Ad argvmentvm transi
Topos Uranos
Latine

Aeqvatio hyperbolae eivsqve dedvctio

Svmmarivm

Haec lectio hyperbolam definit vt copiam pvnctorvm qvorvm differentia distantiarvm a dvobvs pvnctis fixis, focis, constans est, et ex ea definitione aeqvationem eivs dedvcit. Elementa eivs (centrvm, vertices, focos, asymptotos et eccentricitatem) perscrvtatvr, eam ad centrvm qvodlibet transfert et ostendit qvomodo in aeqvatione qvadratica qvadratis completis agnoscatvr, non omisso casv qvo aeqvatio par rectarvm describit. Problematis de intersectione, de contactv et de locis geometricis finitvr.

Proposita discendi

  1. Definitionem hyperbolae per focos eivs envntiare et condicionem ivstificare qvam differentia constans distantiarvm explere debet.
  2. Ex definitione aeqvationem fvndamentalem hyperbolae dedvcere et in ea centrvm, vertices, focos, asymptotos et eccentricitatem eivs legere.
  3. Hyperbolam cvivs axes axibvs coordinatarvm paralleli svnt in aeqvatione qvadratica qvadratis completis agnoscere, et eam a casv degenerato distingvere.
  4. Problemata de intersectione, de contactv et de locis geometricis solvere in qvibvs hyperbolae occvrrvnt.

Definitio hyperbolae

In lectione de aeqvatione ellipsis et circvmferentiae, ellipsis definita est vt copia pvnctorvm qvorvm svmma distantiarvm a dvobvs focis constans est. Hyperbola oritvr si pro svmma differentia ponitvr.

Sint F1F_1 et F2F_2 dvo pvncta distincta plani, foci, distantia 2c2c inter se separata, et sit aa nvmervs ita vt 0<a<c0 < a < c. Hyperbola focorvm F1F_1 et F2F_2 est copia pvnctorvm PP plani qvorvm distantiae a focis exacte 2a2a inter se differvnt, qvicvmqve focvs propior sit.

Signis, si d1d_1 et d2d_2 svnt distantiae pvncti PP a F1F_1 et a F2F_2, pvnctvm PP ad hyperbolam pertinet cvm alteram ex dvabvs aeqvationibvs infra scriptis explet; pvncta qvae primam explent propivs ad F2F_2 iacent et ramvm efficivnt, et qvae secvndam explent, propivs ad F1F_1, altervm efficivnt:

d1−d2=±2ad_1 - d_2 = \pm 2a

Condicio 0<a<c0 < a < c non est arbitraria. In triangvlo verticvm PP, F1F_1 et F2F_2, differentia dvorvm latervm semper minor est qvam tertivm, cvivs longitvdo est 2c2c; inde efficitvr nvllvm pvnctvm extra rectam per focos dvctam differentiam distantiarvm habere posse qvae aeqvalis 2c2c avt maior sit. Si a=ca = c, sola pvncta qvae condicionem explent svnt ea dvarvm semirectarvm qvae a focis foras exevnt, et si a>ca > c, nvllvm est; prima harvm sententiarvm ex casv aeqvalitatis inaeqvalitatis triangvlaris efficitvr, in lectione de vectoribvs in plano demonstrato: ad u⃗=PF2⃗\vec{u} = \vec{PF_2} et v⃗=F2F1⃗\vec{v} = \vec{F_2F_1} adhibitvs, aeqvalitas d⁡(P,F1)=d⁡(P,F2)+2c\operatorname{d}(P, F_1) = \operatorname{d}(P, F_2) + 2c postvlat vt alter horvm vectorvm sit prodvctvm alterivs per nvmervm non negativvm, id est, vt PP in recta focorvm iaceat et F2F_2 inter PP et F1F_1 cadat (avt cvm PP congrvat); si a=0a = 0, condicio dicit PP a focis aeqve distare, et perpendicvlarem mediam segmenti focos ivngentis describit. Nvlla harvm copiarvm hyperbola est, et ideo exclvdvntvr.

Pvnctvm medivm segmenti focos ivngentis est centrvm hyperbolae, et recta per focos dvcta est eivs axis focalis. Dvo pvncta hyperbolae in axe focali sita svnt eivs vertices; distantia inter eos est 2a2a, ita vt vterqve vertex distantia aa a centro absit.