円：接線・位置関係・方べき

点の位置と方べき

楕円と円の課では、中心 $C = (h, k)$、半径 $r$ の円を、$C$ までの距離が $r$ である点の集合として定義し、その方程式 $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ を導き、平方完成によって展開した方程式 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ の中に円を見いだす方法を示した。この課はそこから出発する。点 $P$ の $C$ までの距離を $d$ とする。$d < r$ のとき点は円の内部にあるといい、$d = r$ のとき円上にあるといい、$d > r$ のとき円の外部にあるという。$d$ と $r$ は負でないから、両者を比べることはその平方を比べることと同値である。これは実数直線の課の不等式の規則による。したがって、$P$ の位置はただ一つの数の符号によって決まる。

中心 $C = (h, k)$、半径 $r$ の円があり、$P = (x_0, y_0)$ を点とし、その $C$ までの距離を $d$ とする。円に関する $P$ の方べきとは、数 $p = d^2 - r^2$ のことである。$p < 0$ のとき点は内部にあり、$p = 0$ のとき円上にあり、$p > 0$ のとき外部にある。

距離の公式を用いると、方べきは座標で以下のように書ける。

右辺は、すべての項を左辺に移して書いた円の方程式の左辺を、$(x_0, y_0)$ で計算した値である。円が展開した形で、平方の項の係数を $1$（$x^2$ についても $y^2$ についても）として与えられているとき、その左辺は同じ多項式を展開しただけのものである。したがって、方べきは点の座標を $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F$ に代入すれば得られ、中心や半径を求める必要はない。例えば、円 $x^2 + y^2 - 2x - 4y - 20 = 0$（中心 $(1, 2)$、半径 $5$）について、点 $(4, 6)$ は方べき $0$ をもち円上にあり、点 $(3, 5)$ は方べき $-12$ をもち内部にあり、点 $(7, 2)$ は方べき $11$ をもち外部にある。「方べき」という名前の由来は、方べきの定理を扱う箇所で明らかになる。そこでは、この数が中心に触れることなく二つの距離の積を測ることがわかる。