अतिपरवलय का समीकरण और उसकी व्युत्पत्ति

अतिपरवलय की परिभाषा

दीर्घवृत्त और वृत्त का समीकरण विषयक पाठ में दीर्घवृत्त को उन बिंदुओं के समुच्चय के रूप में परिभाषित किया गया था जिनकी दो नाभियों से दूरियों का योग अचर है। योग के स्थान पर अंतर रखने से अतिपरवलय प्राप्त होता है।

मान लीजिए कि $F_1$ और $F_2$ समतल के दो अलग-अलग बिंदु हैं, नाभियाँ, जिनके बीच की दूरी $2c$ है, और मान लीजिए कि $a$ एक ऐसी संख्या है जिसके लिए $0 < a < c$। नाभियों $F_1$ और $F_2$ वाला अतिपरवलय समतल के उन बिंदुओं $P$ का समुच्चय है जिनकी नाभियों से दूरियों में ठीक $2a$ का अंतर है, चाहे कोई भी नाभि अधिक निकट हो।

प्रतीकों में, यदि $d_1$ और $d_2$ क्रमशः $P$ की $F_1$ से और $F_2$ से दूरियाँ हैं, तो बिंदु $P$ अतिपरवलय पर तब होता है जब वह नीचे दिए गए दो समीकरणों में से एक को संतुष्ट करता है; पहले को संतुष्ट करने वाले बिंदु $F_2$ के अधिक निकट हैं और एक शाखा बनाते हैं, और दूसरे को संतुष्ट करने वाले, जो $F_1$ के अधिक निकट हैं, दूसरी शाखा बनाते हैं:

शर्त $0 < a < c$ मनमानी नहीं है। शीर्षों $P$, $F_1$ और $F_2$ वाले त्रिभुज में दो भुजाओं का अंतर सदा तीसरी भुजा से छोटा होता है, जिसकी लंबाई $2c$ है; इससे यह निकलता है कि नाभियों से होकर जाने वाली रेखा के बाहर किसी भी बिंदु की दूरियों का अंतर $2c$ के बराबर या उससे बड़ा नहीं हो सकता। यदि $a = c$, तो शर्त को संतुष्ट करने वाले बिंदु केवल वे हैं जो नाभियों से बाहर की ओर जाने वाली दो किरणों पर हैं, और यदि $a > c$, तो कोई बिंदु नहीं है; इनमें से पहला कथन त्रिभुज असमिका की समता की स्थिति से निकलता है, जो समतल में सदिश विषयक पाठ में सिद्ध की गई थी: $\vec{u} = \vec{PF_2}$ और $\vec{v} = \vec{F_2F_1}$ पर लागू करने पर, समता $\operatorname{d}(P, F_1) = \operatorname{d}(P, F_2) + 2c$ यह माँगती है कि इन सदिशों में से एक दूसरे का किसी ऋणेतर संख्या से गुणनफल हो, अर्थात् $P$ नाभियों वाली रेखा पर हो और $F_2$, $P$ और $F_1$ के बीच हो (या $P$ से संपाती हो); यदि $a = 0$, तो शर्त कहती है कि $P$ नाभियों से समदूरस्थ है, और यह नाभियों को मिलाने वाले रेखाखंड के लंब समद्विभाजक का वर्णन करती है। इनमें से कोई भी समुच्चय अतिपरवलय नहीं है, और इसीलिए इन्हें बाहर रखा जाता है।

नाभियों को मिलाने वाले रेखाखंड का मध्य-बिंदु अतिपरवलय का केंद्र है, और नाभियों से होकर जाने वाली रेखा उसका नाभि अक्ष है। नाभि अक्ष पर स्थित अतिपरवलय के दो बिंदु उसके शीर्ष हैं; उनके बीच की दूरी $2a$ है, इसलिए प्रत्येक शीर्ष केंद्र से $a$ की दूरी पर है।