La función exponencial y la potencia de exponente real

La potencia de exponente real

En la clase sobre las potencias de exponente racional se definió $a^x$ para $a > 0$ y $x$ racional, se demostró que la definición no depende de la fracción con que se escribe el exponente, que valen las leyes de los exponentes y que, si $a > 1$, la potencia crece con el exponente: si $r < s$ son racionales, $a^r < a^s$. Queda sin sentido, en cambio, una expresión como $2^{\sqrt{2}}$, porque $\sqrt{2}$ no es una fracción y no hay raíz ni potencia entera que la defina.

Ahora bien, $\sqrt{2}$ está entre los racionales $1$, $\frac{7}{5}$, $\frac{141}{100}$, $\frac{1414}{1000}$, que se le acercan por debajo, y las potencias $2^1$, $2^{\frac{7}{5}}$, $2^{\frac{141}{100}}$, $2^{\frac{1414}{1000}}$ forman una sucesión creciente, cuyos valores son aproximadamente 2; 2,639; 2,657 y 2,665. Ninguna de ellas supera a $2^{\frac{3}{2}} = \sqrt{8}$, porque todos esos exponentes son menores que $\frac{3}{2}$. Si esto es así, lo natural es definir $2^{\sqrt{2}}$ como el menor número que no es superado por ninguna potencia $2^r$ con $r$ racional y $r \leq \sqrt{2}$, es decir, como un supremo; su existencia la garantiza la completitud de los reales, presentada en la clase sobre los conjuntos numéricos.

La definición mediante supremos

Sea $a > 1$ y sea $x$ un número real. Se llama $A_x$ al conjunto de las potencias $a^r$ con $r$ racional y $r \leq x$. La potencia de exponente real $a^x$ es el supremo de $A_x$. Si $0 < a < 1$, se define $a^x = \left(\frac{1}{a}\right)^{-x}$, donde la base $\frac{1}{a}$ es mayor que $1$; y se define $1^x = 1$ para todo real $x$.

La definición encierra dos afirmaciones que hay que demostrar: que el supremo existe y que, si $x$ es racional, el nuevo número $a^x$ es el mismo que ya se conocía. Sin la segunda, el símbolo $a^x$ tendría dos significados para los exponentes racionales.

La definición para bases menores que $1$ también prolonga la anterior: si $0 < a < 1$ y $r$ es racional, por las leyes de los exponentes racionales $\left(\frac{1}{a}\right)^{-r} = \frac{1}{\left(\frac{1}{a}\right)^r} = a^r$. Además, de la definición se sigue directamente una regla que se usará a menudo: para toda base $a > 0$ y todo real $x$, la potencia de la base inversa es la potencia de exponente opuesto. En efecto, si $a > 1$, la base $\frac{1}{a}$ es menor que $1$ y, por definición, $\left(\frac{1}{a}\right)^x = a^{-x}$; si $0 < a < 1$, la base $\frac{1}{a}$ es mayor que $1$, y la definición de $a^{-x}$ es precisamente $\left(\frac{1}{a}\right)^{x}$.

La monotonía

El primer uso de la definición es situar $a^x$ entre las potencias racionales: con base mayor que $1$, todo exponente racional menor que $x$ da una potencia menor que $a^x$, y todo exponente racional mayor, una potencia mayor. De ello se sigue la monotonía para exponentes reales cualesquiera.

Si $a > 1$, la monotonía tiene una lectura en ambos sentidos: para reales $u$ y $v$ cualesquiera, $u < v$ si y solo si $a^u < a^v$, y $u = v$ si y solo si $a^u = a^v$. En efecto, si fuera $u \geq v$, se tendría $a^u \geq a^v$. Con base entre $0$ y $1$, la equivalencia vale con la desigualdad invertida. Así se comparan potencias de una misma base comparando sus exponentes.