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Topos Uranos
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La circonferenza: tangenti, posizioni reciproche e potenza

Riepilogo

Questa lezione studia la circonferenza in relazione ai punti, alle rette e alle altre circonferenze del piano. Misura la posizione di un punto mediante un numero, la sua potenza, che è la differenza tra il quadrato della sua distanza dal centro e il quadrato del raggio; decide la posizione di una retta confrontando con il raggio la distanza del centro dalla retta, e mostra che questo criterio coincide con quello del discriminante. Dimostra che la tangente è perpendicolare al raggio e ne deduce l’equazione, classifica le sei posizioni reciproche di due circonferenze mediante il loro asse radicale e dimostra il teorema della potenza, da cui discendono il teorema delle corde, quello della secante e della tangente, l’uguaglianza dei due segmenti tangenti condotti da un punto esterno e il centro radicale di tre circonferenze.

Obiettivi di apprendimento

  1. Determinare la posizione di un punto e quella di una retta rispetto a una circonferenza, mediante la potenza e la distanza del centro dalla retta, e mettere in relazione questo criterio con il discriminante.
  2. Ricavare l’equazione della tangente in un punto della circonferenza e quelle delle due tangenti condotte da un punto esterno.
  3. Classificare le posizioni reciproche di due circonferenze confrontando la distanza tra i loro centri con la somma e la differenza dei loro raggi, e trovarne l’asse radicale.
  4. Applicare il teorema della potenza di un punto e le sue conseguenze a problemi di corde, di tangenti e di luoghi geometrici.

La posizione di un punto e la sua potenza

Nella lezione sulle ellissi e circonferenze si è definita la circonferenza di centro C=(h,k)C = (h, k) e raggio rr come l’insieme dei punti la cui distanza da CC è rr, se ne è ottenuta l’equazione (x−h)2+(y−k)2=r2(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 e si è mostrato come riconoscerla, completando i quadrati, in un’equazione sviluppata x2+y2+Dx+Ey+F=0x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0. Questa lezione parte da lì. Un punto PP la cui distanza da CC è dd è interno alla circonferenza se d<rd < r, sta sulla circonferenza se d=rd = r ed è esterno se d>rd > r. Poiché dd e rr non sono negativi, confrontarli equivale a confrontarne i quadrati, secondo le regole delle disuguaglianze della lezione sulla retta reale; ne segue che la posizione di PP è decisa dal segno di un solo numero.

Sia data una circonferenza di centro C=(h,k)C = (h, k) e raggio rr, e sia P=(x0,y0)P = (x_0, y_0) un punto la cui distanza da CC è dd. La potenza di PP rispetto alla circonferenza è il numero p=d2−r2p = d^2 - r^2. Il punto è interno se p<0p < 0, sta sulla circonferenza se p=0p = 0 ed è esterno se p>0p > 0.

Con la formula della distanza, la potenza si scrive in coordinate così:

p=(x0−h)2+(y0−k)2−r2p = (x_0 - h)^2 + (y_0 - k)^2 - r^2

Il secondo membro è il primo membro dell’equazione della circonferenza, scritta con tutti i termini a sinistra, valutato in (x0,y0)(x_0, y_0). Se la circonferenza è data in forma sviluppata, con coefficiente 11 in x2x^2 e in y2y^2, quel primo membro è lo stesso polinomio, solo sviluppato; pertanto, la potenza si ottiene sostituendo le coordinate del punto in x2+y2+Dx+Ey+Fx^2 + y^2 + Dx + Ey + F, senza bisogno di trovare il centro né il raggio. Per esempio, per la circonferenza x2+y2−2x−4y−20=0x^2 + y^2 - 2x - 4y - 20 = 0, di centro (1,2)(1, 2) e raggio 55, il punto (4,6)(4, 6) ha potenza 00 e sta sulla circonferenza, il punto (3,5)(3, 5) ha potenza −12-12 ed è interno, e il punto (7,2)(7, 2) ha potenza 1111 ed è esterno. Il nome di potenza si giustifica nella sezione sulla potenza di un punto, dove si vedrà che questo numero misura, senza riferimento al centro, il prodotto di due distanze.