쌍곡선의 방정식과 그 유도

쌍곡선의 정의

타원과 원의 방정식에 관한 수업에서는 타원을 두 초점까지의 거리의 합이 일정한 점들의 집합으로 정의하였다. 쌍곡선은 합을 차로 바꾸면 얻어진다.

$F_1$과 $F_2$를 평면 위의 서로 다른 두 점(초점)이라 하고, 그 사이의 거리를 $2c$이라 하자. 또 $a$를 $0 < a < c$를 만족하는 수라 하자. $F_1$과 $F_2$를 초점으로 하는 쌍곡선은 평면 위의 점 $P$ 가운데, 어느 초점이 더 가까운지에 관계없이 두 초점까지의 거리의 차가 정확히 $2a$인 것들의 집합이다.

기호로 쓰면, $d_1$과 $d_2$를 각각 $P$에서 $F_1$까지와 $F_2$까지의 거리라 할 때, 점 $P$가 쌍곡선에 속하는 것은 아래의 두 방정식 중 하나를 만족할 때이다. 첫째 방정식을 만족하는 점들은 $F_2$에 더 가깝고 한 가지를 이루며, 둘째 방정식을 만족하는 점들은 $F_1$에 더 가깝고 다른 가지를 이룬다:

조건 $0 < a < c$은 임의로 정한 것이 아니다. $P$, $F_1$, $F_2$를 꼭짓점으로 하는 삼각형에서 두 변의 차는 항상 셋째 변보다 작고, 셋째 변의 길이는 $2c$이다. 따라서 초점을 지나는 직선 밖의 어떤 점도 거리의 차가 $2c$와 같거나 그보다 클 수 없다. $a = c$이면 조건을 만족하는 점은 초점에서 바깥쪽으로 뻗는 두 반직선 위의 점뿐이고, $a > c$이면 그런 점은 하나도 없다. 이 두 주장 가운데 앞의 것은 삼각부등식의 등호가 성립하는 경우로부터 따라 나오며, 이 경우는 평면벡터에 관한 수업에서 증명하였다. $\vec{u} = \vec{PF_2}$와 $\vec{v} = \vec{F_2F_1}$에 적용하면, 등식 $\operatorname{d}(P, F_1) = \operatorname{d}(P, F_2) + 2c$은 두 벡터 중 하나가 다른 것에 음이 아닌 수를 곱한 것일 것, 즉 $P$가 초점을 지나는 직선 위에 있고 $F_2$가 $P$와 $F_1$ 사이에 있을 것(또는 $P$와 일치할 것)을 요구한다. $a = 0$이면 조건은 $P$가 두 초점에서 같은 거리에 있다는 뜻이며, 초점을 잇는 선분의 수직이등분선을 나타낸다. 이 집합들은 어느 것도 쌍곡선이 아니므로 제외한다.

초점을 잇는 선분의 중점을 쌍곡선의 중심이라 하고, 초점을 지나는 직선을 그 초점축이라 한다. 초점축 위에 있는 쌍곡선의 두 점을 그 꼭짓점이라 한다. 두 꼭짓점 사이의 거리는 $2a$이므로, 각 꼭짓점은 중심에서 거리 $a$만큼 떨어져 있다.