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Topos Uranos
Español

Modelos de crecimiento y decaimiento exponencial

Resumen

Esta clase aplica las funciones exponencial y logarítmica a la descripción de magnitudes que cambian en una misma proporción en períodos iguales. Estudia el crecimiento discreto a razón constante y el modelo continuo P(t)=P0ektP(t) = P_0 e^{kt}, demuestra que en este último el tiempo de duplicación y la vida media no dependen del instante en que se mide, y aplica el resultado a la desintegración radiactiva, a la datación con carbono 14 y a la ley de enfriamiento de Newton. Enseña después a determinar los parámetros de un modelo a partir de dos datos, demuestra que los datos exponenciales se alinean en un gráfico semilogarítmico y termina con el modelo logístico, cuyo crecimiento está acotado y cuyo gráfico es simétrico respecto de su punto medio.

Objetivos de aprendizaje

  1. Reconocer los modelos de crecimiento y decaimiento discreto y continuo, y relacionar la razón de cambio por período con la constante del modelo.
  2. Calcular y emplear el tiempo de duplicación y la vida media, y aplicarlos a la desintegración radiactiva, a la datación con carbono 14 y al enfriamiento de un cuerpo.
  3. Determinar los parámetros de un modelo exponencial a partir de dos datos y reconocer datos exponenciales en un gráfico semilogarítmico.
  4. Estudiar el modelo logístico: su acotación, su monotonía y la simetría de su gráfico respecto del punto en que alcanza la mitad de su cota.

Crecimiento a razón constante

Una magnitud puede aumentar de dos maneras elementales. Si en cada período se le suma una misma cantidad, sus valores forman una progresión aritmética y su gráfico es una recta; así crece un capital con interés simple, que cada año recibe el mismo interés. Si, en cambio, en cada período se multiplica por un mismo factor, sus valores forman una progresión geométrica; así crece un capital con interés compuesto, cuyo interés de cada año se calcula sobre el capital acumulado, y así crece una población de bacterias en la que cada célula se divide en un tiempo fijo. Ambas progresiones se estudiaron en la clase sobre sumatorias, progresiones e inducción; esta clase se ocupa de la segunda y de su versión continua.

Sea P0>0P_0 > 0 el valor inicial de una magnitud y PnP_n su valor al cabo de nn períodos. Se dice que la magnitud cambia a razón constante rr por período, con r>−1r > -1, cuando cada valor se obtiene del anterior multiplicándolo por 1+r1 + r, es decir, cuando el cociente entre dos valores consecutivos es siempre el mismo:

Pn+1Pn=1+r\frac{P_{n + 1}}{P_n} = 1 + r

El número rr suele expresarse en porcentaje: una población que aumenta un 33 por ciento al año tiene r=3100r = \frac{3}{100}, y una sustancia que pierde la quinta parte de su masa cada hora tiene r=−15r = -\frac{1}{5}. Si r>0r > 0 se habla de crecimiento; si −1<r<0-1 < r < 0, de decaimiento.

LemaCrecimiento a razón constante

Si Pn+1=(1+r)PnP_{n + 1} = (1 + r) P_n para todo nn, con P0>0P_0 > 0 y r>−1r > -1, entonces Pn=P0(1+r)nP_n = P_0 (1 + r)^n para todo natural nn. Todos los valores son positivos; la sucesión es estrictamente creciente si r>0r > 0 y estrictamente decreciente si −1<r<0-1 < r < 0.

La fórmula es el término general de una progresión geométrica de razón 1+r1 + r, y se demuestra por inducción. La figura muestra los primeros valores con P0=1P_0 = 1, primero con r=12r = \frac{1}{2} y después con r=−12r = -\frac{1}{2}.

Demostración

  1. P1=(1+r)P0=P0(1+r)1P_1 = (1 + r) P_0 = P_0 (1 + r)^{\resaltar{1}}

    Para n=1n = 1, la fórmula es la hipótesis aplicada a P0P_0.

  2. Pn+1=(1+r)Pn=(1+r)P0(1+r)n=P0(1+r)n+1P_{n + 1} = (1 + r) \resaltar{P_n} = (1 + r) \resaltar{P_0 (1 + r)^n} = \dato{f}{P_0 (1 + r)^{n + 1}}

    Si la fórmula vale para nn, la hipótesis la da para n+1n + 1; por el principio de inducción, vale para todo natural.

  3. P0>0,1+r>0→Pn>0P_0 > 0, \quad 1 + r > 0 \rightarrow \dato{p}{P_n > 0}

    Como P0P_0 y 1+r1 + r son positivos, todas sus potencias y productos lo son: todos los valores son positivos.

  4. Pn+1−Pn=rPnP_{n + 1} - P_n = \resaltar{r P_n}

    La diferencia entre dos valores consecutivos es rPnr P_n, que tiene el signo de rr: la sucesión crece si r>0r > 0 y decrece si −1<r<0-1 < r < 0.

Por ejemplo, un capital de 10001000 al 55 por ciento anual compuesto se convierte al cabo de tres años en

C3=1000(1+5100)3=92618C_3 = 1000 \left( 1 + \frac{5}{100} \right)^3 = \frac{9261}{8}

es decir, en 1157,625, mientras que con interés simple se convertiría en 11501150. La diferencia, pequeña al comienzo, crece sin cota con el número de años, como se verá en el problema resuelto 2; el estudio sistemático de los capitales y de las tasas de interés es materia del curso de Matemáticas Financieras.