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Topos Uranos
Español

Ecuaciones e inecuaciones exponenciales y logarítmicas

Resumen

Esta clase enseña a resolver ecuaciones e inecuaciones en las que la incógnita aparece en un exponente o en el argumento de un logaritmo. Se apoya en dos propiedades de las funciones exponencial y logarítmica: su inyectividad, que permite igualar exponentes y argumentos, y su monotonía, que conserva o invierte el sentido de una desigualdad según la base. Con ellas se estudian la reducción a una misma base, la toma de logaritmos, el cambio de variable que convierte una ecuación en cuadrática, el dominio de las ecuaciones logarítmicas y las soluciones extrañas que aparecen al aplicar las leyes de los logaritmos fuera de su dominio, los sistemas, las ecuaciones que ningún método algebraico resuelve, cuya única solución se localiza por bisección, y la discusión del número de soluciones de una ecuación con un parámetro.

Objetivos de aprendizaje

  1. Resolver ecuaciones exponenciales reduciendo a una misma base, tomando logaritmos o mediante un cambio de variable que las convierta en cuadráticas, descartando los valores no positivos de la nueva variable.
  2. Resolver ecuaciones logarítmicas determinando primero su dominio, aplicando las leyes de los logaritmos solo donde valen y reconociendo las soluciones extrañas.
  3. Resolver inecuaciones exponenciales y logarítmicas, conservando o invirtiendo la desigualdad según la base, y expresar el conjunto solución como unión de intervalos.
  4. Demostrar, con el teorema del valor intermedio, que una ecuación sin método algebraico tiene una única solución, localizarla por bisección y discutir el número de soluciones de una ecuación con un parámetro.

Ecuaciones exponenciales

Una ecuación exponencial es una ecuación en la que la incógnita figura en algún exponente, como 2x=3x−12^x = 3^{x - 1} o 4x−2x−6=04^x - 2^x - 6 = 0. Para resolverlas se usan los hechos estudiados en las clases sobre la función exponencial y sobre la función logaritmo. Si a>0a > 0 y a≠1a \neq 1, la potencia axa^x está definida para todo real xx y es siempre positiva; es estrictamente creciente si a>1a > 1 y estrictamente decreciente si 0<a<10 < a < 1, y toma cada valor positivo exactamente una vez. Su inversa es el logaritmo en base aa, definido en los reales positivos, que cumple las leyes del producto, del cociente y de la potencia, siempre que los argumentos sean positivos, y la fórmula del cambio de base.

TeoremaInyectividad de la exponencial y del logaritmo

Sea aa un real positivo distinto de 11. Para todos los reales uu y vv, se tiene au=ava^u = a^v si y solo si u=vu = v; para todos los reales positivos uu y vv, se tiene log⁡au=log⁡av\log_a u = \log_a v si y solo si u=vu = v. Además, si c>0c > 0, la ecuación ax=ca^x = c tiene exactamente una solución, que es x=log⁡acx = \log_a c, y si c≤0c \leq 0 no tiene ninguna.

Se usan la monotonía estricta de la exponencial y la definición del logaritmo como su inversa. La figura sigue el caso a=2a = 2: la recta horizontal de altura 33 corta el gráfico de y=2xy = 2^x en un solo punto, y la de altura −2-2 no lo corta.

Demostración

  1. u≠v→au≠av,au=av↔u=vu \neq v \rightarrow a^u \neq a^v, \qquad \dato{ie}{a^u = a^v \leftrightarrow u = v}

    Si u=vu = v, las potencias coinciden, porque una función asigna a cada número un único valor. Recíprocamente, si u≠vu \neq v, uno de los dos es menor, y por la monotonía estricta de la exponencial, demostrada en el teorema de las propiedades de la función exponencial, sus potencias son distintas.

  2. log⁡au=log⁡av→u=alog⁡au=alog⁡av=v\log_a u = \log_a v \rightarrow u = a^{\resaltar{\log_a u}} = a^{\resaltar{\log_a v}} = v

    Si log⁡au=log⁡av\log_a u = \log_a v, se aplica a ambos miembros la exponencial de base aa, que deshace el logaritmo, y resulta u=vu = v; el recíproco es evidente.

  3. ax=c=alog⁡ac↔x=log⁡aca^x = c = a^{\resaltar{\log_a c}} \leftrightarrow x = \resaltar{\log_a c}

    Si c>0c > 0, el número log⁡ac\log_a c es solución, por la definición del logaritmo; y es la única, porque toda solución tiene la misma potencia que él.

  4. ax>0≥ca^x > 0 \geq c

    Si c≤0c \leq 0, no hay solución, porque la potencia axa^x es positiva para todo real xx.

