双曲線の方程式とその導出

双曲線の定義

楕円と円の方程式の課では、楕円を、二つの焦点までの距離の和が一定である点の集合として定義した。双曲線は、和を差に置き換えることで得られる。

$F_1$ と $F_2$ を平面上の異なる二点（焦点）とし、その間の距離を $2c$ とする。また $a$ を $0 < a < c$ を満たす数とする。$F_1$ と $F_2$ を焦点とする双曲線とは、平面上の点 $P$ のうち、どちらの焦点が近いかにかかわらず、焦点までの距離の差がちょうど $2a$ であるものの集合である。

記号で書けば、$d_1$ と $d_2$ をそれぞれ $P$ から $F_1$ までと $F_2$ までの距離とするとき、点 $P$ が双曲線に属するのは、以下の二つの方程式のいずれかを満たすときである。一つ目を満たす点は $F_2$ に近く、一つの枝をなし、二つ目を満たす点は $F_1$ に近く、もう一つの枝をなす：

条件 $0 < a < c$ は恣意的なものではない。$P$、$F_1$、$F_2$ を頂点とする三角形では、二辺の差はつねに第三の辺より小さく、第三の辺の長さは $2c$ である。したがって、焦点を通る直線の外にあるどの点についても、距離の差が $2c$ 以上になることはない。$a = c$ ならば、条件を満たす点は焦点から外向きに出る二本の半直線上の点だけであり、$a > c$ ならば、そのような点は一つもない。これらの主張のうち前者は三角不等式の等号成立の場合から従い、この場合は平面ベクトルの課で証明した。$\vec{u} = \vec{PF_2}$ と $\vec{v} = \vec{F_2F_1}$ に適用すると、等式 $\operatorname{d}(P, F_1) = \operatorname{d}(P, F_2) + 2c$ は、一方のベクトルが他方のベクトルの非負の数倍であること、すなわち $P$ が焦点を通る直線上にあり、$F_2$ が $P$ と $F_1$ の間にある（または $P$ と一致する）ことを要求する。$a = 0$ ならば、条件は $P$ が両焦点から等距離にあることを意味し、焦点を結ぶ線分の垂直二等分線を表す。これらの集合はどれも双曲線ではないので、除外する。

焦点を結ぶ線分の中点を双曲線の中心といい、焦点を通る直線をその焦点軸という。焦点軸上にある双曲線の二点をその頂点という。頂点間の距離は $2a$ であり、各頂点は中心から距離 $a$ のところにある。