Geometria analytica plani: synthesis et provocationes

Svmmarivm

Haec lectio partem geometriae analyticae plani dicatam conclvdit. Qvae in novem eivs lectionibvs demonstrata svnt in catenam dedvctivam colligit, a formvla distantiae vsqve ad theorema verticvm programmationis linearis; ostendit qvomodo pars in prioribvs partibvs nitatvr, praesertim in completione qvadrati, in discriminante et in tabvlis signorvm, et qvomodo partem proximam praeparet, cvivs fvnctiones transcendentes hyperbolam denvo describvnt. Deinde probationem finalem proponit, initiali parallelam, et decem provocationibvs finitvr, difficilioribvs qvam problemata in lectionibvs proposita, qvae plvres lectiones conivngere postvlant et in qvoqve casv ideam invenire qvae viam aperit.

Proposita discendi

Effectvs praecipvos partis envntiare et explicare qvomodo qvisqve ex antecedentibvs pendeat.
Methodos partis cvm methodis partivm priorvm et partis proximae conferre.
Problemata solvere qvae rectas, vectores, sectiones conicas et inaeqvalitates conivngvnt, eligendo inter definitionem metricam cvrvae, eivs aeqvationem et discriminans instrvmentvm efficacissimvm.
Condiciones minimi, contactvs et loci geometrici in aeqvationes vertere, et confirmare aeqvationem inventam exacte copiam qvaesitam describere.

Qvae vnitas consecvta est

Coordinatae, recta et vectores

Pars ab vna idea incepit: qvodqve pvnctvm plani cvm pari coordinatarvm svarvm identificare. Inde secvtvm est, in lectione de aeqvatione rectae, distantiam inter dvo pvncta ex theoremate Pythagorae conseqvi et declivitatem rectae non pendere a pvnctis qvibvs compvtatvr, propter similitvdinem triangvlorvm. Haec dvo theoremata, vna cvm libera electione axivm, aeqvalitate angvlorvm correspondentivm inter parallelas, svmma angvlorvm triangvli et angvlis triangvli isoscelis, svnt facta geometriae Evclideae qvae pars initio expresse admittit, qvia eorvm demonstratio ad constrvctionem axiomaticam illivs geometriae pertinet. Ex invariantia declivitatis dedvctvm est pvncta rectae exacte esse solvtiones aeqvationis $Ax + By + C = 0$ ; ex calcvlo cvm aeqvationibvs dvarvm rectarvm, dvas rectas non verticales parallelas esse si et solvm si eandem declivitatem habent; ex theoremate Pythagorae eivsqve conversa, vna cvm aeqvalitate angvlorvm correspondentivm, eas perpendicvlares esse si et solvm si prodvctvm declivitatvm earvm est $-1$ ; et ex theoremate Pythagorae, perpendicvlarem a pvncto dvctam viam brevissimam ad rectam esse.

Lectio de vectoribvs in plano hos effectvs rvrsvs formavit, ab electione axivm non pendens. Vectores, cvm svmma sva et prodvcto per scalarem, octo axiomatibvs spatii vectorialis satisfacivnt; prodvctvm scalare de perpendicvlaritate decernit per condicionem $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ , qvae rectas verticales iam non exclvdit, et inaeqvalitatem Cavchy-Schwarzianam, inaeqvalitatem triangvlarem et proiectionem orthogonalem praebet. Inde obtentae svnt aeqvatio vectorialis rectae, vector normalis $\left( A, B \right)$ rectae $Ax + By + C = 0$ et formvla distantiae pvncti a recta, qvae in omnibvs fere lectionibvs posterioribvs redit:

\operatorname{d}(P, r) = \frac{\abs{A x_1 + B y_1 + C}}{\sqrt{A^2 + B^2}}

Sectiones conicae per distantias definitae

Qvinqve lectiones qvae postea venervnt eandem methodvm ad qvattvor cvrvas adhibvervnt: cvrvam per proprietatem distantiarvm definire, eam qvadrando in aeqvationem vertere, deinde conversam demonstrare, qvia qvadratio pvncta aliena addere potest. Lectio de aeqvatione parabolarvm parabolam per focvm et directricem definivit, demonstravit delineationes polynomiorvm qvadraticorvm exacte esse parabolas axe verticali, et proprietatem earvm reflexionis stabilivit; lectio de characterizatione parabolarvm qvadrato completo elementa earvm ex coefficientibvs obtinvit, et demonstravit verticem esse pvnctvm extremvm atqve discriminans de intersectionibvs cvm axe horizontali decernere.

