La función logaritmo y sus propiedades

El logaritmo como función inversa de la exponencial

En la clase sobre la función exponencial y la potencia de exponente real se demostró que, si $a > 0$ y $a \neq 1$, la función que a cada real $x$ asigna la potencia $a^x$ es estrictamente creciente si $a > 1$ y estrictamente decreciente si $0 < a < 1$; y, por el teorema del recorrido de la función exponencial, demostrado allí con la completitud de los reales y la desigualdad de Bernoulli, toma además cada valor positivo exactamente una vez, y es por tanto una biyección de $\mathbb{R}$ en el intervalo $\ioo{0}{\infty}$. Por el teorema de existencia de la función inversa, demostrado en la clase sobre operaciones con funciones y función inversa, esa función tiene inversa. Si esto es así, para cada número positivo $x$ existe un único exponente $y$ tal que $a^y = x$, y la siguiente definición tiene sentido.

Sean $a > 0$, con $a \neq 1$, y $x > 0$. El logaritmo en base $a$ de $x$, que se escribe $\log_a x$, es el único número real $y$ tal que $a^y = x$. La función $\log_a$, definida en $\ioo{0}{\infty}$ y con valores reales, es la inversa de la exponencial de base $a$.

El logaritmo responde, por tanto, a la pregunta por el exponente: $\log_a x$ es el número al que hay que elevar $a$ para obtener $x$. Así, como $2^3 = 8$, $3^{-2} = \frac{1}{9}$, $10^3 = 1000$ y, según la clase sobre potencias de exponente racional y radicales, $4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2$, se tiene:

Como $\log_a$ y la exponencial de base $a$ son inversas, cada una deshace lo que hace la otra: la primera identidad vale para todo $x$ positivo, y la segunda para todo $y$ real.

En particular, de $a^0 = 1$ y $a^1 = a$ se siguen $\log_a 1 = 0$ y $\log_a a = 1$ para toda base. Ni el cero ni los números negativos tienen logaritmo, porque toda potencia de base positiva es positiva: no existe ningún $y$ tal que $2^y = -4$. Dos bases tienen nombre propio. La base $e$, el número estudiado en la clase sobre el número e y la exponencial natural, da el logaritmo natural, que se escribe $\ln x$; la base $10$ da el logaritmo decimal, que se escribe $\log_{10} x$. En muchos textos y calculadoras se escribe $\log x$ sin base, unas veces para el natural y otras para el decimal; en este curso la base se escribe siempre.

Los logaritmos fueron publicados por John Napier en 1614, y Henry Briggs calculó pocos años después las primeras tablas de logaritmos decimales. Durante más de tres siglos sirvieron para abreviar los cálculos de la astronomía, la navegación y la ingeniería, porque, como se demuestra en la sección siguiente, convierten los productos en sumas. Su gráfico se obtiene del de la exponencial por el teorema de la gráfica de la función inversa, de la misma clase sobre la función inversa: la gráfica de una función biyectiva y la de su inversa son simétricas respecto de la recta $y = x$.