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Topos Uranos
Español

Inecuaciones en el plano y programación lineal

Resumen

Esta clase lleva al plano el estudio de las inecuaciones. Demuestra que una recta divide el plano en dos semiplanos, en cada uno de los cuales la expresión lineal que la define conserva su signo, y de ello obtiene el método del punto de prueba. Describe la región solución de un sistema de inecuaciones lineales como una intersección de semiplanos, con sus vértices, y prueba que es convexa; estudia después las regiones limitadas por cónicas. Termina con la programación lineal: la búsqueda del máximo o del mínimo de una función lineal sobre una región poligonal, cuyo teorema fundamental asegura que en un polígono convexo acotado ambos se alcanzan en vértices y que, en una región no acotada con algún vértice, todo óptimo que exista se alcanza también en uno de ellos, y con problemas de producción, de dieta y de transporte.

Objetivos de aprendizaje

  1. Representar el conjunto solución de una inecuación lineal en dos variables como un semiplano, abierto o cerrado, mediante un punto de prueba.
  2. Determinar la región solución de un sistema de inecuaciones lineales, sus vértices y su carácter acotado o no acotado, y justificar su convexidad.
  3. Describir mediante desigualdades regiones limitadas por rectas y cónicas, y representar las regiones así descritas.
  4. Plantear y resolver problemas de programación lineal en dos variables con el teorema de los vértices y las rectas de nivel, distinguiendo el óptimo único, los óptimos múltiples y la ausencia de óptimo.

Los semiplanos

En la clase sobre la ecuación de la recta se vio que toda recta es el conjunto de los puntos que cumplen una ecuación Ax+By+C=0Ax + By + C = 0, con AA y BB no ambos nulos: si B≠0B \neq 0, se despeja y=−ABx−CBy = -\frac{A}{B}x - \frac{C}{B}, recta de pendiente −AB-\frac{A}{B}; si B=0B = 0, la ecuación se reduce a x=−CAx = -\frac{C}{A}, recta vertical. Si en lugar de la igualdad se pide una desigualdad, el conjunto solución deja de ser una curva y pasa a ser una región. En la clase sobre las ecuaciones e inecuaciones de primer grado, una inecuación lineal en una incógnita tenía por solución un intervalo de la recta real; con dos incógnitas, la solución es un semiplano.

Sea rr una recta no vertical y sea P=(x0,y0)P = (x_0, y_0) un punto. Diremos que PP está por encima de rr si y0y_0 es mayor que la ordenada del punto de rr de abscisa x0x_0, y por debajo si es menor. Si rr es vertical, se habla del mismo modo de los puntos situados a su derecha y a su izquierda. Cada uno de estos dos conjuntos es un semiplano abierto de borde rr; si se le añade la recta, es un semiplano cerrado.

TeoremaLos semiplanos

Sea rr la recta Ax+By+C=0Ax + By + C = 0, con AA y BB no ambos nulos, y sea E(x,y)=Ax+By+CE(x, y) = Ax + By + C. La expresión EE tiene signo constante a cada lado de rr: es positiva en todos los puntos de uno de los dos semiplanos abiertos y negativa en todos los del otro. Más precisamente, si B>0B > 0, es positiva por encima de rr y negativa por debajo; si B<0B < 0, al revés; y si B=0B = 0, es positiva a la derecha de rr cuando A>0A > 0, y a su izquierda cuando A<0A < 0.

Demostración

  1. Ax0+By1+C=0\dato{q}{A x_0 + B y_1 + C = 0}

    Sea P=(x0,y0)P = (x_0, y_0) un punto que no está en rr, y supongamos primero B≠0B \neq 0. La recta vertical que pasa por PP corta a rr en un único punto Q=(x0,y1)Q = (x_0, y_1), cuya ordenada se obtiene despejando yy en la ecuación de rr; el punto QQ cumple esa ecuación.

  2. E(x0,y0)=(Ax0+By0+C)−(Ax0+By1+C)=B⋅(y0−y1)E(x_0, y_0) = \resaltar{(A x_0 + B y_0 + C) - (A x_0 + B y_1 + C)} = \dato{dif}{\resaltar{B \cdot (y_0 - y_1)}}

    Restamos ese cero del valor de EE en PP: los términos en x0x_0 y las constantes se cancelan, y queda un producto.