Lectio de ellipsibvs et circvmferentiis ellipsim per svmmam constantem $2a$ distantiarvm a dvobvs focis definivit, aeqvationem eivs redvctam cvm $b^2 = a^2 - c^2$ dedvxit et demonstravit distantias cvivsqve pvncti a focis esse $a + ex$ et $a - ex$ ; circvmferentia apparvit ellipsis focis congrventibvs. Lectio de circvmferentia positvm pvncti per eivs potentiam mensa est, de positv rectae decrevit distantiam centri cvm radio conferendo, demonstravit tangentem radio perpendicvlarem esse, sex positvs dvarvm circvmferentiarvm per axem earvm radicalem in classes digessit et theorema potentiae pvncti demonstravit, ex qvo seqvvntvr theorema chordarvm, theorema secantis et tangentis et theorema centri radicalis. Lectio de hyperbolis svmmam differentia svbstitvit, cvm $c^2 = a^2 + b^2$ , asymptotos investigavit, demonstravit delineationem $y = \frac{1}{x}$ hyperbolam aeqvilateram esse et ostendit rectam asymptoto parallelam hyperbolam in vno solo pvncto secare neqve tamen tangentem esse.

Theoria vnificata et inaeqvalitates

Lectio de sectionibvs conicis qvattvor cvrvas in vnam theoriam collegit. Omnis aeqvatio $Ax^2 + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$ repraesentat, secvndvm signvm $AC$ et signvm membri alterivs $G$ qvod completio qvadratorvm relinqvit, ellipsim, hyperbolam, parabolam vel vnvm ex earvm casibvs degeneratis; et theorema foci et directricis ellipsim, parabolam et hyperbolam describit vt locos in qvibvs ratio inter distantiam a foco et distantiam a directrice est nvmervs fixvs $e$ , minor qvam, aeqvalis vel maior qvam $1$ .

Vltima lectio, de inaeqvationibvs in plano et programmatione lineari, ab aeqvalitatibvs ad inaeqvalitates transiit. Theorema semiplanorvm asserit expressionem $Ax + By + C$ signvm svvm in vtroqve latere rectae servare, vnde methodvs pvncti experimenti; regiones per inaeqvationes lineares definitae convexae svnt, qvia expressio linearis per segmentvm inter valores svos in terminis variat; expressio secvndi gradvs qvae in segmento non evanescit signvm svvm in eo servat, et ideo methodvs pvncti experimenti etiam regionibvs a sectionibvs conicis circvmscriptis valet; et fvnctio linearis maximvm et minimvm svvm in polygono convexo circvmscripto in vno ex eivs verticibvs attingit. Si regio circvmscripta non est, fieri potest vt optimvm non exsistat, et etiam si exsistit, fieri potest vt in vertice non attingatvr, vt in fascia; sed si regio aliqvem verticem habet, id est si nvllas rectas integras continet, omne optimvm qvod exsistit etiam in vno ex verticibvs attingitvr.

Tria instrvmenta per totam partem transevnt. Primvm est formvla distantiae, in qva omnes cvrvarvm definitiones nitvntvr. Altervm est completio qvadrati, qvae qvamqve aeqvationem secvndi gradvs ad formam perdvcit in qva eivs elementa legvntvr. Tertivm est discriminans, qvod in omnibvs sectionibvs conicis decernit vtrvm recta eas in dvobvs pvnctis, in vno an in nvllo secet, et qvod, cvm cavtione rectarvm axi parabolae vel asymptotis hyperbolae parallelarvm, tangentes sine limitibvs characterizat.

Pictvra qvae seqvitvr tria segmenta in vnam catenam colligit. Qvisqve nodvs colvmnae est definitio avt theorema, secvndvm ordinem logicvm nvmeratvs et arcv cvm anvlis antecedentibvs conivnctvs qvibvs eivs demonstratio vtitvr; circvm flvitant fvlcra, id est principia et instrvmenta ad qvae catena itervm atqve itervm recvrrit, qvodqve linea continva cvm anvlis qvi ei nitvntvr conivnctvm et linea pvnctata cvm anvlo in qvo stabilitvr, exceptis iis qvae admittvntvr avt ex partibvs prioribvs provenivnt, qvae vt circvli vacvi pingvntvr. Fvlcro pvlsato omnes anvli qvi eo vtvntvr illvstrantvr, et qvisqve anvlvs ad lectionem remittit in qva demonstratvr.

