Ecuación de las hipérbolas y su deducción

Definición de hipérbola

En la clase sobre la ecuación de las elipses y las circunferencias, la elipse se definió como el conjunto de los puntos cuya suma de distancias a dos focos es constante. La hipérbola resulta de sustituir la suma por la diferencia.

Sean $F_1$ y $F_2$ dos puntos distintos del plano, los focos, separados por una distancia $2c$, y sea $a$ un número con $0 < a < c$. La hipérbola de focos $F_1$ y $F_2$ es el conjunto de los puntos $P$ del plano cuyas distancias a los focos difieren exactamente en $2a$, sea cual sea el foco más cercano.

En símbolos, si $d_1$ y $d_2$ son las distancias de $P$ a $F_1$ y a $F_2$, el punto $P$ pertenece a la hipérbola cuando cumple una de las dos ecuaciones siguientes; los puntos que cumplen la primera están más cerca de $F_2$ y forman una rama, y los que cumplen la segunda, más cerca de $F_1$, forman la otra:

La condición $0 < a < c$ no es arbitraria. En el triángulo de vértices $P$, $F_1$ y $F_2$, la diferencia entre dos lados es siempre menor que el tercero, que mide $2c$; de ello se sigue que ningún punto fuera de la recta que pasa por los focos puede tener una diferencia de distancias igual o mayor que $2c$. Si $a = c$, los únicos puntos que cumplen la condición son los de las dos semirrectas que parten de los focos hacia fuera, y si $a > c$, no hay ninguno; la primera de estas afirmaciones se sigue del caso de igualdad de la desigualdad triangular, demostrado en la clase sobre los vectores en el plano: aplicado a $\vec{u} = \vec{PF_2}$ y $\vec{v} = \vec{F_2F_1}$, la igualdad $\operatorname{d}(P, F_1) = \operatorname{d}(P, F_2) + 2c$ exige que uno de esos vectores sea el producto del otro por un número no negativo, es decir, que $P$ esté sobre la recta de los focos y que $F_2$ quede entre $P$ y $F_1$ (o coincida con $P$); si $a = 0$, la condición dice que $P$ equidista de los focos y describe la mediatriz del segmento que une los focos. Ninguno de esos conjuntos es una hipérbola, y por eso se excluyen.

El punto medio del segmento que une los focos es el centro de la hipérbola, y la recta que pasa por los focos es su eje focal. Los dos puntos de la hipérbola situados sobre el eje focal son sus vértices; la distancia entre ellos es $2a$, de modo que cada vértice está a una distancia $a$ del centro.