  3. B>0→(E(x0,y0)>0↔y0>y1)B > 0 \rightarrow \left( E(x_0, y_0) > 0 \leftrightarrow y_0 > y_1 \right)

    Si B>0B > 0, por la regla de los signos estudiada en la clase sobre las tablas de signos, el producto tiene el signo de y0−y1y_0 - y_1: es positivo cuando PP está por encima de rr y negativo cuando está por debajo.

  4. B<0→(E(x0,y0)>0↔y0<y1)B < 0 \rightarrow \left( E(x_0, y_0) > 0 \leftrightarrow y_0 < y_1 \right)

    Si B<0B < 0, el producto tiene el signo contrario al de y0−y1y_0 - y_1: la expresión es negativa por encima de rr y positiva por debajo.

  5. E(x0,y0)=(Ax0+C)−(Ax1+C)=A⋅(x0−x1)E(x_0, y_0) = \resaltar{(A x_0 + C) - (A x_1 + C)} = \resaltar{A \cdot (x_0 - x_1)}

    Si B=0B = 0, entonces A≠0A \neq 0 y rr es la recta vertical x=x1x = x_1, con x1=−CAx_1 = -\frac{C}{A}. Se repite el cálculo con el punto de rr que tiene la ordenada de PP.

  6. A>0→(E(x0,y0)>0↔x0>x1)A > 0 \rightarrow \left( E(x_0, y_0) > 0 \leftrightarrow x_0 > x_1 \right)

    Si A>0A > 0, la expresión es positiva exactamente cuando x0>x1x_0 > x_1, es decir, a la derecha de rr; si A<0A < 0, a su izquierda. En todos los casos el signo de EE en un punto depende solo del lado de rr en que está el punto.

El teorema dice más de lo que se usa en la práctica: no hace falta recordar qué signo corresponde a cada lado, porque basta conocer el signo de EE en un único punto de un lado para conocerlo en todos. Este es el método del punto de prueba.

Para representar una inecuación Ax+By+C>0Ax + By + C > 0, o con <<, ≥\ge o ≤\le, se traza la recta Ax+By+C=0Ax + By + C = 0 y se evalúa la expresión en un punto de prueba que no esté en ella, de ordinario el origen. Si el punto cumple la inecuación, el conjunto solución es el semiplano que lo contiene; si no la cumple, es el otro. Si la desigualdad es estricta, la recta no forma parte del conjunto solución y se dibuja discontinua; si no lo es, forma parte de él y se dibuja continua.
EjemploUn semiplano por el punto de prueba

Representar el conjunto solución de la inecuación 2x−3y+6>02x - 3y + 6 > 0.

Demostración

  1. 2x−3y+6=0,(0,2),(−3,0)2x - 3y + 6 = 0, \quad (0, 2), \quad (-3, 0)

    Trazamos la recta frontera por sus cortes con los ejes: con x=0x = 0 se obtiene y=2y = 2, y con y=0y = 0, x=−3x = -3.

  2. 2⋅0−3⋅0+6=6>02 \cdot 0 - 3 \cdot 0 + 6 = \resaltar{6} > 0

    El origen no está en la recta. Evaluamos en él la expresión: el valor es positivo, de modo que el origen cumple la inecuación.

  3. 2x−3y+6>0↔y<23x+22x - 3y + 6 > 0 \leftrightarrow \resaltar{y < \frac{2}{3}x + 2}

    El conjunto solución es el semiplano que contiene al origen. El teorema lo confirma: como B=−3<0B = -3 < 0, la expresión es positiva por debajo de la recta.

  4. 2⋅(−3)−3⋅0+6=02 \cdot (-3) - 3 \cdot 0 + 6 = \resaltar{0}

    La desigualdad es estricta: los puntos de la recta, como (−3,0)(-3, 0), anulan la expresión y no la cumplen. La frontera queda excluida y se dibuja discontinua.