English
Português
中文 (中国)
العربية
हिन्दी
Русский
Français
Deutsch
Ελληνικά
Italiano
日本語
한국어
LatineResumen
Esta clase abre la unidad dedicada a las funciones exponencial, logarítmica e hiperbólicas. Presenta sus seis clases y lo que cada una demuestra; recorre la historia de estas ideas, desde la correspondencia entre progresiones que entrevió Arquímedes y ordenó Stifel hasta los logaritmos de Napier y Bürgi, el número de Jakob Bernoulli y Euler y las funciones hiperbólicas de Riccati y Lambert; formula el problema que les dio origen, que es convertir productos en sumas, y lo traduce en dos ecuaciones funcionales; y describe, por último, el lugar que estas funciones ocupan en la continuación de este curso, en otros cursos del sitio y en la ciencia.
Objetivos de aprendizaje
- Describir el contenido de cada clase de la unidad y el orden lógico en que se encadenan, desde la potencia de exponente real hasta las funciones hiperbólicas.
- Situar en su contexto histórico la invención de los logaritmos, el descubrimiento del número y la introducción de las funciones hiperbólicas, identificando el problema práctico que motivó cada una.
- Expresar el problema de convertir productos en sumas mediante las ecuaciones y , y explicar con la tabla de Stifel por qué su solución exige exponentes reales.
- Reconocer aplicaciones de estas funciones en el curso de Álgebra y Geometría II, en otros cursos y en la física, la química, la biología, las finanzas y la informática.
Evaluación de entrada
Antes de recorrer la unidad conviene medir el punto de partida, sin calificación alguna. Las diez primeras preguntas tocan las seis clases de contenido de la unidad: dos para cada una de las tres clases en que se apoya el resto (la potencia de exponente real, el número y las ecuaciones), una para la clase sobre el logaritmo, otra para la de las funciones hiperbólicas y dos para la de los modelos, la segunda de las cuales pide plantear un modelo a partir de datos; las mismas destrezas se vuelven a medir al final, en la clase de síntesis. Las tres últimas comprueban lo que la unidad da por sabido de las unidades sobre los conjuntos numéricos y sobre la geometría analítica del plano. Cada respuesta errónea señala la clase en que conviene detenerse.
Antes de comenzar la unidad, mide tu punto de partida. Es una autoevaluación breve: no se califica y su resultado se guarda solo en tu navegador.
Pregunta 1¿Cuál es el recorrido de la función ?
Se ha trasladado el recorrido de sin tener en cuenta el signo menos, que refleja el gráfico respecto del eje y convierte los valores positivos en negativos.Es lo que se obtiene si se toma como cota el valor en , que es ; pero la función decrece, y para negativo toma valores mayores que , cada vez más próximos a .La exponencial no toma valores negativos ni el cero, de modo que nunca alcanza el valor ni lo supera.La potencia toma todos los valores positivos, y solo ellos; al cambiar el signo se obtienen todos los negativos, y al sumar , todos los reales menores que . La recta es una asíntota horizontal que el gráfico no alcanza.Repasar: La función exponencial y la potencia de exponente real
Pregunta 2Calcular .
Respuesta correcta:
Por el teorema de la potencia de una potencia, que vale para exponentes reales, el resultado es . Quien obtiene ha sumado los exponentes en lugar de multiplicarlos, porque ; quien obtiene ha cometido además un segundo error, el de sumar los radicandos, como si fuese .Repasar: La función exponencial y la potencia de exponente real
Pregunta 3Un capital de se invierte a una tasa anual del por ciento, es decir, , capitalizable veces al año. ¿Cuál es el supremo de los capitales al cabo de un año?
Es el supremo para . Al duplicar la tasa, el supremo no se mantiene: pasa de a .La tasa no multiplica al supremo, sino que es su exponente: , y no . Por ejemplo, con el capital ya vale , más de , y supera a , que es menor que .La sucesión crece, pero está acotada: por la desigualdad , cada término es menor que . Una sucesión creciente y acotada tiene supremo por la completitud.Por el teorema de la capitalización continua, el supremo de los términos es , y ninguno lo alcanza; con , es .Repasar: El número e y la exponencial natural
Pregunta 4Con , ¿qué cota superior del error da el teorema del error de la serie?
