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Topos Uranos
Español

El número e y la exponencial natural

Resumen

Esta clase construye el número ee como el supremo de la sucesión (1+1n)n\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n, que nace del interés compuesto: demuestra con el teorema del binomio que la sucesión crece y que no alcanza el valor 33, y encierra su supremo entre ella y la sucesión decreciente (1+1n)n+1\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n + 1}. Demuestra después que ee es también el supremo de las sumas de los inversos de los factoriales, acota el error de esas sumas, lo que permite calcular ee con la precisión que se desee, y prueba que ee es irracional. Por último, define la exponencial natural, la relaciona con la capitalización continua del interés y demuestra la desigualdad ex≥1+xe^x \geq 1 + x, que dice que la recta y=1+xy = 1 + x queda bajo la gráfica de la exponencial.

Objetivos de aprendizaje

  1. Demostrar que la sucesión (1+1n)n\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n es creciente y acotada, y definir el número ee como su supremo.
  2. Calcular aproximaciones de ee mediante la suma de los inversos de los factoriales, con una cota rigurosa del error, y demostrar que ee es irracional.
  3. Relacionar la exponencial natural con el interés compuesto y con su capitalización continua, y comparar el efecto de capitalizar con distintas frecuencias.
  4. Demostrar y aplicar la desigualdad ex≥1+xe^x \geq 1 + x, e interpretarla como la posición de la recta y=1+xy = 1 + x respecto de la gráfica de y=exy = e^x.

La sucesión del interés compuesto

Un capital de 11 se deposita durante un año a un interés del ciento por ciento anual. Si el interés se paga una sola vez, al final del año, el capital se duplica y vale 22. Si se paga dos veces, cada semestre con la mitad de la tasa, el interés del primer semestre gana a su vez intereses en el segundo: el capital se multiplica dos veces por 1+121 + \frac{1}{2} y vale 94\frac{9}{4}. Con cuatro pagos trimestrales vale (1+14)4=625256\left( 1 + \frac{1}{4} \right)^4 = \frac{625}{256}, algo más de 2,44, y con doce pagos mensuales, algo más de 2,61. En general, si el año se divide en nn períodos iguales y en cada uno se paga la fracción 1n\frac{1}{n} de la tasa, el capital se multiplica nn veces por 1+1n1 + \frac{1}{n}, y al final del año vale

an=(1+1n)na_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n

Al aumentar nn se multiplica más veces, pero por un factor más próximo a 11, y no es evidente cuál de los dos efectos prevalece: las potencias de 11 valen todas 11, mientras que las potencias de una base fija mayor que 11 crecen sin cota. Esta sección demuestra que la sucesión crece, pero que sus términos no alcanzan el valor 33; su supremo es el número ee. Las demostraciones se apoyan en el teorema del binomio de la clase sobre la combinatoria y el binomio de Newton, en la desigualdad de Bernoulli, (1+x)n≥1+nx(1 + x)^n \geq 1 + nx para x≥−1x \geq -1, demostrada en la clase sobre los axiomas de Peano, y en la completitud de los números reales, enunciada en la clase sobre los conjuntos numéricos.

El crecimiento de la sucesión

Por el teorema del binomio, ana_n es una suma de n+1n + 1 términos. El de índice kk es (nk)1nk\binom{n}{k} \frac{1}{n^k}, y se escribe como el producto de 1k!\frac{1}{k!} por k−1k - 1 factores positivos menores que 11; con el convenio de que un producto sin factores vale 11, la escritura vale también para k=0k = 0 y k=1k = 1:

an=∑k=0n1k!∏j=1k−1(1−jn)=1+1+12!(1−1n)+13!(1−1n)(1−2n)+⋯a_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} \prod_{j=1}^{k - 1} \left( 1 - \frac{j}{n} \right) = 1 + 1 + \frac{1}{2!} \left( 1 - \frac{1}{n} \right) + \frac{1}{3!} \left( 1 - \frac{1}{n} \right) \left( 1 - \frac{2}{n} \right) + \cdots

En esta escritura, nn aparece solo en los factores 1−jn1 - \frac{j}{n}, que aumentan con nn, y en el número de términos, que también aumenta. Los dos efectos empujan en el mismo sentido; esa es la idea del teorema siguiente.

