Sectiones conicae: characterizatio et delineatio

Svmmarivm

Haec lectio cvrvas in lectionibvs antecedentibvs tractatas in vnam theoriam colligit. Sectiones conicas exhibet vt cvrvas qvae orivntvr cvm convs dvplex plano secatvr, formas earvm canonicas in memoriam revocat et ostendit omnem aeqvationem secvndi gradvs sine termino in $xy$ parabolam, ellipsim, hyperbolam avt vnvm e casibvs earvm degeneratis repraesentare: pvnctvm, vnam vel dvas rectas, avt nvllvm pvnctvm. Qvadrata complere satis est vt decernatvr de qva cvrva agatvr et vt eivs centrvm vel vertex, semiaxes et foci legantvr. Finitvr eccentricitate, qvae tres cvrvas vna definitione per focvm et directricem complectitvr, et intersectione conicarvm et rectarvm.

Proposita discendi

Sectiones conicas agnoscere vt sectiones coni dvplicis plano factas, casibvs earvm degeneratis inclvsis.
Aeqvationem secvndi gradvs sine termino in $xy$ qvadratis complendis ad formam canonicam redigere, et ex signis coefficientivm eivs decernere qvam cvrvam repraesentet.
Centrvm vel verticem, semiaxes, focos, directricem et asymptotos conicae per aeqvationem generalem datae invenire, et eivs delineationem dvcere.
Eccentricitate vti ad conicas vt locos geometricos describendas, et discriminante ad earvm intersectiones cvm rectis investigandas.

Sectiones conicae

Consideretvr convs dvplex: svperficies qvam recta, generatrix, gignit dvm circa aliam rectam, axem, volvitvr, qvam in pvncto fixo, vertice coni, secat. Svperficies e dvobvs conis oppositis constat, vno ex vtroqve latere verticis. Si plano secatvr qvod per verticem non transit, cvrva qvae oritvr ab angvlo pendet qvem planvm cvm axe facit, comparato cvm angvlo qvem qvaeqve generatrix cvm axe facit.

Si planvm ad axem perpendicvlare est, cvrva est circvmferentia.
Si planvm cvm axe angvlvm maiorem qvam generatrix facit, omnes generatrices vnivs coni secat, et cvrva est ellipsis, clavsa.
Si planvm cvm axe evndem angvlvm ac generatrix facit, id est, si generatrici parallelvm est, vnvm convm secat, et cvrva est parabola, aperta.
Si planvm cvm axe angvlvm minorem qvam generatrix facit, ambos conos secat, et cvrva est hyperbola, dvobvs ramis.

Si planvm per verticem coni transit, intersectio ad pvnctvm, ad rectam (generatricem) avt ad dvas rectas in vertice se secantes redigitvr. Hi svnt casvs degenerati, qvi infra rvrsvs apparebvnt vt solvtiones qvarvndam aeqvationvm secvndi gradvs, vna cvm dvobvs aliis qvi cono secando non obtinentvr: par rectarvm parallelarvm, qvod oritvr cvm cylindrvs secatvr, et copia vacva. Atqvi circvmferentia non est qvarta familia, sed ellipsis qvae positioni plani perpendicvlari respondet.

Cvrvas cono secando obtentas congrvere cvm eis qvas lectiones antecedentes per focos definivervnt est theorema Dandelinii. Eivs demonstratio fines hvivs cvrsvs excedit, qvia geometriam solidorvm postvlat (sphaeras cono inscriptas et plano sectionis tangentes, qvarvm pvncta contactvs cvm plano foci svnt); qvam ob rem sectiones coni hic tantvm pro pictvra svnt, et definitiones qvibvs vtimvr eae svnt qvae distantiis nitvntvr.