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Topos Uranos
Español

Las funciones hiperbólicas

Resumen

Esta clase estudia el coseno, el seno y la tangente hiperbólicos, tres funciones que se obtienen combinando la exponencial natural exe^x con su recíproca e−xe^{-x}. Determina su paridad, su signo, su monotonía y su recorrido, y demuestra la identidad cosh⁡2x−sinh⁡2x=1\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1, según la cual el punto (cosh⁡t,sinh⁡t)\left( \cosh t, \sinh t \right) recorre la rama derecha de la hipérbola x2−y2=1x^2 - y^2 = 1 y pasa una sola vez por cada uno de sus puntos, de donde proviene su nombre. Deduce después las fórmulas de adición y del argumento doble, y obtiene las funciones inversas, que se expresan mediante logaritmos. Describe, por último, la catenaria, que es la forma de una cadena suspendida, y el área del sector hiperbólico, que anuncia la analogía con las funciones circulares.

Objetivos de aprendizaje

  1. Definir el coseno, el seno y la tangente hiperbólicos a partir de la exponencial natural, y demostrar su paridad, su signo, su monotonía y sus cotas.
  2. Demostrar la identidad fundamental y emplearla para parametrizar las ramas de las hipérbolas, reconociendo que cada punto de una rama corresponde a un único parámetro.
  3. Deducir las fórmulas de adición y del argumento doble, y aplicarlas a la demostración de identidades y desigualdades.
  4. Obtener las funciones hiperbólicas inversas con sus dominios, resolviendo ecuaciones cuadráticas en eye^y, y usarlas para resolver ecuaciones hiperbólicas.

Definición y primeras propiedades

En la clase sobre el número e y la exponencial natural se definió la función exe^x, positiva y estrictamente creciente en toda la recta real. Su recíproca e−x=1exe^{-x} = \frac{1}{e^x} es también positiva, pero estrictamente decreciente, y su gráfico es el reflejo del de exe^x respecto del eje yy, según la clase sobre las operaciones con funciones. La semisuma y la semidiferencia de estas dos funciones, y su cociente, aparecen con tanta frecuencia en la geometría, en la física y en el cálculo que reciben nombre propio.

Para todo número real xx se definen el coseno hiperbólico, el seno hiperbólico y la tangente hiperbólica de xx como la semisuma de exe^x y e−xe^{-x}, su semidiferencia y el cociente entre la segunda y la primera, respectivamente.
cosh⁡x=ex+e−x2,sinh⁡x=ex−e−x2,tanh⁡x=sinh⁡xcosh⁡x=ex−e−xex+e−x\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}, \qquad \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}, \qquad \tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}

Las tres funciones están definidas en todo R\mathbb{R}: el denominador de la tangente es una suma de dos números positivos y nunca se anula. En x=0x = 0 se tiene e0=1e^0 = 1, de modo que cosh⁡0=1\cosh 0 = 1, sinh⁡0=0\sinh 0 = 0 y tanh⁡0=0\tanh 0 = 0. El adjetivo «hiperbólico» se justificará en la tercera sección, donde se verá que estas funciones describen una hipérbola.

LemaParidad y descomposición de la exponencial

El coseno hiperbólico es una función par, y el seno y la tangente hiperbólicos son funciones impares. Además, para todo real xx se cumplen ex=cosh⁡x+sinh⁡xe^x = \cosh x + \sinh x y e−x=cosh⁡x−sinh⁡xe^{-x} = \cosh x - \sinh x.

Al sustituir xx por −x-x, las funciones exe^x y e−xe^{-x} intercambian sus papeles. La figura muestra los gráficos del coseno y del seno hiperbólicos con dos puntos de abscisas opuestas en cada uno.

Demostración

  1. cosh⁡(−x)=e−x+ex2=cosh⁡x\cosh(-x) = \frac{\resaltar{e^{-x} + e^{x}}}{2} = \cosh x

    Al sustituir xx por −x-x, la semisuma no cambia, porque sus dos sumandos se intercambian: el coseno hiperbólico es par, y su gráfico es simétrico respecto del eje yy.

  2. sinh⁡(−x)=e−x−ex2=−sinh⁡x\sinh(-x) = \frac{\resaltar{e^{-x} - e^{x}}}{2} = -\sinh x

    La semidiferencia, en cambio, cambia de signo: el seno hiperbólico es impar, y su gráfico es simétrico respecto del origen.

  3. tanh⁡(−x)=−sinh⁡xcosh⁡x=−tanh⁡x\tanh(-x) = \frac{\resaltar{-\sinh x}}{\resaltar{\cosh x}} = -\tanh x

    La tangente, cociente de una función impar entre una par, es impar.

  4. cosh⁡x+sinh⁡x=ex,cosh⁡x−sinh⁡x=e−x\cosh x + \sinh x = \resaltar{e^x}, \qquad \cosh x - \sinh x = \resaltar{e^{-x}}

    Sumando y restando las definiciones del coseno y del seno hiperbólicos se recuperan las dos exponenciales: cosh⁡x\cosh x y sinh⁡x\sinh x son, respectivamente, la parte par y la parte impar de la exponencial.

EjemploLos gráficos del coseno y del seno hiperbólicos

Los gráficos de cosh⁡\cosh y de sinh⁡\sinh se construyen sumando y restando, abscisa por abscisa, las ordenadas de ex2\frac{e^x}{2} y de e−x2\frac{e^{-x}}{2}.