TeoremaCrecimiento de la sucesión

Para todo natural nn se cumple an<an+1a_n < a_{n + 1}, es decir, la sucesión (1+1n)n\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n es estrictamente creciente.

Se comparan término a término los desarrollos binomiales de ana_n y de an+1a_{n + 1}. La figura representa, para n=3n = 3, cada término como un bloque de una columna que comienza en 22, porque los dos primeros términos valen 11 en todos los casos.

Demostración

  1. (nk)1nk=n(n−1)⋯(n−k+1)k! nk=1k!⋅nn⋅n−1n⋯n−k+1n\binom{n}{k} \frac{1}{n^k} = \frac{\resaltar{n(n - 1) \cdots (n - k + 1)}}{k! \, n^k} = \resaltar{\frac{1}{k!} \cdot \frac{n}{n} \cdot \frac{n - 1}{n} \cdots \frac{n - k + 1}{n}}

    Por el teorema del binomio, con x=1x = 1 e y=1ny = \frac{1}{n}, el término de índice kk de ana_n es (nk)1nk\binom{n}{k} \frac{1}{n^k}. El coeficiente binomial es un producto de kk factores dividido entre k!k!, y cada factor se divide entre uno de los kk factores nn del denominador.

  2. an=∑k=0n1k!∏j=1k−1(1−jn)a_n = \dato{an}{\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} \prod_{j=1}^{k - 1} \left( 1 - \frac{j}{n} \right)}

    El primer cociente vale 11, y cada uno de los siguientes es n−jn=1−jn\frac{n - j}{n} = 1 - \frac{j}{n}, para jj desde 11 hasta k−1k - 1. Sumando los términos se obtiene la escritura de ana_n.

  3. an+1=∑k=0n1k!∏j=1k−1(1−jn+1)+1(n+1)!∏j=1n(1−jn+1)a_{n + 1} = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} \prod_{j=1}^{k - 1} \left( 1 - \frac{j}{n + 1} \right) + \resaltar{\frac{1}{(n + 1)!} \prod_{j=1}^{n} \left( 1 - \frac{j}{n + 1} \right)}

    La misma escritura, con n+1n + 1 en lugar de nn, tiene un término más, el de índice k=n+1k = n + 1, que es positivo porque todos sus factores lo son.

  4. 0<1−jn<1−jn+1\dato{f}{0 < 1 - \resaltar{\frac{j}{n}} < 1 - \resaltar{\frac{j}{n + 1}}}

    Para 1≤j≤n−11 \leq j \leq n - 1, al aumentar el denominador, jn\frac{j}{n} disminuye, y el factor aumenta; además, todos los factores son positivos.

  5. 1k!∏j=1k−1(1−jn)<1k!∏j=1k−1(1−jn+1)\frac{1}{k!} \resaltar{\prod_{j=1}^{k - 1} \left( 1 - \frac{j}{n} \right)} < \frac{1}{k!} \resaltar{\prod_{j=1}^{k - 1} \left( 1 - \frac{j}{n + 1} \right)}

    Por la monotonía del producto de números positivos, cada término de ana_n de índice k≥2k \geq 2, si lo hay, es menor que el término del mismo índice de an+1a_{n + 1}; los de índices 00 y 11 valen 11 en ambas sumas.

  6. a1=2<a2=94<a3=6427<a4=625256a_1 = 2 < a_2 = \frac{9}{4} < a_3 = \frac{64}{27} < a_4 = \frac{625}{256}

    Sumando, ana_n no supera la suma de los n+1n + 1 primeros términos de an+1a_{n + 1}, a la que todavía falta el término positivo de índice n+1n + 1. Por tanto, an<an+1a_n < a_{n + 1}. En la figura, los términos de la sucesión suben.

Una cota superior

El crecimiento no basta para que la sucesión tenga un supremo: los naturales también crecen. Hace falta una cota superior, y para obtenerla se compara ana_n con la suma de los inversos de los factoriales,

sn=∑k=0n1k!=1+1+12+16+⋯+1n!s_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \cdots + \frac{1}{n!}

que resulta de suprimir en la escritura de ana_n todos los factores 1−jn1 - \frac{j}{n}. Estas sumas tienen interés propio, y la sección siguiente demostrará que se acercan al mismo número que ana_n, y mucho más deprisa. El problema propuesto 5 de la clase sobre la combinatoria pedía demostrar que an<3a_n < 3; el segundo de los lemas siguientes contiene esa cota, con la desigualdad intermedia an≤sna_n \leq s_n, que se usará después. El primero compara los factoriales con las potencias de 22, y es lo que permite acotar sns_n por una progresión geométrica.

