Secciones cónicas: caracterización y gráfico de parábolas, elipses e hipérbolas

Resumen

Esta clase reúne en una sola teoría las curvas estudiadas en las clases anteriores. Presenta las secciones cónicas como las curvas que resultan de cortar un cono doble con un plano, recuerda sus formas canónicas y muestra que toda ecuación de segundo grado sin término en $xy$ representa una parábola, una elipse, una hipérbola o uno de sus casos degenerados: un punto, una o dos rectas, o ningún punto. Completar los cuadrados basta para decidir de qué curva se trata y para leer su centro o su vértice, sus semiejes y sus focos. Termina con la excentricidad, que reúne las tres curvas en una sola definición mediante un foco y una directriz, y con la intersección de cónicas y rectas.

Objetivos de aprendizaje

Reconocer las secciones cónicas como cortes de un cono doble con un plano, incluidos sus casos degenerados.
Llevar una ecuación de segundo grado sin término en $xy$ a su forma canónica completando cuadrados, y decidir por los signos de sus coeficientes qué curva representa.
Obtener el centro o el vértice, los semiejes, los focos, la directriz y las asíntotas de una cónica dada por su ecuación general, y trazar su gráfico.
Usar la excentricidad para describir las cónicas como lugares geométricos, y el discriminante para estudiar sus intersecciones con rectas.

Las secciones cónicas

Considérese un cono doble: la superficie que engendra una recta, la generatriz, al girar alrededor de otra recta, el eje, a la que corta en un punto fijo, el vértice del cono. La superficie tiene dos hojas, una a cada lado del vértice. Si se corta con un plano que no pasa por el vértice, la curva que resulta depende del ángulo que forma el plano con el eje, comparado con el ángulo que forma con el eje cada generatriz.

Si el plano es perpendicular al eje, la curva es una circunferencia.
Si el plano forma con el eje un ángulo mayor que el de la generatriz, corta todas las generatrices de una sola hoja y la curva es una elipse, cerrada.
Si el plano forma con el eje el mismo ángulo que la generatriz, es decir, si es paralelo a una generatriz, corta una sola hoja y la curva es una parábola, abierta.
Si el plano forma con el eje un ángulo menor que el de la generatriz, corta las dos hojas y la curva es una hipérbola, con dos ramas.

Si el plano pasa por el vértice del cono, la intersección se reduce a un punto, a una recta (una generatriz) o a dos rectas que se cortan en el vértice. Estos son los casos degenerados, y reaparecerán más adelante como soluciones de ciertas ecuaciones de segundo grado, junto con otros dos que no se obtienen cortando un cono: el par de rectas paralelas, que resulta de cortar un cilindro, y el conjunto vacío. Ahora bien, la circunferencia no es una cuarta familia, sino la elipse que corresponde a la posición perpendicular del plano.

Que las curvas obtenidas al cortar el cono coincidan con las que las clases anteriores definieron mediante focos es el teorema de Dandelin. Su demostración queda fuera del alcance de este curso, porque exige geometría del espacio (las esferas inscritas en el cono y tangentes al plano de corte, cuyos puntos de contacto con el plano son los focos); por eso aquí los cortes del cono sirven solo de imagen, y las definiciones que se usan son las de distancias.