Demostración

  1. y=ex2,e02=12y = \frac{e^x}{2}, \quad \frac{e^0}{2} = \frac{1}{2}

    El gráfico de ex2\frac{e^x}{2} se obtiene del de exe^x comprimiéndolo verticalmente a la mitad: corta el eje yy en 12\frac{1}{2}, crece sin cota hacia la derecha y se acerca al eje xx hacia la izquierda.

  2. y=e−x2y = \frac{e^{-x}}{2}

    El gráfico de e−x2\frac{e^{-x}}{2} es el reflejo del anterior respecto del eje yy.

  3. cosh⁡0=12+12=1\cosh 0 = \resaltar{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = \resaltar{1}

    En cada abscisa, cosh⁡x\cosh x es la suma de las dos ordenadas. En 00 ambas valen 12\frac{1}{2}: el gráfico pasa por (0,1)(0, 1), y es simétrico respecto del eje yy, porque el coseno hiperbólico es par.

  4. cosh⁡x−ex2=e−x2>0\cosh x - \frac{e^x}{2} = \frac{e^{-x}}{2} > 0

    El coseno hiperbólico supera a ex2\frac{e^x}{2} exactamente en e−x2\frac{e^{-x}}{2}, cantidad positiva que se hace tan pequeña como se quiera cuando xx crece: hacia la derecha, el gráfico de cosh⁡\cosh se acerca por encima al de ex2\frac{e^x}{2}, y hacia la izquierda, por simetría, al de e−x2\frac{e^{-x}}{2}.

  5. sinh⁡0=12−12=0\sinh 0 = \resaltar{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}} = \resaltar{0}

    El seno hiperbólico es la diferencia de las ordenadas. Pasa por el origen y su gráfico es simétrico respecto del origen, porque el seno hiperbólico es impar.

  6. cosh⁡x−sinh⁡x=e−x>0\cosh x - \sinh x = e^{-x} > 0

    Hacia la derecha, el gráfico de sinh⁡\sinh se acerca por debajo al de ex2\frac{e^x}{2}, mientras el de cosh⁡\cosh lo hace por encima: los dos se aproximan entre sí sin llegar a tocarse, porque su diferencia es positiva.

El signo del seno hiperbólico se lee en su definición: sinh⁡x>0\sinh x > 0 equivale a ex>e−xe^x > e^{-x}, y como la exponencial es estrictamente creciente, esto ocurre exactamente cuando x>−xx > -x, es decir, cuando x>0x > 0. Por tanto, el seno hiperbólico es negativo si x<0x < 0, nulo en 00 y positivo si x>0x > 0; la tangente hiperbólica, cociente del seno entre un número positivo, tiene el mismo signo. El coseno hiperbólico, en cambio, es siempre positivo, y algo más es cierto.

LemaCota inferior del coseno hiperbólico

Para todo real xx se cumple cosh⁡x−1=2sinh⁡2x2\cosh x - 1 = 2 \sinh^2 \frac{x}{2}. En consecuencia, cosh⁡x≥1\cosh x \geq 1, y la igualdad se da solo cuando x=0x = 0.

La idea es reconocer en el numerador de cosh⁡x−1\cosh x - 1 el cuadrado de una diferencia. La figura muestra el gráfico del coseno hiperbólico sobre la recta y=1y = 1, con la diferencia entre ambos como un segmento vertical.

Demostración

  1. ex=(ex2)2,e−x=(e−x2)2,ex2e−x2=1e^x = \left( e^{\frac{x}{2}} \right)^2, \quad e^{-x} = \left( e^{-\frac{x}{2}} \right)^2, \quad \dato{p}{e^{\frac{x}{2}} e^{-\frac{x}{2}} = 1}

    Por la ley de los exponentes, exe^x es el cuadrado de ex2e^{\frac{x}{2}}, e−xe^{-x} es el de e−x2e^{-\frac{x}{2}}, y el producto de estas dos potencias es e0=1e^0 = 1.

  2. cosh⁡x−1=ex−2+e−x2=(ex2−e−x2)22=2sinh⁡2x2\cosh x - 1 = \frac{\resaltar{e^x - 2 + e^{-x}}}{2} = \frac{\resaltar{\left( e^{\frac{x}{2}} - e^{-\frac{x}{2}} \right)^2}}{2} = \dato{c}{2 \sinh^2 \frac{x}{2}}

    Por tanto, el numerador de cosh⁡x−1\cosh x - 1 es el cuadrado de una diferencia, y esa diferencia es el doble de sinh⁡x2\sinh \frac{x}{2}.

  3. cosh⁡x−1=2sinh⁡2x2≥0\cosh x - 1 = \resaltar{2 \sinh^2 \frac{x}{2}} \geq 0

    Un cuadrado no es negativo: el coseno hiperbólico es al menos 11.

  4. cosh⁡x=1↔ex2=e−x2↔x=0\cosh x = 1 \leftrightarrow e^{\frac{x}{2}} = e^{-\frac{x}{2}} \leftrightarrow \resaltar{x = 0}

    La igualdad exige que la base del cuadrado sea nula, es decir, ex2=e−x2e^{\frac{x}{2}} = e^{-\frac{x}{2}}; como la exponencial es inyectiva, esto exige x2=−x2\frac{x}{2} = -\frac{x}{2}, o sea, x=0x = 0.

La desigualdad cosh⁡x≥1\cosh x \geq 1 es la desigualdad entre la media aritmética y la media geométrica de los números positivos exe^x y e−xe^{-x}, cuya media geométrica es 11.