LemaFactoriales y potencias de dos

Para todo natural kk se cumple k!≥2k−1k! \geq 2^{k - 1}, con igualdad solo si k=1k = 1 o k=2k = 2.

Se razona por inducción sobre kk, con el principio de la clase sobre los axiomas de Peano: al pasar de kk a k+1k + 1, el factorial se multiplica por k+1k + 1, que es al menos 22, mientras que la potencia solo se duplica. La figura compara, para kk desde 11 hasta 44, el factorial con la potencia, como dos columnas.

Demostración

  1. 1!=1=201! = 1 = 2^{0}

    Caso base: para k=1k = 1 ambos miembros valen 11.

  2. k!≥2k−1\dato{h}{k! \geq 2^{k - 1}}

    Hipótesis inductiva: supongamos que la desigualdad vale para un natural kk.

  3. (k+1)!=(k+1)⋅k!≥2⋅2k−1=2k(k + 1)! = \resaltar{(k + 1)} \cdot k! \geq \resaltar{2} \cdot 2^{k - 1} = 2^{k}

    El factorial de k+1k + 1 es el de kk multiplicado por k+1k + 1, que es al menos 22; como todos los factores son positivos, la hipótesis da la desigualdad para k+1k + 1.

  4. k!≥2k−1,3!=6>4=22k! \geq 2^{k - 1}, \qquad 3! = 6 > 4 = 2^2

    Por el principio de inducción, la desigualdad vale para todo natural kk. Si k≥2k \geq 2, el factor k+1k + 1 es al menos 33, y la desigualdad para k+1k + 1 es estricta: la igualdad se da en k=1k = 1 y en k=2k = 2, y solo en ellos.

LemaCota de la sucesión

Para todo natural nn se cumple an≤sn<3a_n \leq s_n < 3; la primera desigualdad es estricta para n≥2n \geq 2.

Se acota cada término del desarrollo de ana_n por el correspondiente de sns_n, y cada término de sns_n por uno de una progresión geométrica de razón 12\frac{1}{2}. La figura compara, para n=4n = 4, las tres columnas sobre la base común 22.

Demostración

  1. 1k!∏j=1k−1(1−jn)≤1k!⋅1\frac{1}{k!} \resaltar{\prod_{j=1}^{k - 1} \left( 1 - \frac{j}{n} \right)} \leq \frac{1}{k!} \cdot \resaltar{1}

    Cada factor 1−jn1 - \frac{j}{n} está entre 00 y 11; por tanto, el producto de ellos no supera 11, y cada término de ana_n no supera el término 1k!\frac{1}{k!} de sns_n.

  2. an≤sn\dato{as}{a_n \leq s_n}

    Sumando para kk desde 00 hasta nn se obtiene la primera desigualdad. Si n≥2n \geq 2, el término de índice 22 tiene el factor 1−1n<11 - \frac{1}{n} < 1, y la desigualdad es estricta.

  3. 1k!≤12k−1,k≥1\dato{f}{\frac{1}{k!} \leq \frac{1}{2^{k - 1}}}, \quad k \geq 1

    Por el lema anterior, k!≥2k−1k! \geq 2^{k - 1} para todo natural kk; al invertir dos números positivos, la desigualdad cambia de sentido.

  4. sn=1+∑k=1n1k!≤1+∑k=1n12k−1s_n = 1 + \resaltar{\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k!}} \leq 1 + \resaltar{\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2^{k - 1}}}

    Separamos el término de índice 00 y acotamos los demás.

  5. 1+∑k=1n12k−1=1+2(1−12n)=3−12n−1<31 + \resaltar{\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2^{k - 1}}} = 1 + \resaltar{2 \left( 1 - \frac{1}{2^n} \right)} = 3 - \frac{1}{2^{n - 1}} < 3

    Lo resaltado es la suma de nn términos de una progresión geométrica de primer término 11 y razón 12\frac{1}{2}, calculada en la clase sobre las sumatorias y las progresiones.