Fvlcra catenae

AGeometria Evclidea. Initio partis admittvntvr libera electio axivm, theorema Pythagorae eivsqve conversa, aeqvalitas angvlorvm correspondentivm inter parallelas, theorema Thaletis et similitvdo triangvlorvm, svmma angvlorvm triangvli et aeqvalitas angvlorvm qvi lateribvs aeqvalibvs triangvli isoscelis opponvntvr. In hac vnitate sine demonstratione admittitvr.
BFormvla distantiae. Distantia inter $(x_1, y_1)$ et $(x_2, y_2)$ est $\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ ; in ea omnes cvrvarvm definitiones partis nitvntvr. Constitvitvr in: 1. Distantia et pvnctvm medivm.
CAeqvatio generalis rectae. Pvncta omnis rectae exacte svnt solvtiones aeqvationis $Ax + By + C = 0$ , vbi $A$ et $B$ non ambo nihilo aeqvales svnt. Constitvitvr in: 2. Aeqvatio rectae.
DDistantia pvncti a recta. Distantia pvncti $(x_1, y_1)$ a recta $Ax + By + C = 0$ est $\frac{\abs{A x_1 + B y_1 + C}}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ . Constitvitvr in: 10. Distantia pvncti a recta.
ECompletio qvadrati. Valet $ax^2 + bx + c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a}$ , vbi $\Delta = b^2 - 4ac$ ; demonstratvm in parte de fvnctionibvs algebraicis. In hac vnitate sine demonstratione admittitvr.
FDiscriminans. Aeqvatio qvadratica dvas radices, vnam dvplicem avt nvllam habet provt eivs discriminans positivvm, nvllvm avt negativvm est, et sine radicibvs polynomivm signvm coefficientis svi principalis servat; demonstratvm in parte de fvnctionibvs algebraicis. In hac vnitate sine demonstratione admittitvr.
GTranslatio delineationvm. Si $x$ per $x - h$ et $y$ per $y - k$ svbstitvvntvr, delineatio $h$ vnitatibvs horizontaliter et $k$ verticaliter transfertvr; demonstratvm in parte de fvnctionibvs algebraicis. In hac vnitate sine demonstratione admittitvr.
HRegvla signorvm. Prodvctvm dvorvm factorvm positivvm est si idem signvm habent et negativvm si signa contraria habent; fvndamentvm est tabvlarvm signorvm partis de fvnctionibvs algebraicis. In hac vnitate sine demonstratione admittitvr.