Respuesta correcta:
El teorema da , y con la cota es . Quien obtiene ha tomado el primer término omitido, , que es menor que el error; quien obtiene ha olvidado el factor .Repasar: El número e y la exponencial natural
Pregunta 5Calcular .
Respuesta correcta:
Como y , por el cambio de base ; en efecto, . Quien obtiene ha invertido el cociente, y quien obtiene ha dividido entre .Pregunta 6¿Cuáles son las soluciones reales de la ecuación ?
La raíz del trinomio no da : daría , que no tiene solución. El valor no anula el primer miembro.Son las raíces del trinomio en , no los valores de . Falta deshacer el cambio de variable y descartar la raíz negativa.El trinomio tiene una raíz positiva, , que corresponde a ; en efecto, .Con , la ecuación es . La raíz se descarta, porque una potencia de base positiva no es negativa, y da .Repasar: Ecuaciones e inecuaciones exponenciales y logarítmicas
Pregunta 7Resolver la ecuación .
Respuesta correcta:
En el dominio, , la ley del producto da , es decir, . El candidato es una solución extraña, fuera del dominio; la única solución es , y en efecto .Repasar: Ecuaciones e inecuaciones exponenciales y logarítmicas
Pregunta 8Un isótopo radiactivo tiene una vida media de días. ¿Qué fracción de la masa inicial queda al cabo de días?
Respuesta correcta:
Por el teorema de la vida media, la masa es ; al cabo de días han pasado tres vidas medias, y queda . Quien obtiene ha dividido entre el número de vidas medias en lugar de dividir entre tantas veces.Pregunta 9Los recuentos de un cultivo de bacterias, anotados en un gráfico semilogarítmico, quedan alineados, y la recta pasa por los puntos que corresponden a bacterias a las horas y a bacterias a las horas. ¿Cuántas bacterias había, según el modelo, al comenzar el cultivo?
Respuesta correcta:
Los datos alineados en el gráfico semilogarítmico siguen un modelo , por el teorema de la linealización. En horas el recuento se multiplica por , de modo que se duplica cada horas; retroceder horas desde las divide el recuento entre : . Quien obtiene un número negativo ha prolongado la recta que une los datos en la escala ordinaria, como si el crecimiento fuese lineal; quien obtiene ha retrocedido horas en lugar de .Pregunta 10Si y , ¿cuánto vale ?
Respuesta correcta:
Por la identidad fundamental, , y como el seno hiperbólico es positivo: . Quien obtiene ha restado sin elevar al cuadrado; quien obtiene ha olvidado el signo del seno hiperbólico para .Repasar: Las funciones hiperbólicas
Pregunta 11De unidades anterioresCalcular .
Respuesta correcta:
Por la definición de la potencia de exponente racional, , y el exponente negativo da el inverso: . Quien obtiene ha multiplicado la base por el exponente, y quien obtiene ha olvidado el signo del exponente.Pregunta 12De unidades anteriores¿Cuál es el supremo del conjunto de los números , con natural?
Se confunde el supremo con el máximo. El supremo es la menor de las cotas superiores, y puede no pertenecer al conjunto; la completitud garantiza que existe para todo conjunto no vacío acotado superiormente.Es el menor elemento, que se obtiene con : el mínimo del conjunto, no su supremo.Es el elemento que corresponde a , pero no es cota superior: con se obtiene , que lo supera.Todo elemento es menor que , de modo que es una cota superior; y ningún número lo es, porque en cuanto . La menor cota superior es , aunque no pertenezca al conjunto.Repasar: Conjuntos numéricos: de los naturales a los complejos
Pregunta 13De unidades anteriores¿Cuáles son las asíntotas de la hipérbola ?
Se ha invertido el cociente: la pendiente es , con el semieje asociado a . Son las asíntotas de .Se han tomado los cuadrados de los semiejes en lugar de los semiejes: de se sigue , extrayendo raíces.Son las rectas verticales que pasan por los vértices; la hipérbola las toca en ellos, y no se acerca a ellas indefinidamente.Con y , las asíntotas de son las rectas , que resultan de igualar a cero el primer miembro.
Cargando el contenido…