  6. an≤sn≤3−12n−1<3a_n \leq s_n \leq 3 - \frac{1}{2^{n - 1}} < 3

    Encadenando ambas desigualdades se obtiene el lema. En la figura, con n=4n = 4, la columna geométrica queda a 18\frac{1}{8} de 33, y las otras dos, por debajo de ella.

Una sucesión decreciente que la acompaña

Si se eleva la base 1+1n1 + \frac{1}{n} a un exponente una unidad mayor, se obtiene una segunda sucesión, cuyos términos son mayores que los de la primera, porque se multiplican por un factor mayor que 11:

bn=(1+1n)n+1=an(1+1n)>anb_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n + 1} = a_n \left( 1 + \frac{1}{n} \right) > a_n

Sus primeros términos son b1=4b_1 = 4, b2=278b_2 = \frac{27}{8} y b3=25681b_3 = \frac{256}{81}: bajan. El teorema siguiente lo demuestra en general; la idea es estudiar el cociente de dos términos consecutivos, y la herramienta, la desigualdad de Bernoulli.

TeoremaDecrecimiento de la sucesión acompañante

Para todo natural nn se cumple bn>bn+1b_n > b_{n + 1}, es decir, la sucesión (1+1n)n+1\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n + 1} es estrictamente decreciente.

Basta probar que el cociente bnbn+1\frac{b_n}{b_{n + 1}} es mayor que 11, porque los términos son positivos. La figura muestra los primeros términos de ambas sucesiones.

Demostración

  1. bnbn+1=(n+1n)n+1(n+2n+1)n+2=((n+1)2n(n+2))n+1⋅n+1n+2\frac{b_n}{b_{n + 1}} = \frac{\left( \frac{n + 1}{n} \right)^{n + 1}}{\left( \frac{n + 2}{n + 1} \right)^{n + 2}} = \dato{c}{\left( \frac{(n + 1)^2}{n(n + 2)} \right)^{n + 1} \cdot \frac{n + 1}{n + 2}}

    Escribimos cada base como un cociente, separamos un factor n+1n+2\frac{n + 1}{n + 2} de la potencia del denominador y reunimos las dos potencias de exponente n+1n + 1 en una sola.

  2. (n+1)2n(n+2)=n(n+2)+1n(n+2)=1+1n(n+2)\frac{\resaltar{(n + 1)^2}}{n(n + 2)} = \frac{\resaltar{n(n + 2) + 1}}{n(n + 2)} = \dato{q}{1 + \frac{1}{n(n + 2)}}

    El numerador de la base excede al denominador en 11, porque (n+1)2=n2+2n+1=n(n+2)+1(n + 1)^2 = n^2 + 2n + 1 = n(n + 2) + 1.

  3. (1+1n(n+2))n+1≥1+n+1n(n+2)\dato{B}{\left( 1 + \frac{1}{n(n + 2)} \right)^{n + 1} \geq 1 + \frac{n + 1}{n(n + 2)}}

    Por la desigualdad de Bernoulli, con x=1n(n+2)x = \frac{1}{n(n + 2)} y exponente n+1n + 1, la potencia de esa base es al menos 1+(n+1)x1 + (n + 1)x.

  4. bnbn+1≥(1+n+1n(n+2))n+1n+2=(n2+3n+1)(n+1)n(n+2)2\frac{b_n}{b_{n + 1}} \geq \resaltar{\left( 1 + \frac{n + 1}{n(n + 2)} \right)} \frac{n + 1}{n + 2} = \resaltar{\frac{(n^2 + 3n + 1)(n + 1)}{n(n + 2)^2}}

    Sustituimos en el cociente y reducimos a común denominador; la suma n(n+2)+(n+1)n(n + 2) + (n + 1) vale n2+3n+1n^2 + 3n + 1.

  5. (n2+3n+1)(n+1)n(n+2)2=n3+4n2+4n+1n3+4n2+4n>1\frac{\resaltar{(n^2 + 3n + 1)(n + 1)}}{\resaltar{n(n + 2)^2}} = \frac{\resaltar{n^3 + 4n^2 + 4n + 1}}{\resaltar{n^3 + 4n^2 + 4n}} > 1

    Desarrollamos el numerador y el denominador: el numerador excede al denominador en 11.