Segmentvm 1 Coordinatae, recta et vectores
- Ex theoremate Pythagorae distantiam inter dvo pvncta et pvnctvm medivm segmenti obtinere.
- Demonstrare pvncta rectae exacte esse solvtiones aeqvationis primi gradvs, et parallelismvm perpendicvlaritatemqve per declivitates characterizare.
- Vectores plani svmma, prodvcto per scalarem, norma et prodvcto scalari instrvere, et inaeqvalitatem Cavchy-Schwarzianam, inaeqvalitatem triangvlarem et proiectionem orthogonalem dedvcere.
- Aeqvationem vectorialem rectae, eivs vectorem normalem et distantiam pvncti a recta obtinere.
1. Distantia et pvnctvm medivm. Distantia inter $P_1 = (x_1, y_1)$ et $P_2 = (x_2, y_2)$ est $\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ , et pvnctvm $\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$ segmentvm in dvo dimidia aeqvalia dividit.
  Nititvr: A (Geometria Evclidea). Demonstratvr in: Aeqvatio rectae et systemata Cartesiana.
2. Aeqvatio rectae. Declivitas non pendet a pvnctis qvibvs compvtatvr, et pvnctvm in recta declivitatis $m$ per $(x_0, y_0)$ transevnte iacet si et solvm si $y - y_0 = m(x - x_0)$ ; vnde omnis recta aeqvationem $Ax + By + C = 0$ habet.
  Nititvr: A (Geometria Evclidea). Demonstratvr in: Aeqvatio rectae et systemata Cartesiana.
3. Parallelae et perpendicvlares. Dvae rectae non verticales diversae parallelae svnt si et solvm si eandem declivitatem habent, et perpendicvlares si et solvm si prodvctvm declivitatvm earvm est $-1$ .
  Vtitvr: 2. Aeqvatio rectae. Nititvr: A (Geometria Evclidea), B (Formvla distantiae). Demonstratvr in: Aeqvatio rectae et systemata Cartesiana.
4. Perpendicvlaris via brevissima est. Si $Q$ est pes perpendicvlaris a $P$ ad rectam $r$ dvctae, omne alivd pvnctvm $R$ rectae $r$ satisfacit $d(P, R) > d(P, Q)$ .
  Vtitvr: 3. Parallelae et perpendicvlares. Nititvr: A (Geometria Evclidea), B (Formvla distantiae). Demonstratvr in: Aeqvatio rectae et systemata Cartesiana.
5. Operationes cvm vectoribvs. Svmma vectorvm et prodvctvm per scalarem octo axiomatibvs spatii vectorialis satisfacivnt, et dvo vectores non nvlli cvm $u_1 v_2 - u_2 v_1 \neq 0$ qvemqve vectorem plani vno tantvm modo generant.
  Demonstratvr in: Vectores in plano et aeqvationes parametricae rectae.
6. Prodvctvm scalare et perpendicvlaritas. Prodvctvm scalare $\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2$ commvtativvm et distribvtivvm est, satisfacit $\vec{u} \cdot \vec{u} = {\norma{\vec{u}}}^2$ , et dvo vectores perpendicvlares svnt si et solvm si $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ .
  Vtitvr: 5. Operationes cvm vectoribvs. Nititvr: A (Geometria Evclidea), B (Formvla distantiae). Demonstratvr in: Vectores in plano et aeqvationes parametricae rectae.
7. Cavchy-Schwarz et inaeqvalitas triangvlaris. Valet $\abs{\vec{u} \cdot \vec{v}} \le \norma{\vec{u}} \norma{\vec{v}}$ , vnde $\norma{\vec{u} + \vec{v}} \le \norma{\vec{u}} + \norma{\vec{v}}$ et, pro tribvs pvnctis, $d(P, R) \le d(P, Q) + d(Q, R)$ .
  Vtitvr: 6. Prodvctvm scalare et perpendicvlaritas. Nititvr: F (Discriminans). Demonstratvr in: Vectores in plano et aeqvationes parametricae rectae.
8. Proiectio orthogonalis. Si $\vec{v}$ nvllvs non est, vnvs tantvm nvmervs $t$ exstat talis vt $\vec{u} - t \vec{v}$ perpendicvlaris sit ad $\vec{v}$ , scilicet $t = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{{\norma{\vec{v}}}^2}$ .
  Vtitvr: 6. Prodvctvm scalare et perpendicvlaritas. Demonstratvr in: Vectores in plano et aeqvationes parametricae rectae.
9. Aeqvatio vectorialis et vector normalis. Pvncta rectae per $P_0$ cvm vectore directionis $\vec{d}$ transevntis svnt pvncta $P_0 + t \vec{d}$ , qvodqve cvm vno tantvm parametro $t$ ; et $\vec{n} = \left( A, B \right)$ perpendicvlaris est ad rectam $Ax + By + C = 0$ , cvivs pvncta svnt pvncta $P$ cvm $\vec{n} \cdot \vec{P_0 P} = 0$ .
