Ad argvmentvm transi
Topos Uranos
Latine

Circvmferentia: tangentes, positvs mvtvi et potentia pvncti

Svmmarivm

Haec lectio circvmferentiam considerat ratione habita pvnctorvm, rectarvm ceterarvmqve circvmferentiarvm plani. Positvm pvncti nvmero metitvr, potentia eivs, qvae est differentia inter qvadratvm distantiae eivs a centro et qvadratvm radii; positvm rectae decernit distantiam centri a recta cvm radio comparando, et ostendit hoc criterivm cvm criterio discriminantis congrvere. Demonstrat tangentem radio perpendicvlarem esse aeqvationemqve eivs dedvcit, sex positvs mvtvos dvarvm circvmferentiarvm per axem radicalem earvm distingvit et theorema potentiae demonstrat, ex qvo flvvnt theorema chordarvm, theorema secantis et tangentis, aeqvalitas dvorvm segmentorvm tangentivm a pvncto exteriore dvctorvm et centrvm radicale trivm circvmferentiarvm.

Proposita discendi

  1. Positvm pvncti et positvm rectae respectv circvmferentiae determinare, per potentiam et distantiam centri a recta, et hoc criterivm cvm discriminante conivngere.
  2. Aeqvationem tangentis in pvncto circvmferentiae invenire et aeqvationes dvarvm tangentivm a pvncto exteriore dvctarvm.
  3. Positvs mvtvos dvarvm circvmferentiarvm distingvere, distantiam inter centra earvm cvm svmma et differentia radiorvm comparando, et axem radicalem earvm invenire.
  4. Theorema potentiae pvncti eivsqve consectaria ad problemata de chordis, de tangentibvs et de locis geometricis adhibere.

Positvs pvncti eivsqve potentia

In lectione de ellipsibvs et circvmferentiis circvmferentia centri C=(h,k)C = (h, k) et radii rr definita est vt copia pvnctorvm qvorvm distantia a CC est rr, aeqvatio eivs (x−h)2+(y−k)2=r2(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 obtenta est, et ostensvm est qvomodo, qvadratis completis, in aeqvatione evolvta x2+y2+Dx+Ey+F=0x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 agnoscatvr. Haec lectio inde proficiscitvr. Pvnctvm PP cvivs distantia a CC est dd interivs est circvmferentiae si d<rd < r, in ea est si d=rd = r et exterivs est si d>rd > r. Cvm dd et rr negativi non sint, eos comparare idem est ac qvadrata eorvm comparare, secvndvm regvlas inaeqvalitatvm lectionis de recta reali; inde efficitvr vt positvs pvncti PP signo vnivs nvmeri decernatvr.

Sit circvmferentia centri C=(h,k)C = (h, k) et radii rr, et sit P=(x0,y0)P = (x_0, y_0) pvnctvm cvivs distantia a CC est dd. Potentia pvncti PP respectv circvmferentiae est nvmervs p=d2−r2p = d^2 - r^2. Pvnctvm interivs est si p<0p < 0, in circvmferentia est si p=0p = 0 et exterivs est si p>0p > 0.

Formvla distantiae adhibita, potentia in coordinatis sic scribitvr:

p=(x0−h)2+(y0−k)2−r2p = (x_0 - h)^2 + (y_0 - k)^2 - r^2

Membrvm posterivs est membrvm privs aeqvationis circvmferentiae, omnibvs terminis ad sinistram translatis scriptae, in (x0,y0)(x_0, y_0) aestimatvm. Si circvmferentia forma evolvta data est, cvm coefficiente 11 in x2x^2 et in y2y^2, illvd membrvm privs idem polynomivm est, tantvm evolvtvm; itaqve potentia obtinetvr coordinatas pvncti in x2+y2+Dx+Ey+Fx^2 + y^2 + Dx + Ey + F svbstitvendo, nec opvs est centrvm avt radivm invenire. Exempli gratia, pro circvmferentia x2+y2−2x−4y−20=0x^2 + y^2 - 2x - 4y - 20 = 0, centri (1,2)(1, 2) et radii 55, pvnctvm (4,6)(4, 6) potentiam 00 habet et in ea est, pvnctvm (3,5)(3, 5) potentiam −12-12 habet et interivs est, et pvnctvm (7,2)(7, 2) potentiam 1111 habet et exterivs est. Nomen potentiae in sectione de potentia pvncti explicatvr, vbi videbitvr hvnc nvmervm, sine respectv centri, prodvctvm dvarvm distantiarvm metiri.