  6. b1=4>b2=278>b3=25681>b4=31251024b_1 = 4 > b_2 = \frac{27}{8} > b_3 = \frac{256}{81} > b_4 = \frac{3125}{1024}

    Por tanto, bn>bn+1b_n > b_{n + 1}. En la figura, los términos bnb_n bajan mientras los ana_n suben, y cada bnb_n queda por encima de cada ana_n.

El número e

Las dos sucesiones se acercan entre sí, pero no se cruzan: todo término de la primera es menor que todo término de la segunda, aunque sus índices sean distintos.

LemaLas dos sucesiones no se cruzan

Para todos los naturales nn y mm se cumple an<bma_n < b_m.

Se pasa por el índice mayor de los dos: la primera sucesión crece, la segunda decrece, y en cada índice la segunda está por encima de la primera. La figura sigue el caso n=2n = 2 y m=5m = 5.

Demostración

  1. bp=ap(1+1p)>ap\dato{p}{b_p = a_p \left( 1 + \frac{1}{p} \right) > a_p}

    En un mismo índice pp, el término bpb_p es apa_p multiplicado por 1+1p1 + \frac{1}{p}, que es mayor que 11, y apa_p es positivo.

  2. n≤p→an≤ap\dato{a}{n \leq p \rightarrow a_n \leq a_p}

    Sea pp el mayor de los naturales nn y mm. Como n≤pn \leq p y la sucesión ana_n es creciente, su término de índice nn no supera al de índice pp.

  3. m≤p→bp≤bm\dato{b}{m \leq p \rightarrow b_p \leq b_m}

    Como m≤pm \leq p y la sucesión bnb_n es decreciente, su término de índice pp no supera al de índice mm.

  4. an≤ap<bp≤bma_n \leq a_p < b_p \leq b_m

    Encadenando las tres desigualdades, la del medio estricta, se obtiene el lema. En la figura, con n=2n = 2 y m=5m = 5, el índice mayor es p=5p = 5.

De ello se sigue que el conjunto de los términos ana_n tiene elementos y está acotado superiormente, por 33 o por cualquier bmb_m. Por la completitud de los números reales, tiene un supremo, que se designa con la letra ee.

Definición. El número ee es el supremo del conjunto de los términos de la sucesión (1+1n)n\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n, para nn natural.
TeoremaEl número e entre las dos sucesiones

Para todo natural nn se cumple an<e<bna_n < e < b_n.

Se usan la definición de supremo como menor cota superior y la monotonía de ambas sucesiones. La figura muestra las dos sucesiones, que se acercan a ee desde lados opuestos.

Demostración

  1. an<bm,n,m∈N\dato{ab}{a_n < b_m}, \quad n, m \in \mathbb{N}

    Por el lema anterior, todo término de la primera sucesión es menor que todo término de la segunda.

  2. (∀m∈N)(e≤bm)\dato{eb}{(\forall m \in \mathbb{N})(e \leq b_m)}

    Cada bmb_m es, por tanto, una cota superior del conjunto de los ana_n, y el supremo, que es la menor de las cotas superiores, no supera a ninguna.

  3. an<an+1≤e\dato{ae}{a_n < \resaltar{a_{n + 1}} \leq \resaltar{e}}

    Como ee es una cota superior y la sucesión ana_n es estrictamente creciente, cada término es menor que el siguiente, que no supera a ee.

  4. e≤bn+1<bn\dato{be}{e \leq \resaltar{b_{n + 1}} < \resaltar{b_n}}

    Del mismo modo, como la sucesión bnb_n es estrictamente decreciente, ee no supera al término siguiente, que es menor que bnb_n.

  5. an<e<bna_n < e < b_n

    Encadenando ambas desigualdades se obtiene el teorema: ee es el único número que queda entre todas las ana_n y todas las bnb_n.

  6. a74<e<b17a_{74} < e < b_{17}

    Con una calculadora se obtiene que a74a_{74} supera a 2,7 y que b17b_{17} es menor que 2,8; por tanto, ee está entre 2,7 y 2,8. El encaje es lento: la distancia entre las dos sucesiones es bn−an=annb_n - a_n = \frac{a_n}{n}, que disminuye como el inverso de nn.

El número ee vale aproximadamente 2,718281828. Jakob Bernoulli lo encontró en 1683 al estudiar el interés compuesto, y Leonhard Euler, que descubrió buena parte de sus propiedades, lo designó con la letra ee. Junto con π\pi, es una de las dos constantes fundamentales del análisis.