  Vtitvr: 2. Aeqvatio rectae, 6. Prodvctvm scalare et perpendicvlaritas. Nititvr: C (Aeqvatio generalis rectae). Demonstratvr in: Vectores in plano et aeqvationes parametricae rectae.
10. Distantia pvncti a recta. Distantia pvncti $(x_1, y_1)$ a recta $Ax + By + C = 0$ est $\frac{\abs{A x_1 + B y_1 + C}}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ , et in pede perpendicvlaris attingitvr.
  Vtitvr: 4. Perpendicvlaris via brevissima est, 8. Proiectio orthogonalis, 9. Aeqvatio vectorialis et vector normalis. Nititvr: C (Aeqvatio generalis rectae). Demonstratvr in: Vectores in plano et aeqvationes parametricae rectae.
Segmentvm 2 Sectiones conicae per distantias definitae
- Parabolam per focvm et directricem definire, eivs aeqvationem obtinere et demonstrare delineationes polynomiorvm qvadraticorvm exacte esse parabolas axe verticali.
- Qvadrato completo verticem parabolae legere et per discriminans de eivs intersectionibvs cvm axe horizontali decernere.
- Aeqvationem redvctam ellipsis et fvndamentalem hyperbolae dedvcere, cvm demonstratione conversae, et circvmferentiam vt ellipsim focis congrventibvs agnoscere.
- Positvm rectae et alterivs circvmferentiae respectv circvmferentiae investigare, et theorema potentiae pvncti demonstrare.
- Tangentes sectionvm conicarvm per discriminans characterizare, cvm cavtione rectarvm axi vel asymptotis parallelarvm, et rectas verticales seorsvm tractare.
1. Aeqvatio parabolae. Pvncta qvae a foco $(h, k + f)$ et a directrice $y = k - f$ aeqve distant exacte svnt ea cvrvae $(x - h)^2 = 4f(y - k)$ , symmetricae respectv axis svi $x = h$ .
  Nititvr: B (Formvla distantiae), G (Translatio delineationvm). Demonstratvr in: Aeqvatio parabolae: definitiones et proprietates.
2. Parabola et polynomivm qvadraticvm. Delineationes $y = ax^2 + bx + c$ , vbi $a \neq 0$ , exacte svnt parabolae axe verticali, cvm $f = \frac{1}{4a}$ , cvivs valor absolvtvs est distantia focalis.
  Vtitvr: 11. Aeqvatio parabolae. Nititvr: E (Completio qvadrati). Demonstratvr in: Aeqvatio parabolae: definitiones et proprietates.
3. Proprietas reflexionis. Tangens in pvncto $P$ parabolae angvlos aeqvales facit cvm parallela axi per $P$ dvcta et cvm recta qvae $P$ cvm foco ivngit.
  Vtitvr: 11. Aeqvatio parabolae. Nititvr: A (Geometria Evclidea), B (Formvla distantiae), F (Discriminans). Demonstratvr in: Aeqvatio parabolae: definitiones et proprietates.
4. Vertex et intersectiones cvm axe. Vertex cvrvae $y = ax^2 + bx + c$ est $\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4a}\right)$ , pvnctvm eivs infimvm si $a > 0$ et svmmvm si $a < 0$ , et parabola axem $x$ in dvobvs pvnctis, in vno avt in nvllo secat provt $\Delta$ positivvm, nvllvm avt negativvm est.
  Vtitvr: 12. Parabola et polynomivm qvadraticvm. Nititvr: E (Completio qvadrati), F (Discriminans). Demonstratvr in: Characterizatio parabolarvm earvmqve delineationes.
5. Aeqvatio redvcta ellipsis. Cvm $b^2 = a^2 - c^2$ , ellipsis focorvm $(\pm c, 0)$ et svmmae distantiarvm $2a$ exacte est cvrva $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ , et distantiae cvivsqve pvncti a focis svnt $a + \frac{c}{a} x$ et $a - \frac{c}{a} x$ .
  Nititvr: B (Formvla distantiae). Demonstratvr in: Aeqvatio ellipsis et circvmferentiae.
6. Aeqvatio circvmferentiae. Circvmferentia centri $(h, k)$ et radii $r$ est cvrva $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ , et est ellipsis cvivs dvo foci cvm centro congrvvnt.
  Vtitvr: 15. Aeqvatio redvcta ellipsis. Nititvr: B (Formvla distantiae), G (Translatio delineationvm). Demonstratvr in: Aeqvatio ellipsis et circvmferentiae.
7. Contactvs ellipsis. Recta non verticalis ellipsim tangit si et solvm si discriminans aeqvationis qvae ea svbstitvta oritvr nvllvm est; si positivvm est, recta ellipsim in dvobvs pvnctis secat, et si negativvm, eam non tangit. Solae tangentes verticales svnt $x = a$ et $x = -a$ .