Reducir a una misma base

Si los dos miembros pueden escribirse como potencias de una misma base, la inyectividad permite igualar los exponentes, y la ecuación exponencial se convierte en una ecuación algebraica. Por ejemplo, como 8=238 = 2^3 y 4=224 = 2^2, la ecuación 8x−1=4x+18^{x - 1} = 4^{x + 1} equivale a 23x−3=22x+22^{3x - 3} = 2^{2x + 2}, es decir, a 3x−3=2x+23x - 3 = 2x + 2, cuya solución es x=5x = 5:

8x−1=4x+1↔3x−3=2x+2↔x=58^{x - 1} = 4^{x + 1} \leftrightarrow 3x - 3 = 2x + 2 \leftrightarrow x = 5

Tomar logaritmos

Cuando las bases no son potencias de un mismo número, como 22 y 33, se toma el logaritmo de ambos miembros. Si los dos miembros son positivos, la inyectividad del logaritmo garantiza que la ecuación obtenida es equivalente a la original: no se pierden ni se agregan soluciones. Cualquier base sirve; de ordinario se usa el logaritmo natural, definido en la clase sobre la función logaritmo, o el logaritmo en base 1010.

EjemploUna ecuación con dos bases

Resolver la ecuación 2x=3x−12^x = 3^{x - 1}.

Demostración

  1. 2x=3x−1↔ln⁡(2x)=ln⁡(3x−1)2^x = 3^{x - 1} \leftrightarrow \resaltar{\ln(2^x)} = \resaltar{\ln(3^{x - 1})}

    Los dos miembros son positivos para todo xx. Tomamos el logaritmo natural de ambos, lo que da una ecuación equivalente por la inyectividad del logaritmo.

  2. ln⁡(2x)=ln⁡(3x−1)↔xln⁡2=(x−1)ln⁡3\resaltar{\ln(2^x)} = \resaltar{\ln(3^{x - 1})} \leftrightarrow \dato{e}{x \ln 2 = (x - 1) \ln 3}

    La ley de la potencia baja los exponentes como factores.

  3. xln⁡2−(x−1)ln⁡3=0↔x(ln⁡3−ln⁡2)=ln⁡3x \ln 2 - \resaltar{(x - 1) \ln 3} = 0 \leftrightarrow \resaltar{x(\ln 3 - \ln 2)} = \ln 3

    Agrupamos los términos con xx en un miembro. El coeficiente ln⁡3−ln⁡2\ln 3 - \ln 2 es positivo, porque el logaritmo natural es estrictamente creciente y 2<32 < 3.

  4. x=ln⁡3ln⁡3−ln⁡2=log⁡323x = \frac{\ln 3}{\resaltar{\ln 3 - \ln 2}} = \dato{s}{\log_{\frac{3}{2}} 3}

    Dividimos por ese coeficiente. Por la ley del cociente, el denominador es ln⁡32\ln \frac{3}{2}, y por el cambio de base la solución es un logaritmo en base 32\frac{3}{2}; vale aproximadamente 2,71.

  5. 22=4>31,23=8<322^2 = 4 > \resaltar{3^1}, \quad 2^3 = 8 < \resaltar{3^2}

    Una tabla de valores confirma la ubicación: en 22 la primera potencia es mayor, y en 33 la segunda; las gráficas se cortan entre ambos números, en el único punto en que xx cumple la ecuación.

Ecuaciones que se reducen a una cuadrática

Si en la ecuación aparecen axa^x y a2xa^{2x}, o potencias que se reducen a ellas, como 4x=(2x)24^x = (2^x)^2, el cambio de variable t=axt = a^x la convierte en una ecuación cuadrática en tt, que se resuelve con los métodos de la clase sobre la factorización del polinomio cuadrático. Ahora bien, la nueva variable no recorre todos los reales: como axa^x es siempre positiva, solo se admiten los valores positivos de tt. Cada raíz positiva da, por el teorema de inyectividad, exactamente una solución x=log⁡atx = \log_a t, y cada raíz negativa o nula se descarta.

EjemploUn cambio de variable

Resolver la ecuación 4x−2x−6=04^x - 2^x - 6 = 0.

Demostración

  1. 4x=(22)x=(2x)2,t=2x>0\resaltar{4^x} = (2^2)^x = \resaltar{(2^x)^2}, \quad \dato{t}{t = 2^x > 0}

    Escribimos 4x4^x como el cuadrado de 2x2^x y llamamos tt a esta potencia, que es positiva.

  2. t2−t−6=(t−3)(t+2)=0\resaltar{t^2 - t - 6} = \resaltar{(t - 3)(t + 2)} = 0

    La ecuación es cuadrática en tt, y se factoriza buscando dos números de producto −6-6 y suma −1-1.

  3. t=−2→2x=−2<0t = -2 \rightarrow 2^x = \resaltar{-2} < 0

    La raíz t=−2t = -2 se descarta, porque tt es positiva: la ecuación 2x=−22^x = -2 no tiene solución. La figura muestra la parábola en el plano de la variable tt, de la que solo cuenta la parte con t>0t > 0.

  4. 2x=3↔x=log⁡232^x = \resaltar{3} \leftrightarrow x = \resaltar{\log_2 3}

    La raíz t=3t = 3 es positiva y da exactamente una solución, por el teorema de inyectividad; vale aproximadamente 1,58.

  5. 4log⁡23−2log⁡23−6=9−3−6=04^{\log_2 3} - 2^{\log_2 3} - 6 = \resaltar{9 - 3 - 6} = \resaltar{0}

    Comprobación: por la definición de logaritmo, 2log⁡23=32^{\log_2 3} = 3, y el cuadrado de esa potencia es 99.