원: 접선, 위치 관계, 방멱

요약

이 수업에서는 원을 평면 위의 점, 직선, 다른 원과의 관계 속에서 다룬다. 점의 위치를 하나의 수, 곧 방멱으로 측정하는데, 방멱은 중심까지의 거리의 제곱과 반지름의 제곱의 차이다. 직선의 위치는 중심에서 직선까지의 거리를 반지름과 비교하여 판정하며, 이 판정법이 판별식에 의한 판정법과 일치함을 보인다. 접선이 반지름에 수직임을 증명하고 그 방정식을 이끌어 내며, 두 원의 여섯 가지 위치 관계를 근축을 이용하여 분류하고, 방멱 정리를 증명한다. 이 정리로부터 두 현에 관한 방멱 정리, 접선과 할선에 관한 방멱 정리, 외부의 점에서 그은 두 접선의 길이가 같다는 사실, 그리고 세 원의 근심이 얻어진다.

학습 목표

방멱과 중심에서 직선까지의 거리를 이용하여 원에 대한 점의 위치와 직선의 위치를 판정하고, 이 판정법을 판별식과 관련짓는다.
원 위의 한 점에서의 접선의 방정식과, 외부의 점에서 그은 두 접선의 방정식을 구한다.
두 원의 중심 사이의 거리를 반지름의 합 및 차와 비교하여 두 원의 위치 관계를 분류하고, 그 근축을 구한다.
방멱 정리와 그 결과들을 현, 접선, 자취에 관한 문제에 적용한다.

점의 위치와 방멱

타원과 원에 관한 수업에서는 중심이 $C = (h, k)$ 이고 반지름이 $r$ 인 원을 $C$ 까지의 거리가 $r$ 인 점들의 집합으로 정의하였고, 그 방정식 $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ 을 얻었으며, 완전제곱식을 만들어 전개한 방정식 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ 에서 원을 알아보는 방법을 보였다. 이 수업은 거기서 출발한다. 점 $P$ 의 $C$ 까지의 거리를 $d$ 라 하자. $d < r$ 이면 그 점은 원의 내부에 있다고 하고, $d = r$ 이면 원 위에 있다고 하며, $d > r$ 이면 원의 외부에 있다고 한다. $d$ 와 $r$ 은 음수가 아니므로, 이 둘을 비교하는 것은 그 제곱을 비교하는 것과 동치이다. 이는 실수 직선에 관한 수업의 부등식의 규칙에 따른다. 따라서 $P$ 의 위치는 단 하나의 수의 부호로 결정된다.

중심이 $C = (h, k)$ 이고 반지름이 $r$ 인 원이 있고, 점 $P = (x_0, y_0)$ 의 $C$ 까지의 거리를 $d$ 라 하자. 원에 대한 $P$ 의 방멱은 수 $p = d^2 - r^2$ 이다. $p < 0$ 이면 그 점은 내부에 있고, $p = 0$ 이면 원 위에 있으며, $p > 0$ 이면 외부에 있다.

거리 공식을 이용하면 방멱은 좌표로 아래와 같이 쓸 수 있다.

p = (x_0 - h)^2 + (y_0 - k)^2 - r^2

우변은 모든 항을 좌변으로 옮겨 쓴 원의 방정식의 좌변을 $(x_0, y_0)$ 에서 계산한 값이다. 원이 전개한 꼴로 주어지고 제곱항의 계수가 $1$ ( $x^2$ 과 $y^2$ 모두)일 때, 그 좌변은 같은 다항식을 전개한 것일 뿐이다. 따라서 방멱은 점의 좌표를 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F$ 에 대입하면 얻어지며, 중심과 반지름을 구할 필요가 없다. 예를 들어 원 $x^2 + y^2 - 2x - 4y - 20 = 0$ (중심 $(1, 2)$ , 반지름 $5$ )에 대하여, 점 $(4, 6)$ 의 방멱은 $0$ 이고 이 점은 원 위에 있으며, 점 $(3, 5)$ 의 방멱은 $-12$ 이고 이 점은 내부에 있고, 점 $(7, 2)$ 의 방멱은 $11$ 이고 이 점은 외부에 있다. 방멱이라는 이름의 까닭은 방멱 정리를 다루는 곳에서 밝혀지는데, 거기서 이 수가 중심과 무관하게 두 거리의 곱을 측정한다는 것을 보게 된다.