  Vtitvr: 15. Aeqvatio redvcta ellipsis. Nititvr: F (Discriminans). Demonstratvr in: Aeqvatio ellipsis et circvmferentiae.
8. Positvs rectae. Si $\delta$ est distantia centri a recta, haec circvmferentiam non tangit si $\delta > r$ , eam tangit solvm in pede perpendicvlaris si $\delta = r$ et eam in dvobvs pvnctis secat si $\delta < r$ .
  Vtitvr: 4. Perpendicvlaris via brevissima est, 16. Aeqvatio circvmferentiae. Nititvr: A (Geometria Evclidea), D (Distantia pvncti a recta), F (Discriminans). Demonstratvr in: Circvmferentia: tangentes, positvs mvtvi et potentia pvncti.
9. Tangens radio perpendicvlaris est. Recta per pvnctvm $T$ circvmferentiae transiens tangens est si et solvm si perpendicvlaris est ad radivm qvi centrvm cvm $T$ ivngit; per qvodqve pvnctvm vna sola tangens transit.
  Vtitvr: 3. Parallelae et perpendicvlares, 4. Perpendicvlaris via brevissima est, 18. Positvs rectae. Demonstratvr in: Circvmferentia: tangentes, positvs mvtvi et potentia pvncti.
10. Axis radicalis et positvs mvtvi. Pvncta aeqvalis potentiae respectv dvarvm circvmferentiarvm centris diversis rectam efficivnt ad rectam centrorvm perpendicvlarem, et ambae dvo pvncta commvnia habent si $\abs{r_1 - r_2} < d < r_1 + r_2$ , vnvm si $d$ vni ex illis terminis aeqvalis est, qvo casv, excepto pvncto contactvs, pvncta minoris intra maiorem iacent in contactv interiore et pvncta vtrivsqve extra alteram in exteriore, et nvllvm in ceteris casibvs.
  Vtitvr: 3. Parallelae et perpendicvlares, 7. Cavchy-Schwarz et inaeqvalitas triangvlaris, 16. Aeqvatio circvmferentiae, 18. Positvs rectae. Nititvr: C (Aeqvatio generalis rectae), D (Distantia pvncti a recta). Demonstratvr in: Circvmferentia: tangentes, positvs mvtvi et potentia pvncti.
11. Potentia pvncti. Si recta per $P$ transiens circvmferentiam in $A$ et $B$ secat, valet $d(P, A) \cdot d(P, B) = \abs{p}$ , vbi $p = d^2 - r^2$ ; et a pvncto exteriore exacte dvae tangentes exevnt, ambae longitvdinis $\sqrt{p}$ .
  Vtitvr: 18. Positvs rectae, 19. Tangens radio perpendicvlaris est, 20. Axis radicalis et positvs mvtvi. Nititvr: A (Geometria Evclidea). Demonstratvr in: Circvmferentia: tangentes, positvs mvtvi et potentia pvncti.
12. Aeqvatio hyperbolae. Cvm $b^2 = c^2 - a^2$ , hyperbola focorvm $(\pm c, 0)$ et differentiae distantiarvm $2a$ exacte est cvrva $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ , cvivs rami ad asymptotos $y = \pm \frac{b}{a} x$ accedvnt.
  Nititvr: B (Formvla distantiae). Demonstratvr in: Aeqvatio hyperbolae eivsqve dedvctio.
13. Hyperbola aeqvilatera. Delineatio $y = \frac{1}{x}$ est hyperbola focorvm $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$ et $(-\sqrt{2}, -\sqrt{2})$ cvivs distantiae ab eis differentia $2\sqrt{2}$ discrepant; aeqvilatera est et eivs asymptoti svnt axes.
  Vtitvr: 22. Aeqvatio hyperbolae. Nititvr: A (Geometria Evclidea), B (Formvla distantiae). Demonstratvr in: Aeqvatio hyperbolae eivsqve dedvctio.
14. Contactvs hyperbolae. Recta asymptotis non parallela hyperbolam tangit exacte cvm discriminans nvllvm est; recta asymptoto parallela, qvae cvm ea non congrvit, hyperbolam in vno solo pvncto secat et transit; et solae tangentes verticales svnt $x = a$ et $x = -a$ .
  Vtitvr: 22. Aeqvatio hyperbolae. Nititvr: F (Discriminans). Demonstratvr in: Aeqvatio hyperbolae eivsqve dedvctio.
Segmentvm 3 Theoria vnificata et inaeqvalitates
- Aeqvationes $Ax^2 + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$ secvndvm signvm $AC$ et secvndvm membrvm altervm qvod completio qvadratorvm relinqvit in classes digerere.
- Ellipsim, parabolam et hyperbolam vt locos foci et directricis describere, secvndvm earvm eccentricitatem.
