Zum Inhalt springen
Topos Uranos
Deutsch

Der Kreis: Tangenten, gegenseitige Lage und Potenz eines Punktes

Zusammenfassung

Diese Lektion untersucht den Kreis in seiner Beziehung zu den Punkten, den Geraden und den anderen Kreisen der Ebene. Sie misst die Lage eines Punktes durch eine Zahl, seine Potenz, die die Differenz zwischen dem Quadrat seines Abstands vom Mittelpunkt und dem Quadrat des Radius ist; sie entscheidet über die Lage einer Geraden, indem sie den Abstand des Mittelpunkts von der Geraden mit dem Radius vergleicht, und zeigt, dass dieses Kriterium mit dem der Diskriminante übereinstimmt. Sie beweist, dass die Tangente senkrecht zum Radius steht, und leitet ihre Gleichung her, klassifiziert die sechs Fälle der gegenseitigen Lage zweier Kreise mithilfe ihrer Potenzgeraden und beweist den Satz von der Potenz eines Punktes, aus dem der Sehnensatz, der Sekanten-Tangenten-Satz, die Gleichheit der beiden von einem äußeren Punkt aus gezogenen Tangentenstrecken und der Potenzpunkt dreier Kreise folgen.

Lernziele

  1. Die Lage eines Punktes und die einer Geraden bezüglich eines Kreises mithilfe der Potenz und des Abstands des Mittelpunkts von der Geraden bestimmen und dieses Kriterium mit der Diskriminante in Beziehung setzen.
  2. Die Gleichung der Tangente in einem Punkt des Kreises und die der beiden von einem äußeren Punkt aus gezogenen Tangenten aufstellen.
  3. Die gegenseitige Lage zweier Kreise klassifizieren, indem man den Abstand ihrer Mittelpunkte mit der Summe und der Differenz ihrer Radien vergleicht, und ihre Potenzgerade bestimmen.
  4. Den Satz von der Potenz eines Punktes und seine Folgerungen auf Aufgaben über Sehnen, Tangenten und geometrische Orte anwenden.

Die Lage eines Punktes und seine Potenz

In der Lektion über Ellipsen und Kreise wurde der Kreis mit dem Mittelpunkt C=(h,k)C = (h, k) und dem Radius rr als die Menge der Punkte definiert, deren Abstand von CC gleich rr ist; es wurde seine Gleichung (x−h)2+(y−k)2=r2(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 hergeleitet und gezeigt, wie man ihn durch quadratisches Ergänzen in einer ausmultiplizierten Gleichung x2+y2+Dx+Ey+F=0x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 erkennt. Diese Lektion knüpft daran an. Ein Punkt PP, dessen Abstand von CC gleich dd ist, ist ein innerer Punkt des Kreises, wenn d<rd < r, liegt auf ihm, wenn d=rd = r, und ist ein äußerer Punkt, wenn d>rd > r. Da dd und rr nicht negativ sind, ist ihr Vergleich gleichbedeutend mit dem Vergleich ihrer Quadrate, nach den Regeln für Ungleichungen aus der Lektion über die Zahlengerade; daraus folgt, dass die Lage von PP durch das Vorzeichen einer einzigen Zahl entschieden wird.

Gegeben seien ein Kreis mit dem Mittelpunkt C=(h,k)C = (h, k) und dem Radius rr sowie ein Punkt P=(x0,y0)P = (x_0, y_0), dessen Abstand von CC gleich dd ist. Die Potenz von PP bezüglich des Kreises ist die Zahl p=d2−r2p = d^2 - r^2. Der Punkt ist ein innerer Punkt, wenn p<0p < 0, liegt auf dem Kreis, wenn p=0p = 0, und ist ein äußerer Punkt, wenn p>0p > 0.

Mit der Abstandsformel schreibt sich die Potenz in Koordinaten so:

p=(x0−h)2+(y0−k)2−r2p = (x_0 - h)^2 + (y_0 - k)^2 - r^2

Die rechte Seite ist die linke Seite der Kreisgleichung, geschrieben mit allen Termen auf der linken Seite und ausgewertet an der Stelle (x0,y0)(x_0, y_0). Ist der Kreis in ausmultiplizierter Form gegeben, mit dem Koeffizienten 11 bei x2x^2 und bei y2y^2, so ist diese linke Seite dasselbe Polynom, nur ausmultipliziert; folglich erhält man die Potenz, indem man die Koordinaten des Punktes in x2+y2+Dx+Ey+Fx^2 + y^2 + Dx + Ey + F einsetzt, ohne Mittelpunkt und Radius bestimmen zu müssen. Zum Beispiel gilt für den Kreis x2+y2−2x−4y−20=0x^2 + y^2 - 2x - 4y - 20 = 0 mit dem Mittelpunkt (1,2)(1, 2) und dem Radius 55: Der Punkt (4,6)(4, 6) hat die Potenz 00 und liegt auf ihm, der Punkt (3,5)(3, 5) hat die Potenz −12-12 und ist ein innerer Punkt, und der Punkt (7,2)(7, 2) hat die Potenz 1111 und ist ein äußerer Punkt. Der Name Potenz wird im Kapitel über die Potenz eines Punktes gerechtfertigt, wo sich zeigen wird, dass diese Zahl ohne Bezug auf den Mittelpunkt das Produkt zweier Abstände misst.