreas bajo $y = \frac{1}{x}$ se comportan como logaritmos, y el punto $(\cosh t, \sinh t)$ recorre la rama derecha de $x^2 - y^2 = 1$ .