- Demonstrare expressionem linearem signvm svvm in vtroqve latere rectae svae servare et in hoc methodvm pvncti experimenti fvndare.
- Ostendere regiones per inaeqvationes lineares definitas convexas esse, methodvm pvncti experimenti ad sectiones conicas extendere et demonstrare fvnctionem linearem valores svos extremos in polygono convexo circvmscripto in vertice attingere, et in vertice etiam in regione non circvmscripta verticibvs praedita cvm illi valores exsistvnt.
1. Aeqvatio generalis secvndi gradvs. Omnis aeqvatio $Ax^2 + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$ , vbi $A$ et $C$ non ambo nihilo aeqvales svnt, ellipsim, hyperbolam avt parabolam repraesentat provt $AC$ positivvm, negativvm avt nvllvm est, avt vnvm ex earvm casibvs degeneratis, inter qvos decernit membrvm altervm $G$ qvod completio qvadratorvm relinqvit.
  Vtitvr: 11. Aeqvatio parabolae, 15. Aeqvatio redvcta ellipsis, 16. Aeqvatio circvmferentiae, 22. Aeqvatio hyperbolae. Nititvr: E (Completio qvadrati), F (Discriminans), G (Translatio delineationvm). Demonstratvr in: Sectiones conicae: characterizatio et delineatio.
2. Theorema foci et directricis. Pvncta qvorvm distantia a foco $F$ est $e$ mvltiplex distantiae eorvm a directrice $L$ ellipsim efficivnt si $e < 1$ , parabolam si $e = 1$ et hyperbolam si $e > 1$ .
  Vtitvr: 11. Aeqvatio parabolae, 15. Aeqvatio redvcta ellipsis, 22. Aeqvatio hyperbolae, 25. Aeqvatio generalis secvndi gradvs. Nititvr: A (Geometria Evclidea), B (Formvla distantiae), E (Completio qvadrati). Demonstratvr in: Sectiones conicae: characterizatio et delineatio.
3. Directrices ellipsis et hyperbolae. In ellipsi et in hyperbola eccentricitatis $e = \frac{c}{a}$ , distantia cvivsqve pvncti a foco $(c, 0)$ est $e$ mvltiplex distantiae eivs a recta $x = \frac{a}{e}$ ; circvmferentia vero directricem non habet.
  Vtitvr: 15. Aeqvatio redvcta ellipsis, 22. Aeqvatio hyperbolae, 26. Theorema foci et directricis. Demonstratvr in: Sectiones conicae: characterizatio et delineatio.
4. Theorema semiplanorvm. Expressio $Ax + By + C$ positiva est in omnibvs pvnctis alterivs lateris rectae $Ax + By + C = 0$ et negativa in omnibvs pvnctis reliqvi; vnde methodvs pvncti experimenti.
  Nititvr: C (Aeqvatio generalis rectae), H (Regvla signorvm). Demonstratvr in: Inaeqvationes in plano et programmatio linearis.
5. Expressiones per segmentvm. In segmento terminorvm $P$ et $Q$ , expressio linearis satisfacit $L(P_t) = (1 - t) L(P) + t L(Q)$ , ita vt regiones solvtionvm systematvm inaeqvationvm linearivm convexae sint; et expressio secvndi gradvs qvae in segmento non evanescit signvm svvm in eo servat, ita vt qvaeqve sectio conica planvm in regiones, dvas avt tres, dividat, in qvibvs methodvs pvncti experimenti valet.
  Vtitvr: 2. Aeqvatio rectae, 28. Theorema semiplanorvm, 7. Cavchy-Schwarz et inaeqvalitas triangvlaris, 14. Vertex et intersectiones cvm axe. Nititvr: F (Discriminans), H (Regvla signorvm). Demonstratvr in: Inaeqvationes in plano et programmatio linearis.
6. Theorema verticvm. Fvnctio $ax + by + c$ maximvm et minimvm svvm attingit in regione, non vacva et circvmscripta, systematis inaeqvationvm linearivm non strictarvm, et vtrvmqve in aliqvo ex eivs verticibvs; si regio circvmscripta non est sed verticem habet, id est si nvllas rectas integras continet, omne maximvm avt minimvm qvod attingitvr etiam in vertice attingitvr.
  Vtitvr: 29. Expressiones per segmentvm. Demonstratvr in: Inaeqvationes in plano et programmatio linearis.

Ad fvnctiones transcendentes. Catena stvdivm cvrvarvm algebraicarvm primi et secvndi gradvs consvmmat. Pars proxima a fvnctionibvs algebraicis egreditvr, sed hyperbola in ea redit: areae svb $y = \frac{1}{x}$ vt logarithmi se gervnt, et pvnctvm $(\cosh t, \sinh t)$ ramvm dextrvm cvrvae $x^2 - y^2 = 1$ percvrrit.